2022年四川省德阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

数学试卷

第I卷（选择题，共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有

一项是符合题目要求的.）

1.-2的绝对值是（）

]_

A.2B.-2C.±2D.

2

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.(tz-Z?)'=a2-b1B.1

13

c.a+a•——ciD.加--a3bb

a6

则/3=()

A.70°B.110°C.130°D.150°

5.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.抛掷硬币时，正面朝上

B明天太阳从东方升起

C.经过红绿灯路口，遇到红灯

D玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”

6.在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5,9,5,

6,4,5,7,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.6,6B,4,6C.5,6D.5,5

7.八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km.那么杨冲，李锐两家的直

线距离不可能是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

8.一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是（）

A.16万B.52万C.36"D.72%

9.一次函数y=ox+l与反比例函数^=一0在同一坐标系中大致图象是（)

10.如图，在四边形A8CD中，点E，F，G,D4边上的中点，则下列结论一定

正确的是（）

A.四边形EFG”是矩形

B.四边形EFG”的内角和小于四边形ABCD的内角和

C.四边形EFG〃的周长等于四边形A8CO的对角线长度之和

D.四边形EFGH的面积等于四边形ABCO面积的工

4

11.关于X的方程生吆=1的解是正数，则。的取值范围是（）

X-1

A.—1B.a>—1且。/0

Ca<—1D.a<—1且a#—2

12.如图，点E是.ABC的内心，AE的延长线和一ABC的外接圆相交于点。，与8C相交于点G,则下列结

论：①NBAO=NC4D；②若如。=60。，则/BEC=120。；③若点G为的中点，则NBGD=9（）。；④

BD=DE.其中一定正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

第n卷（非选择题，共102分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线

上）

13.分解因式：ax2—«=.

14.学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%,创新设计占50%,现场展

示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分,

现场展示90分，那么该同学的综合成绩是分.

15.己知（x+y）2=25,（x-y）2=9,则xy=_.

16.如图，直角三角形A8C纸片中，NACB=90。，点。是A6边上的中点，连接CO,将八48沿CO折

叠，点A落在点E处，此时恰好有CELAB.若CB=1,那么CE=.

---------

B

17.

古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就

是形与数的结合物.用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1,第二

个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形

数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数是1+3+5=9,……由此类推，图④中第五个正六边形数

18.如图，已知点A(-2,3),6(2,1),直线y=Ax+k经过点尸试探究：直线与线段A8有交点时％的

变化情况，猜想人的取值范围是

三、解答题(本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

19.计算：V12+(3.14-^)0-3tan60o+|l-^|+(-2)-2.

20.据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建.在没有高层

建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事.1971年，因破四旧再次遭废.现在的钟鼓楼是

老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光

溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地.

学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题

设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类.他们随机抽取部分市民进行问卷调

查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

图h“钟8楼知识名少-条形统计图由2t“怜妣楼知识知名少”扇形统计图

（1）设本次问卷调查共抽取了〃?名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是九度，分别写出加，〃的

值.

（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”人数有多少？

（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取

2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率.

3k

21.如图，一次函数）；=—一X+1与反比例函数y=—的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为-2.

2x

（1）求反比例函数的解析式;

（2）点B的坐标是（一3,0）,若点P在y轴上，且的面积与‘AQB的面积相等，求点尸的坐标.

22.如图，在菱形ABCO中，ZABC=60°,AB=2＞/3cni）过点。作8C的垂线，交8C的延长线于点”.点

口从点8出发沿方向以2cm/s向点。匀速运动，同时，点E从点〃出发沿〃。方向以lcm/s向点。匀速运

动.设点E，尸的运动时间为「（单位：s）,且0＜。＜3,过/作FG_L6c于点G,连结£产.

(1)求证：四边形瓦G”是矩形.

(2)连结尸C,EC,点、F，E在运动过程中，ABFC与DCE是否能够全等？若能，求出此时，的值；若不

能，请说明理由.

