高中数学-分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计

数原理

一、内容与解析

(-)内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

(二)解析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理指的是分类加法计

数原理的定义、分步乘法计数原理的定义、两个原理应用，其核心是两个计数原理，

理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。学生已经学过加法、

乘法，本节课的内容要与之建立相关联系。由于它们不仅是推导排列数、组合数计

算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位,

是本学科的重要内容。教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐

述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方

法，引导学生认识它们的异同。

二、目标及其解析：

(一)教学目标

(1)理解分类加法计数原理；

(2)理解分步乘法计数原理；

(3)会应用两个计数原理解决简单的实际问题.

(-)解析

(1)理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类

解决，各个击破；

(2)理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“步骤”，先对每一

个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；

(3)会应用两个计数原理解决简单的实际问题就是指根据具体问题的特征选择对

应的原理。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这

一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来。要解决这一问

题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，

然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本

思想及其应用方法.

四、教学支持条件分析

五、教学过程

一）引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.

总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

设计意图:在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数

原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

问题L分类加法计数原理

师生活动：

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出

多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2

班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

问题L3：你能说说以上两个问题的特征吗？

结论:分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方

法，在第2类方案中有几种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m+n

种不同的方法.

问题1.4：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有犯种不同的方法，在第2

类方案中有机2种不同的方法，在第3类方案中有〃％种不同的方法，那么完成这件事共有多

少种不同的方法？

问题1.5：如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当

如何计数呢？

一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有町种不同的方法，在第2类办法中有机2种

不同的方法……在第n类办法中有加”种不同的方法.那么完成这件事共有

N=+m2H-------\-mn

种不同的方法.

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立,

各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事

问题2.分步乘法计数原理

师生活动：

问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以4,42,…，用，斗，…的

方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

用列举法可以列出所有可能的号码：

分析：

我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个

组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6X9=54个不同的号码.

问题2.2：你能说说这个问题的特征吗？

结论：分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同

的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=mxn

种不同的方法.

问题2.3：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有加2种

不同的方法，做第3步有〃％种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

问题2.4：如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如

何计数呢？

一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有〃种

不同的方法……做第n步有团”种不同的方法.那么完成这件事共有

N-叫xm2x…x根“

种不同的方法.

理解分步乘法计数原理：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成

任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

问题2.5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点？

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方

法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成

这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干

步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，

才算完成这件事，是合作完成.

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强

项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于

两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择

A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选

择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同

学可能的专业选择共有

5+4=9（种）.

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可

能的专业选择共有多少种？.

例2.一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少

条？

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,

所以，

第一类，ml=1X2=2条

第二类，m2=1X2=2条

第三类，m3=1X2=2条

所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共将N=2+2+2=6条

例3,设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,

共有多少种不同的选法？

分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.

解.：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择.

根据分步乘法计数原理，共有

30X24=720

种不同的选法.

例4.如图，要给地图A、B、C、口四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种

颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，

第一步，ml=3种，

第二步，m2=2种，

第三步，m3=1种，

第四步，m4=1种，

所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N=3X2X1X1=6

变式

1,如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色

使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？

六、小结

1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不

同的方法，在第2类方案中有几种不同的方法.那么完成这件事共有

N=根+〃

种不同的方法.

2.分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方

法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=mxn

种不同的方法.

七、目标检测

1.填空：

(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会

用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是一；

(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B的路

线有一条.

2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.(1)从

中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C村，不同(2)从3个

年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

【学情分析】

本节课的授课对象是高二年级学生。学生的数学有了很深的基础，学习数学的兴趣较浓。

经历了合情推理和概率的相关知识，对计数方法有了一定的了解和认识。

在讲授新课时，通过一些经典的实例，让学生归纳总结分类加法计数原理和分步乘法计数

原理就顺利成章了。学习过程中，通过对题目有梯度的设计使得学生逐步加深对两种计数原

理的理解和区分，并能利用两种计数原理处理一些简单的实际问题。

【效果分析】

良好的课堂教学效果是教师进行课堂教学的最终目的。本节课一-“太平天国运动”的

课堂教学效果如何呢？是否达到课前教学设计的预期目标呢?学生通过本节课的学习是否理

解了分类加法计数原理和分步乘法计数原理呢？

【新课引入】环节通过2018年世界杯的问题成功吸引了学生的兴趣，这是本节课成功

的第一步，也是我引以为傲的地方。【新知探究】通过几个经典的实例，采用了学校三九模

式，自主学习，成功的总结了两个计数原理的概念，并初步了解。【典例分析】通过几个例

题的梯度设计，让学生加深了对概念的理解又能区分两种计数原理的不同。

本节课环节完整，设计巧妙细致，达到了原定的效果。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教材分析

分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中

数学课标教材选修2-3"第一章计数原理”第1.I节的内容，教学需要安排4个课时，木节

课为第1课时.

两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的

最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想

方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识.由于排列、组合及二项

式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理,

是学好本章内容的关键。

从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法

运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证.

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为

若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分

解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成.综合运用两个计数原理就是将综

合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破.也就是说，两个计数原理的灵魂

是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身.

从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个

计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂.

1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

新知引入

思考？

问题1、用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多

少种不同的号码？

问题2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,

汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走

法？

一、分类加法计数原理

完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有g种不同的方法，在第2类方法中有m2种不

同的方法......在第n类方法中有批种不同的方法，则完成这件事共有

典型例题

例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的

强项专业，具体情况如下：

A大学：生物学、化学、医学、物理学、T程学、

B大学：数学、会计学、信息技术学、法学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

变式1：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名

同学可能的专业选择共有种；

变式2：若还有C大学，其中强项专业为：数学、新闻学、金融学、人力资源学.那么，

这名同学可能的专业选择共有种.

思考？

问题3.用前6个大写英文字母和1〜9九个阿拉伯数字，以Al,A2,•••,Bl,B2,…的方式

给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

问题4.如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去

C村，共有多少种不同的走法？

二、分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤.做第1步有孙种不同的方法，做第2步有mz种不同的

方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有

典型例题

例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,

共有多少种不同的选法？

例3、滕州市的部分电话号码是063255Xxxxx,后面每个数字来自0〜9这10个数，问可以产

生多少个不同的电话号码？

例4、书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2

本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

⑵从书架的第1、2、3层各取I本书，有多少种不同取法？

例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共

有多少种不同的挂法？

巩固练习:

1、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

2、8本不问的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？

3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？

4、已知。£{3,4,6},be{1,2,7,8）,r6（8,9）

则方程（%—4）2+（'—6）2=-2可表示不同的圆的个数