2022新高考数学：热点09 解析几何（解析版）

热点09解析几何

命题趋势

从新高考的考查情况来看，解析几何是高考必考内容，考查重点：①直线与圆的位置关

系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系；②椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、

几何性质，其中离心率与渐近线、通径等是考试的热点：③求曲线的凯迹方程，多在解答题

第（1）问中出现；④直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常与向量、圆、三角形等

知识综合考查，多以解答题的形式出现,难度中等偏上。主要考查考生数形结合思想的运用，

提升数学运算、直观想象、逻辑推理、转化与化归思想等核心素养。

满分技巧

1、解析几何中的弦长问题：

（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解：

（2）当直线的斜率存在时，斜率为％的直线/与圆锥曲线C相交于4aM）,3（巧,力）两

个不同的点，则弦长

区1/（巧一以+5fy=J1+必IW-引=IM-%I（女工0）

（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

2、解析几何中的定值、定点问题：

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过

定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒

成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

3、解析几何中的最值（范围）问题：

1）处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何

法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用

代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利

用函数方法、不等式方法等进行求解.

2）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

4、解析几何中的轨迹方程问题：

1）直接法求轨迹方程的应用条件和步骤：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量

关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点一列式一化简一检验.

2）定义法求轨迹方程的适用条件及关键点：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等

量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出

其方程.

注意：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，

如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或），进行限制.

3）相关点法（代入法）求轨迹方程的四步骤：

第一步H设出所求动点坐标P（%,y）

0

第二步H国爰吩泵）专值而'，痴/X）白勺荚i

0......................................

第三步修至立P,Q而至幕后而亲亲，舁蓑示山£

‘第四步H+花稔至需

、y*.

热点解读

热点1.求离心率（范围）

离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化,

同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一.有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高

考试卷中均有出现.

关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个"C的方程（或

不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.一般建

立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；a利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件（椭圆、双曲线离心率的取信范围不

一致），否则很容易产生增根或者才大所求离心率的取值范围.

热点2.求轨迹方程

应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解

答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高.

热点3.直线与圆锥曲线的综合应用问题

直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值

范围、探索性问题）一直是高考热点问题.常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解

答题形式出现，难度较大.

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•福建•三模）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊

事烹饪食物的•种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶（旋转抛物面）的主光

轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反

射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光

轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径A5为2八〃，灶深8为0.5m,则焦点到灶底（抛物

线的顶点）的距离为（）

D.0.75m

【答案】B

【分析】如图建系，设出抛物线的方程，由题意得A的坐标，将4点的坐标代入求出p值,

进而可得答案.

【详解】解：由题意建立如图所示的平面自用坐标系，。与C重合:

设抛物线的方程为y=2px（p>0）,由题意可得将A点坐标代入抛物线的方程

可得：3=2px；,

解得P=3,所以抛物线的方程为：y2-6x,焦点的坐标为（勺0）,即（；0）,

所以焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为?=L5机.故选：B.

2.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知椭圆片和双曲线区在冗轴上具有相同的焦点E，

尸2,设双曲线£与椭圆片的上半部分交于4,8两点，线段A鸟与双曲线当交于点C.若

|A用=2|叫|=3|C用，则椭圆£的离心率是（）

【答案】C

【分析】设14鸟1=2|8鸟|=3|51=6,可得|8甲-|86|=%=3,3为则双曲线£的实半轴），

51=5,又AU+AC2=KC2,AF.LAF^则|月用|=存而'=3石，即可求椭圆骂的离心率.

【详解】解：如图,设在分1=2|区一如39玛|=6,则|明|=|愿|=3,IAC|=4,

♦.M玛|=|防|=6,门跖|一|%|=2。=3,3为则双曲线芯2的实半轴），

根据双曲线定义可得1。耳-15卜2〃=3,|仃卜5,在中，满足4斤+4。2=阜72,

/.AFt±AF2,

3.（2021•河南•南阳中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点人

发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左隹点我国首先研制成功的

“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的

一部分，如图②，其方程为—7-,^7=1>Oyb>0)»月，户2为其左、右焦点，若从右焦点尸2

3

发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足㈤D=90。-则该双

曲线的离心率为（）

【答案】C

【分析】连接已知条件为4A8=90。，tan乙4防=；,设|4娟=根，由双曲线

定义表示出|4鸟|,用己知正切值求出忸用，再由双曲线定义得|历|,这样可由勾股定理求

出小（用。表示），然后在△人£鸟中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率.