23.习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部

署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株,

8种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的L25倍.

(1)求A、8两种树苗的单价分别是多少元？

(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超

过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

24.如图，A8是C.O的直径，8是。。的弦，ABLCD,垂足是点“，过点。作直线分别与AB，的

延长线交于点E，F，且NEC。=24出LD.

(1)求证：C/是。的切线；

(2)如果AB=10,8=6,

①求AE的长；

②求.AEE的面积.

25.抛物线的解析式是丁=一/+4》+。.直线y=—x+2与x轴交于点〃，与y轴交于点£,点尸与直线上的

点G(5,—3)关于x轴对称.

(1)如图①，求射线M尸的解析式；

(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线㈤“/有两个交点时，设两个交点的横坐标是XI,X2(芭＜々)，求

玉+尤2的值；

(3)如图②，当抛物线经过点C(0,5)时，分别与X轴交于A,a两点，且点A在点8的左侧.在X轴上方的抛

PN

物线上有一动点P,设射线AP与直线y=—x+2交于点N.求——的最大值.

AN

数学试卷

第I卷（选择题，共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有

一项是符合题目要求的.）

1.-2的绝对值是（）

1

A.2B.-2C.+2D.——

2

【答案】A

【分析】在数的前面添上或者去掉负号既可以求出绝对值.

【详解】解：-2的绝对值是2；

故选：A.

【点睛】本题考查绝对值的定义，数轴上一个点到原点的距离即为这个数的绝对值.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可.轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能够与原来的图形重合.

【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意;

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意;

D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意;

故选:A.

【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断

方法.

3.下列计算正确的是()

A.(a—/?)'=a2—b2B.而7=1

C.CI-T-CI—=aI),f——aZ?2-——a3b('

aI2J6

【答案】B

【分析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数累的乘除法则、积的乘法法则逐项判断即可.

【详解】A.(a—加2=/一+/，故本选项错误；

8.心币=*=1，故本选项符合题意；

C.a-r-tz—=1—=—,故本选项错误；

aaa

D.(--ab2)3-(--)3a3b2x3=--a3b6,故本选项错误;

228

故选：B.

【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式化简、同底数暴的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数基

的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键.

A.70°B.110°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】设/I的同位角为为N4,N2的对顶角为/5,根据平行的性质得到Nl=N4=100。，再根据三角形的外角

和定理即可求解.

【详解】设/I的同位角为为Z4,N2的对顶角为/5,如图，

1

m

2

■:n,Nl=100°,

.*.Zl=Z4=100°,

VZ2=30°,N2与N5互为对顶角,

.,.Z5=Z2=30°,

Z3=Z4+Z5=100°+30°=130°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键.

5.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.抛掷硬币时，正面朝上

B.明天太阳从东方升起

C.经过红绿灯路口，遇到红灯

D.玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”

【答案】B

【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答.

【详解】A.抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；

B.太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件：

C.经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；

D.对方有可能出“剪刀”，也有可能出“石头”、“布”，出现对方出“剪刀”随机事假.

故选：B.

【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的概念，充分理解随机事件的概念是解答本题的关键.

6.在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：kg）分别是：5,9,5,

6,4,5,1,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.6,6B.4,6C.5,6D.5,5

【答案】D

【分析】将这7个数从小到大排列，第4个数就是这组数的中位数.出现次数最多的数即是众数.

【详解】将这7个数从小到大排列：4、5、5、5、6、7、9,

第4个数5,

则这组数的中位数为：5,

出现次数最多的数是5,

故这组数的众数是5,

故选：D.

【点睛】本题考查了中位数、众数的定义，充分理解中位数、众数的定义是解答本题的基础.

7.八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km.那么杨冲，李锐两家的直

线距离不可能是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

【答案】A

【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答.

【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为“，

则根据题意有：5-3<a<5+3,即2Va<8,

当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，。=5+3=8或者a=5—3=2,

综上”的取值范围为：2WaW8,

据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km,

故选：A.

【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的

两边之差小于第三边.

8.一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是（）

A.16〃B.52兀C.36〃D.72%

【答案】C

【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为8〃，

.,.圆锥侧面展开图的面积是:；X8%X9=36%.

2

故选：C

【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

9.一次函数丁=以+1与反比例函数>=—g在同一坐标系中的大致图象是（）

x

【答案】B

【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断”的符号，看一次函数和反比例函数判

断出“的符号是否一致；

【详解】一次函数与y轴交点为（0,1）,A选项中一次函数与），轴交于负半轴，故错误；

B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断“<0,反比例函数过一、三象限，则/>0,即两者一致，

故B选项正确；

C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断〃>0,反比例函数过一、三象限，则/>0,即两者矛盾，

故C选项错误；

D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断反比例函数过二、四象限，则-a<0,即两者矛盾，

故D选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象

与系数的关系.

10.如图，在四边形A8C。中，点E，F，G,，分别是AB，BC,CD,D4边上的中点，则下列结论一定

正确的是（）

A

H

BD

C

A.四边形EFG”是矩形

B.四边形石FG”的内角和小于四边形ABC。的内角和

C.四边形EEG”的周长等于四边形ABC。的对角线长度之和

D.四边形EPG"的面积等于四边形ABC。面积的,

4

【答案】C

【分析】连接AC,80,根据三角形中位线的性质==EF=HG=-AC,

22

EF//AC//HG,EH//BD//FG,继而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：连接AC,30,设交于点。，

点、E，F，G,〃分别是AB，BC,CD,ZM边上的中点，

:.EH=FG=、BD,EF=HG」AC,EF//AC//HG,EH//BD//FG

22

A.四边形£FG”是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；

B.四边形EFGH的内角和等于于四边形ABC。的内角和，都为360。，故该选项不正确，不符合题意；

C.四边形EFG/7的周长等于四边形ABC。的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；

D.四边形EFG"的面积等于四边形ABC。面积的故该选项不正确，不符合题意；

故选C

【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键.

11.关于X的方程生吧=1的解是正数，则。的取值范围是（）

x-1

A.a>—1B.a>—1且a#）

C.aV—1I）.a<—1且存一2

【答案】D

【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.

【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1,得2x+a=x-l.解得：x=-a-l且x为正数.所以解得a<-l,且

a齐2.（因为当a=-2时，方程不成立.）

【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了#-2这个信息.

12.如图，点E是的内心，AE的延长线和一ABC的外接圆相交于点。，与8C相交于点G,则下列结

论：①NB4O=NC4£>；②若NS4c=60。，则/B£C=120°；③若点G为8c的中点，则/BG£）=90°；④

BD=DE.其中一定正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据点£是一ABC的内心，可得N84Z>=NC4£>,故①正确；连接BE,CE,可得NABC+/AC8=2

（ZCBE+ZBCE）,从而得至ijNCBE+NBCE=60°,进而得到NBEC=120°,故②正确；若点G为8C的中点，

无法证明aASG丝ZVICG,则N3GO=90°不一定成立，故③错误；根据点E是」ABC的内心和三角形的外角的

性质，可得NBEO=；（NBAC+NABC）,再由圆周角定理可得/。8后=3（/区4。+/48。），从而得到

NOBE=NBEC,故④正确；即可求解.

【详解】解：•.•点E是.ABC的内心，

ABAD=ACAD,故①正确；

如图，连接BE,CE,

:点E是.ABC的内心，

AZABC=2ZCBE,ZACB=2ZBCE,

：.ZABC+ZACB^2CZCBE+ZBCE),

；NBAC=60°,

AZABC+ZACB=\20°,

:.NCBE+NBCE=60°,

：.ZBEC=12O°,故②正确；

•••点七是_43。的内心，

ABAD=ACAD,

；点G为8C的中点，

：.BG=CG,

•••AG=AG,无法证明△ABG且△4CG,

ZAGB不一定等于ZAGC,

即ZBGD=90°不一定成立，故③错误；

•.•点E是ABC的内心，

:./BAD=NCAD=-ABAC,NABE=NCBE=-NABC,

22

,/ZBED=ZBAD+ZABE,

/.ABED=1(ABAC+ZABC),

'：ZCBD=ZCAD,

：.ZDBE=ZCBE+ZCBD=ZCBE+ACAD,

/.ZDBE=；(NBAC+N4BC),

：.ZDBE=NBED,

：•BD=DE，故④正确;

.•.正确的有3个.