【详解】易知£，4。共线，08C共线，如图，设|A用二相，|A周"，则〃L〃=勿，

33/4CL3

由tanZABC=-巳得,tanZABE，又Nf；4B=ZF.AD=90。，所以tanNA8月=-=-

44-|A6|4t

4

\AB\=-mt

所以忸用=|4邳—|4周=?〃_〃，所以忸用=2a+忸周=2a+gm-〃=4a+；m,

由|4用2+b卸丁忸不得病++I»因为6>0,故解得则

n=3a-2a=a,

在绿耳人中，疝+〃2=（2C）。即9a2+/=4/,所以©=£=胆.故选：C.

a2

4.（2021•天津市实验中学滨海学校高三期中）“直线4：依+（1-。方=3与

4：（"1*+（2。+3）），=2互相垂直”是，匕=_3”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由两直线互相垂直，知卬&-1）+（1-。）（2。+3）=0,由此能求出实数。的值，再利用

充分必要条件的定义判断得解.

【详解】解：，•直线4：奴+（1-。）丁=3与4：（a-l）x+（2a+3）y=2互相垂直,

:.a(a-\)+(\-a)(2a+3)=0,解得。=1或〃=一3.因为。=1或a=-3时，a=-3不•定成立,

因为a=—3时，a=l或°=—3一定成立."直线/|：(uc+(\—a)y=3与4：(a—l)x+(2a+3)y=2互

相垂直”是Z=-3”的必要不充分条件.故选：A

5.（2021・河北衡水中学模拟预测）设直线版+4），-5=0与圆。|：/+）/=9交于人，8两点,

若圆的圆心在线段A8上，且圆C?与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧44上，则圆的半

径的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据给定条件可得圆G与圆C1内切，再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝

对值列式，然后分析计算作答.

【详解】圆C：/+y2=9的圆心为原点ao,o）,半径斗=3,依题意，圆G的圆心。2在圆G

内，设半径为弓，如图，因圆G与圆Ci内切，则1。。2|=耳-〃，即4=『IOGI，而点G在

线段48上,

，显然IOC以OPL当且仅当点&与点

时取“=”,

于是得（幻1=2,所以圆G的半径的最大值是2.故选：B

6.（2021•辽宁•模拟预测）己知点A（-5,0）、5（5,0）,动点尸（见〃）满足：直线抬的斜率与

直线总的斜率之积为-石，则4标+/的取值范围为（）

A.[16,100]B.[25,100]C.[16,100）D.（25,100）

【答案】C

【分析】根据已知条件可得出小、〃所满足的等式，求出川的取值范围，结合二次函数的基

本性质可求得41+1的取值范围.

_n〃_

【详解】由题意可知,——»整理得'-+土=1（"?工±5）,

PB加+5m-5m2-25252516V7

则n2=16」6m（加=±5）.故4/n:+n2=16+时）*±5）,

25v725v7

因为一5＜相＜5,所以04病＜25,所以16Kl6+合-＜100,即4〉+/地自知）.故选:

C.

7.（2021•河南•郑州市高三期中）已知抛物线C:/=4x,过C内一点A（l,l）作直线/交抛物

线。于5,C两点，过点B,C的抛物线的两条切线交于点P,则点P的轨迹方程为（）

A.2x-y=0B.2x-y+2=0C.x-y+2=0D.2x-y-2=0

【答案】B

【分析】根据将抛物线的切线方程联立，再根据4B,。三点共线.化简整理即可.