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角形

内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等

知识是解题的关键.

第n卷(非选择题，共102分)

二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线

上)

13.分解因式：ax2—a—-

【答案】a(x+l)(x-l)

【分析】先提公因式。，再运用平方差公式分解即可.

【详解】解：ax2-a

=a(x2-1)

=a(x+l)(x-l)

故答案为：a(x+l)(x-l).

【点睛】本题考查提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式法两种方法是解题的关

键.

14.学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%,创新设计占50%,现场展

示占30%计算选手的综合成绩(百分制)，某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分,

现场展示90分，那么该同学的综合成绩是分.

【答案】88

【分析】利用加权平均数的求解方法即可求解.

【详解】综合成绩为：85X20%+88X50%+90X30%=88(分)，

故答案为：88.

【点睛】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含义.

15.已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,贝！Ixy=.

【答案】4

【分析】根据完全平方公式的运算即可.

【详解】•••(x+y『=25,(x-y)2=9

(x+yy+(x—y)2=4肛=16,

xy=4.

【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.

16.如图，直角三角形ABC纸片中，NACB=90。，点。是A3边上的中点，连接CO

，将△AC。沿CO折叠，点A落在点E处，此时恰好有CEJ_AB.若CB=1,那么CE=

【答案】73

【分析】根据。为AB中点，得到AD=CD=BD,即有NA=NOCA,根据翻折的性质有/OC4=NOCE,CE^AC,

再根据CE_LA8,求得NA=NBCE,即有/8CE=NECO=/£>CA=30。，则有/A=30。，在RM\ACB中，即可求出

AC,则问题得解.

【详解】VZACB=90°,

：.N4+/B=90。，

•.•。为AB中点，

二在直角三角形中有">=C£>=8。，

：.ZA=ZDCA,

根据翻折的性质有NOC4=/OCE,CE=AC,

'：CE±AB,

：.ZB+ZBCE=90°,

ZA+ZB=90°,

ZA=ZBCE,

：.NBCE=NECD=NDCA,

"：ZBCE+ZECD+ZDCA=ZACB=90°,

：.NBCE=NECD=N004=30°

ZA=30°,

Rt^ACB^,BC=l,

BC1

则有4C=6，

tanNAtan30°

•••CE=AC=/，

故答案为：B

【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出

NBCE=NEC。=/。CA=30。是解答本题的关键.

17.古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，

就是形与数的结合物.用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1,第

二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方

形数是1，第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数是1+3+5=9,……由此类推，图④中第五个正六边形

数是

【答案】45

【分析】根据题意找到图形规律，即可求解.

【详解】根据图形，规律如下表：

三角形正方形五边形六边形M边形

L

3456m

11111L1

1+21+2

1+2

1+211'

21+21L

11>(m-3)

1

11

1+2+31+2+3

1+2+31+2+3

1+21+21

31+2+31+21+2L

1+2

1+2

1+21+2

1+2+3+41+2+3+4

1+2+3+4

1+2+3+41+2+31+2+3、

41+2+3+41+2+3L

1+2+31+2+3>(加一3)

1+2+3

1+2+31+2+3

••••••

n1+2++几1+2++n1+2++n1+2++nL1+2++IT

1+2+L+(〃—1)1+2++(〃-1)

1+2+L+(〃—1)

1+2+L+(〃—1)1+2+L+(n-l)>(m-3)

1+2+L+(〃—1)

1+2+L+(n-l)1+2++(n-l)J

由上表可知第n个M边形数为：S=(1+2+L+〃)+[l+2+L+(n—l)](m—3),

整理得：s="也+也』

22

口“七心二人十、、士/小、-r/曰(l+n)nn(n-l)(m-3)(1+5)55(5-1)(6-3)..

则有第5个正六边形中，n=5,m=6,代入可得：Sc=^———+———------=-———+———-----=45,

2222

故答案为：45.

【点睛】本题考查了整式-图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键.

18.如图，已知点A(—2,3),3(2,1),直线、=丘+左经过点P(—1,0).试探究：直线与线段A8有交点时A的

变化情况，猜想攵的取值范围是.

【答案】左2!或左4一3##左4一3或攵之工

33

分析】根据题意，画出图象，可得当时，yNl,当k-2时，yN3,即可求解.

【详解】解：如图，

观察图象得：当户2时，

即2Z+A21,解得：k>-,

3

当x=-2时，yN3,

即一2左+左之3,解得：k<-3,

女的取值范围是％2,或左W-3.

3

故答案为：火2—或左W—3

3

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.

三、解答题(本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

19.计算：712+(3.14-^)0-3tan60o+|l-V3|+(-2)-2.

［答案］一

4

【分析】根据二次根式的化简，零指数基的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数累的运算

法则分别化简后再进行实数的加减法运算.

【详解】解：

V12+(3.14-^)0-3tan60o+|l-^|+(-2)-2

2-^3+1—3\/3+\/3—1H—

4

1

=--

4,

【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数’基的定义，特殊角的三角函数值，绝对值

的性质以及负整数指数幕的运算法则是解题的关键.

20.据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建.在没有高层

建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着''半截还在云里头”的故事.1971年，因破四旧再次遭废.现在的钟鼓楼是

老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光

溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地.

学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题

设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类.他们随机抽取部分市民进行问卷调

查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

Mh-钟敬楼知识名少.条形统计图图2：“怦鼓楼如识知&少”扇形统计图

(1)设本次问卷调查共抽取了〃?名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是九度，分别写出相，〃的

值.

(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？

(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取

2人进行调查，请用列举法(树状图或列表)求恰好抽到一男一女的概率.

【答案】(1)200,7.2

3

(2)3360(3)-

5

【分析】(1)先用“基本了解”的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数，再求出“非常了解”的人

数，进而得到“不太了解”的人数，最后用“不太了解”的人数所占的百分比乘以360°,即可求解；

(2)用12000乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可求解；

(3)根据题意，列出表格，可得一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，再根据概率公式，

即可求解.

【小问1详解】

解：根据题意得：加=40+20%=200人，

“非常了解”的人数为200*28%=56人，

二“不太了解”的人数为200—56—100—40=4人，

4

“不太了解”所对应扇形的圆心角——x360°=7.2。，即〃=7.2；

200

【小问2详解】

解：“非常了解”的人数有12000x28%=3360人；

【小问3详解】

解：根据题意，列出表格，如下：

男1男2男3女1女2

男1男2、男1男3、男1女1、男1女2、男1

男2男1、男2男3、男2女1、男2女2、男2

男3男1、男3男2、男3女1、男3女2、男3

女1男1、女1男2、女1男3、女1女2、女1

女2男1、女2男2、女2男3、女2女1、女2

一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，

123

.•.恰好抽到一男一女的概率为三=j.

【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意,

准确从统计图中获取信息是解题的关键.

3k

21.如图，一次函数^=-二X+1与反比例函数y=—的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为-2.

2x

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点8的坐标是（一3,0）,若点P在〉轴上，且「AOP的面积与,AO6的面积相等，求点P的坐标.

Q

【答案】（1）y=

x

（2）（0,6）或（0,-6）

【分析】（1）将点A的横坐标代入一次函数解析式，求得点A的纵坐标，进而将A

的坐标代入反比例函数解析式即可求解.

（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解.