【详解】设点8（%,y）,C（x,,y2）,当B不为原点时•，设过点B的切线方程为y-x%）,

2

y=4xz

联立得左一2(公耳一肛+2)x+(y；+kxf-2fcv1y1)=0,

y-yi=k(x-x})

22222

A=[-2（^x,-ky{+2）]-4^（y；+kx--2Ax,y,）=0,整理得：^-^+1=0,

即±物±1=工代入可得2工方=凹（%+凡），即力，1=2（X+XJ=2X+K,

2X[2«A]2

当B为原点时，依然成立，同理点C处的切线方程为抄2=2（工+占）=21+货，联立解得

P解，学）

y一必二乂-]

设点P（x,y）,则”2=4》，y+，2=2y,又A,B,。三点共线，则片_21一£_]，

Z-44~

整理得-4=,必一（乂十%），即2x-y+2=0,故选：B.

8.（2021•天津市第四十七中学高三期中）过原点的直线交双曲线E:=-*=人＞0）于

ab

于AC两点，A在第一象限，工人分别为E的左、右焦点，连接A5交双曲线E右支于点3,

若|。4|=|0段,2|。司=3忸闾，则双曲线E的离心率为（）

A2V14口2屈「3瓜n屈

A♦.......D・------lx•D・------

5455

【答案】D

【分析】用双曲线定义，结合三角形64鸟为直角三角形，求得A0AB，再结合勾股定理

即可求得离心率.

【详解】根据题意，取4入中点为M,连接0W,区片，作图如下:

在5中，因为O,M分别为片鸟4鸟的中点，故可得OM〃五①；

在AO45中，因为OA=。6，”为中点，故可得OM_LA用；综上可得：F,A1AF2.

不妨设|明|=2m,则|A用=3s，|4周二3加一为，忸用=2根+2〃，

故在中，由勾股定理可得：（3根了十（3m—2a十2切）2=（2切+2"）2,解得：m=^a-

则在肋△耳46中，由勾股定理可得：（36）2+（3加—2。）2=（2。）2,整理得：4=—*解得:

a~25

e=叵选：D.

5

【点睛】本题考查双曲线的离心率，解决关犍是充分挖掘题中包含的几何关系，以及双曲线

定义的使用：本题中，利用双曲线定义以及几何关系求得A£，A6的长度是突破点，再利用

勾股定理，求得离心率；考查了学生的运算能力，理解能力，属于中档题.

9.（2021•湖北武汉•高三期中）已知双曲线=1（4>0/>0）的左、右焦点分别为尸i，尸2,

a2b2

过耳且斜率为-3«的直线与双曲线在第二象限的交点为4,若（月耳+币）•可=0,则此

双曲线的渐近线为（）

A.>'=-B.y=±\flxC.yD.y=±y/3x

2

【答案】D

【分析】通过（晒+币）•不=0得到AF；=邛6=2c,结合题干中的斜率条件表达出A点

坐标，再代入双曲线方程求解b与。的关系，求解渐近线方程.

【详解】因为（m+币）•用=0.所以（丽+用），％?，故三角形AA即是等腰三角形，

即4旬=耳6=2%又因为软尸=一35，过点A作ABJ_x轴于点B,则lanNAEB=[5=3>/7,

F|O

设耳B=x,AB=3岳,由勾股定理得：X2+（3V7X）2=（2C）2,解得：x=^c,故

A㈡。，"力,把A点代入双曲线方程.

44

得：25/—54a2b2—63/=0,解得:（256+21/）（6-3片）=0,

显然从-3/=0，所以6所以双曲线的渐近线为y=±Gx故选：D

A

二、多选题

10.（2021•河北邯郸•高三期末）已知4,8是抛物线C：y2=2px（p>0）上两点，焦点为尸,

抛物线上存在一点M（3j）到准线的距离为4,则下列说法正确的是（）

A.〃=2B.若OA上OB,则直线

恒过定点（4,0）

3uimiuu

C.若厂外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为］D.若A/=3F8,则直线

AB的斜率为退

【答案】ABC

【分析】根据抛物线定义可判断A：由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法可判断B：

利用直线与圆的位置关系可判断C；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法及条件可

判断D.

【详解】根据抛物线定义可知3+号=4,得p=2,故A正确；

设A（X，y）,8（七,必），因为直线4B斜率必不为0,设直线A8:x=b，+b,

代入y2=4x,得9一4电」46=0，，y+y2=43yty2=-4b,

kkJ%二乂必=16-16

AH

••°°~xyx2~2,2~yiy2~-4b~，即b=4,所以直线48恒过定点（4,0）,故B

16“不

正确；

△49尸外接圆圆心横坐标为;，外接圆半径为：故C1E确；

因为界=3翔，所以A8过焦点，且|AF|=3|阳，可设直线45:%=9+1,则

代入y2=4x,得y2—4）一4=0,・•・”+%=4/,力力=-4,%=-3%,

解得,=±立，即直线AB的斜率为±3，故D错误.故选：ABC.

3

11.（2021•江苏•南京市中华中学高三期中）已知曲线C：+」-=1,则（）

4一〃？2+tn

A.6=2时，则C的焦点是耳倒,拉），鸟（0,-夜）B.当相=6时，则C的渐近线方程为

y=±2x

C.当C表示双曲线时，则加的取值范围为小v-2D.存在小，使C表示圆

【答案】ABD

【分析】AB选项，代入切的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要

想使曲线C表示双曲线要满足（4-〃。（2+时＜0：D选项，求出曲线C表示圆时〃?的值.

【详解】当加=2时，曲线C：[+?=1，是焦点在y轴上的椭圆，且。2=4-2=2,所以

交点坐标为6（0,夜），鸟（。,一夜），A正确；当m=6时，曲线C：=1,是焦点在在

82

y轴上的双曲线，则C的渐近线为y=±2x,B正确；当C表示双曲线时，要满足：

（4-/w）（2+w）＜0,解得：机＞4或用＜一2,C错误；当4一〃?=2+m，即帆=1时，V+y?=3,

表示圆，D正确故选：ABD

1v2

12.（2021•河北•衡水市冀州区第一中学高三期末）已知椭圆C:=+2=l（a＞b＞0）的右焦

a-b~

点为尸，点P在椭圆。上，点。在圆E：（x+3）2+（y-4尸=4上，且圆E上的所有点均在椭

圆C外，若IPQI-IP尸I的最小值为2逐-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则

下列说法正确的是（）

A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为百

C.IPQI+IP尸I的最小值为26D.过点尸的圆E的切线斜率为三圮Z

3

【答案】AD

【分析】根据椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等求得。；将|PQ-1尸产I的最值转化为

求椭圆上一点尸到定点从以及左焦点耳的最小值问题，数形结合求得。，即可判断AB选项:

再结合椭圆定义，以及圆的切线方程的求解，即可判断BD.

【详解】根据题意，作出如下所示的图形，

:椭圆C的长轴长与圆E的直径长相等，.，.2a=4,。=2,

设椭圆的左焦点为6（-c,0）,由椭圆的定义可知，IPZI+IP用=2.=4,

1PQ\-\PF|=|PQIT4-IP耳|）由。£|-4|助|-2-4=26一6,

EF.|=145=7（-3+C）2+（4-0）2,解得c=l或5,因为c<。，故c=l...椭圆C的焦距为2,

即A正确；

由8=亚下="^=5得椭圆。的短轴长为26，即3错误；

\PQ\+\PFWQF\I斯|-|E。1=/1+3）2+（0-4）2-2=40-2,即C错误；

设过点尸的圆E的切线方程为y=&（x-l）,则［（一：［）-41=2,解得左二士生即。正确.

综上所述：正确的选项是：AD.故选：AD.

13.（2021•江苏徐州•高三期中）已知圆加：/+、2+4%-1=0,点P3力是圆M上的动点，

则（）

A.圆河关于直线4+3y+2=0对称B.直线x+y=。与圆M相交所得弦长为石

C.上；的最大值为:D./+从的最小值为后一2

a-32

【答案】AC

【分析】验证圆心是否过直线判断A,求出相交弦长判断B,把/=一"变以力=«。-3）代

入圆方程，利用判别式不小于0判断C,利用原点到圆心的距离求得f+y2最小值判断D.