【小问1详解】

3k

一次函数y=--x+1与反比例函数y=—的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为一2,

2x

3

当x=-2时，y=-1x（-2）+l=4,则A（—2,4）,

将A（—2,4）代入y=£可得左=—8,

X

Q

・••反比例函数的解析式为y=—2,

x

【小问2详解】

点B的坐标是（一3,0）,A（-2,4）,

BO=3,

=X

•.SAOB=—3X4=6,

AOP的面积与iAOB的面积相等，

设P（0,p）,

••.SAOP=^OPX\XA\=^\P\X2=6,

解得p=6或〃=一6,

P（0,6）或尸（0,-6）.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，坐标与图形，求点点A的坐标是解题的关键.

22.如图，在菱形A3CO中，NA6C=60°,AB=2＞/3cm.过点。作8c的垂线，交的延长线于点H.点

产从点B出发沿BO方向以2cm/s向点。匀速运动，同时，点E从点〃出发沿〃。方向以lcm/s向点£）匀速运

动.设点E，尸的运动时间为t（单位：s）,且0＜。＜3,过F作FG_LBC于点G,连结口.

(1)求证：四边形是矩形.

(2)连结FC,EC,点F，E在运动过程中，与一OCE是否能够全等？若能，求出此时，的值；若不

能，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)46尸C与一。CE能够全等，此时，=1

【分析】(1)根据题意可得3/=2f,EH=f,再根据菱形的性质和直角三角形的性质可得EG='B尸=f,从而

2

得到FG=EH,再由FG〃EH,可得四边形EFG”是平行四边形，即可求证；

(2)根据菱形的性质和直角三角形的性质可得NCBF=/CDE,DH=CDcosNCDE=3,然后分两种情况讨

论，即可求解.

【小问1详解】

证明：根据题意得：BF=2t,EH=t,

在菱形4BC。中，AB=BC,AC±BD,OB=OD,

•••/ABC=60。，AB=24，

AAC=BC=AB=2y5，/CBO=30。，

：.FG=-BF=t,

2

：.FG=EH,

VFG±BC,DHLBH,

J.FG//EH,

四边形EFGH是平行四边形，

；NH=90°,

四边形EFGH是矩形.

【小问2详解】

解：能，

'：AB//CD,ZABC=60°,

；.NDCH=60°,

VZ/7=90°,

.\ZCDE=30°,

:.ZCBF=ZCDE,DH=CD-cos4CDE=3,

，DE=DH—EH=3—t,

"：BC=DC,

：.当ZBFC=ZCED或NBFC=ZDCE时，/\BFC与-DCE能够全等，

当NBFC=NCED时,4BFC三DEC，此时8F=£>E,

：.2t=3-t,解得:z=l；

当NBFC=NOCE时，BC与£>E是对应边，

而OEWO”=3,

:.BC/DE,则此时不成立；

综上所述，ABFC与,DCE能够全等,此时f=l.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是

解题的关键.

23.习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部

署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，

B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍.

（1）求A、8两种树苗的单价分别是多少元？

（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超

过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

【答案】（1）A种树苗的单价是4元，则8种树苗的单价是5元

（2）有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元.

【分析】（1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了A种树苗

500株，B种树苗400株，”列出方程，即可求解；

（2）设购买A种树苗。棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中。为正整数，根据题意，列出不等式组，可得

20<a<25,从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解.

【小问1详解】

解：设A种树苗的单价是x元，则3种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：

500JC+400x1.25^=4000,

解得：x=4,

，1.2545,

答：A种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；

【小问2详解】

解：设购买A种树苗。棵，则购买B种树苗(100-«)棵，其中。为正整数，根据题意得：

0<«<25

<447+5(100-«)<480，

解得：20WaW25,

♦.Z为正整数，

取20,21,22,23,24,25,

.•.有6种购买方案，

设总费用为卬元，

/.w=4a+5(100—a)=—a+500,

V-l<0,

随〃的增大而减小，

...当a=25时,w最小,最小值为475,

此时100-。=75,

答：有