【详解】圆M标准方程是。+2）2+丁=5,Af（-2,0）,半径为r二不，

易得M点在直线x+3y+2=0上，A正确；

点M到直线x+y=0的距离为d=g=0,弦长为l=2ylr2-d2=2/逐f-（&丫=2后，

B错；

由，=占得6=3-3）代入圆的方程整理得（1+/）"_（6/一4）〃+9产-1=0,

a-3

A=（6/2-4）2-4（1+12）（9/2-1）=-80/2+20>0,所以/的最大值是义，C正确；

10Ml=2,1mhi=6-2,所以/+从的最小值是（|a£n）2=9-46，D错误.故选:AC.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦

长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算.求分式型，平方型式子

的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解.

三、填空题

14.（2020•山东费县•高三期末）抛物线C:）*=2x的焦点坐标是；经过点「（4,1）的直

线/与抛物线。相交于A,8两点，且点尸恰为A5的中点，尸为抛物线的焦点，则

\AF\+\BF\=.

【答案】9.

【分析】由抛物线的解析式可知2〃=2,即可得出焦点坐标为尸过A、B、尸作准

线的垂线且分别交准线于点〃、N、K,根据抛物线的定义可知|AM|+|BM=|AF|+|M|,

由梯形的中位线的性质得出g(|AM|+忸N|)=|PK|=4+；=?进而可求出|A耳+忸尸|的结果.

【详解】解：由抛物线C：y2=2x,可知2〃=2,则｝：，所以抛物线。：丁=24的焦点

坐标为尸住，。)

如图，过点A作AM垂直于准线交准线于M，过点片作6N垂直于准线交准线于N,

过点P作PK垂直于准线交准线于K，

由抛物线的定义可得|AM|+忸N|=|AF|+忸F|,再根据尸(4,1)为线段48的中点，而四边形

AMN8为梯形，

由梯形的中位线可知g(|AM|+忸N|)=|PK|=4+g=£,

则|刎+网=9,所以1M+网=9.故答案为：(川；9.

15.(2021•江苏徐州•高三期中)已知抛物线C：V=8x的焦点为RP为C上一点，若A(-2,0),

则僧的最大值为________.

\PF\

【答案】V2

【分析】根据抛物线定义转化可得爵=一匚=，求出/尸4/最大值即可.

|PF|cosZ.PAF

【详解】由题可得4-2,0）为准线工=-2与X轴交点，

过产作所与准线垂直，垂足为以由抛物线定义可得|尸8|=|比|,则

|PA|PA|11

\PF\"-sinZPAB~cosZPAF"

PA\

则当cosNRA尸最小时，即NPA尸最大时，祸取得最大值，由图知当直线AP与抛物线相

切，NPAF最大，

设直线AP方程为x=机），—2,代入抛物线得y2-*^ny+\6=0,

则由△=（-8m）2-4xl6=0,解得相=土1,由于抛物线的对称性，取加=1即可得，

此时N尸4尸=45。，所以隹的最大值为五.故答案为：72.

Pr

16.（2021•浙江省三门中学高三期中）设椭圆5+/1（〃>“0）的左、右焦点分别为J勺

P是椭圆上一点，|PK|=4|P玛|,《〈义。｝Z/­Pf；=|,则椭圆离心率的取值范围为

【答案】性用

【分析】设|阴|=乙则归用=力，由椭圆定义可得（2十3=方即（2+1）2/=46,由勾股

2万+13

定理可得（万+1）『=4°2两式相除可得e=兀一而再令加=2+1€-,3由函数的性质

（4+1）

可得『的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围.

【详解】设6（f0）,玛（c,0）,由椭圆的定义可得|P用+|P周二为，

设|P&=f,则仍用=»,所以。+1），=2〃，即（7+1）2/=4/.①

因为/£尸玛二弓，所以（%+1*=4/,②两式相除可得怖

e,令

L（A+1I

〃?=%+1e5,31可得4=〃?—I,

22

A+l_("2-1)2+]_ni-2m+21c1,21

所以〃==2--2---F1=2-+—

(%+1)2nrmin2

3117所以当工=:即6=2，义=1时e2取得最小值;，此时e最

因为2“〃区3'所以屋

m22

小

当或匏噜3,25时/取得最大值.此时e最大为五,

所以椭圆离心率的取值范围为也正，故答案为:

23

17.（2021•湖北武汉•高三期中）已知椭圆的方程为5+E，K为椭圆的

a

左右焦点，〜为椭圆上在第一象限的一点，/为耳鸟的内心，直线P/与k轴交于点Q,

椭圆的离心率为：，若丽=2匝,则％的值为.

【答案】4

【分析】连接阴、/6，/是耳耳的内心，得到尸Q为NKPK的角平分线，即Q到直线PZ

PIPF.+PF、

、松的距离相等,利用二角形的面积比,得到友=就』

圆的离心率的定义，即可求解.

【详解】解.：如图所示，连接阴、/月，/是鸟的内心，所以阴、/K分别是NPZ居和

NPK6的角平分线，由于经过点P与居的内切圆圆心/的直线交工轴于点。,

则尸Q为/”尸K的角平分线，则0到直线力管?居的距离相等,

P1叫PI二归周

所以同理可得而

S△%°一|尸闾一|。闾KQ|'IQ|人。|

由比例关系性质可知胃儒普=爷科上

c1Qi

又椭圆的离心率0=二=5.所以P/=3/Q,所以PQ=4/Q,故4=4,故答案为：4.

pi

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，

求得〃，c得值，根据离心率的定义求解离心率*2、齐次式法：由已知条件得出关于©c的

二元齐次方程，然后转化为关于-的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特

殊位置，求出离心率.

18.（2022•全国福三专题练习）P是双曲线£-£=1右支在第一象限内一点，耳，尸2分别

45

为其左、右焦点，4为右顶点，如图圆C是4PZ用的内切圆，设圆与尸片，尸人分别切于

点O,E,当圆。的面积为4兀时，直线尸用的斜率为.

【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为飞=。，又根据圆的面积可求出

半径r=2,可知圆心C（2,2）,可求出tanNMA,因为。尸2是4的角平分线，借助于

角相等可求直线PF2的斜率.

【详解】由题意可知|叫二|尸£|,|耳北=|耳%|=4=|玛目,

所以|「制一|尸段=（|叫+|以|）-（|尸£|+|%|）=|期|-忸闾=|明|一|伍|=2,

设A（%0）,则（y+。）一（。一%）=2«09=〃,即A（a,0）=（2,0）,

设圆C的半径为r（r〉0）,因为圆C的面积为4%，则"2=4兀=r=2,

因为。，耳6,所以C（,2,2、）,于是tan/C居A=局以=存2=2,因为是NP6”的角平

分线，

所以tan4PFE=tan（2ZCF,A）==±_=_i

21I271-（an2ZC/^A-33

444

所以tanNPRx=tan（万一NPEf；）=TanNPE/=Q,即直线PF?的斜率为二.故答案为：-.

四、解答题

19.（2021•四川南充•一模））已知椭圆C：*+*=1（。＞。＞0）的离心率为日，椭圆。的

下顶点和上顶点分别为%B2f且［4阂=2,过点P（0,2）且斜率为攵的直线/与椭圆。交

于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）当欠=1时，求AOMN的面积；（3）求证：直线4M与直

线B?N的交点T恒在一条定直线二.

j-24

【答案】(1)—+/=1,(2)(3)见(3)详解.

45

【分析】（1）由|4坊|=2可得6=1,结合离心率可求基本最，进而得椭圆的方程.

（2）写出直线/的方程为与椭圆方程联立，运用韦达定理及弦长公式可求出|MV|，再由点到直

线的距离公式求出原点到直线/的距离d,从而可求出三角形的面积.

（3）设丁（物〃），由然在同一条直线上，且打,7:"在同一条直线上，建立旅、〃之间的

等量关系可得证.

（1）因为忸闵二2,所以3=2,即力=1,e=-=—,c=—a,c2=a2-b2,

a22

所以C=GM=2,所以椭圆的标准方程为:工+）/=1

4

（2）直线/的方程为y=x+2,设（孙力），

'y=x+2

方程联立,/2,整理得5./+16x+12=0,则%+a=--~fxix2=»

一+y=\5-5

所以|MN|=J1+攵2+占）2-4%也=7l+l2xJ_4x£=，

原点到I的距离d=尸,=72，则AOMN的面积S=-d\MN\=\&—=

Vl+l7211255

（3）设直线/的方程为：y=kx+2,M（x，、]）,%（%,%），

y=kx+2

16k12

则,整理得（442+i）V+i6区+12=0,则为+%2=，演工2

4P+I4k2+1

△=（16攵）--48（4尸+1）＞0,则&2＞彳,

设丁（孙〃），因为练丁，“在同一条直线上，则四=上="二=火+之

.Xj入]

n-1y,-1kx^+1,1

因为鸟,7;汽在同一条直线上，则一=匕一=-—=攵+一,

〃2X231

所以把1+3•竺1=奴+=以+_^1112=0,所以〃=:，则交点T恒在一条

mmXjX＞"2

4^+1

直线y=J上.

【点睛】本题第三问的关键是设交点/（虫〃），利用三点共线建立动点T纵横坐标的等量关系.

20.（2021•上海金山一模）已知?（0,1）为椭圆C[+[=1内一定点，。为直线/：y=3上

一动点，直线PQ与椭圆。交于两点（点B位于P、。两点之间），O为坐标原点.

（1）当直线尸。的倾斜角为（时，求直线0。的斜率；（2）当AAOB的面积为；时，求点

Q的横坐标；

（3）设丽=4而，丽=〃诙，试问丸-〃是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，

请说明理由.

【答案】⑴|（2）。（4,3）或Q（-4,3）⑶1

【分析】（I）先得到直线P。的方程为：y=x+i,由=得到0的坐标求解；（2）

1尸3

£匚]

设直线PQ的方程为），=丘+1,由，43一，结合韦达定理求得卜一土|，再由

y=kx+\

x2y2.

（3）设直线PQ的方程为工=m&-1），由43一，得到

x=/n（y-l）

22

（4+37w）（y-l）+8（y-l）-8=0,,有y-l+y2T=一7：2，（，T）（%T》、:2,

''4+5tn4+5tn

再根据而=4而，AB=pBQ,得到="：+：―.=7+1^求解•

y2T3-y2Sf3f

（1）解：因为直线PQ的倾斜角力?，且尸（0,1）,所以直线PQ的方程为：y=x+i,

由"二;+1，得0（2,3）,所以宜线00的斜率是％=}

（2）易知直线PQ的斜率存在，女直线尸。的方程为y=^+l,

由43-，得（3+4公b2+8奴_8=0,设Aa，x）,8（w，%），则

y=kx+\

8k8

玉+“-由'…-通’

所以w―引=Ja+/）2-你.马=当三签一，所以

L°"=3OPHX，71=^^^=T，

解得公=；,口|H=±g,所以直线PQ的方程为y=gx+l或y=-gx+l,

由，=5,得。（4,3）；由,得。（T3）；

y=3[y=3

（3）易知直线尸Q的斜率存在，设直线尸。的方程为x=m（y-l）,

22

xy_

由忖+彳=，得（4+3加2）（y_i）2+8（y—1）—8=0,设人内方）,贝々,％），则

x=77i（y-l）

QQ

y-\+y-1=-^-9-(^-9=-»所以y_i+%_i=(y_1).(％—i)，

]24+3m24+3m2

因为「海，昆瓯所以"舒公导=丐宇一+汽,

所以"号+4"2[(1—凹)+(1_')]+2(1一凹)(1一')

(y2-l)(3-y2)

22

21.（2021•江苏连云港•高三期中）已知离心率为:的椭圆。:二+1=1（〃>6>0）与直线

x+2y-4=0有且只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（0,-2）的动直

线/与椭圆。相交于A,8两点，当坐标原点O位于以A8为直径的圆外时，求直线/斜率

的取值范围.

【答案】⑴⑵卜苧局也,明

【分析】（1）由e=t=3将椭圆方程化简为3（4-2），）2+4/一12。2=0,进而结合判别式法

求得答案：

（2）设A（x，yJ,8（孙％），直线/方程为丁="-2,根据

OAOB>0^>中2+y必=中2+（例-2）（5-2）>0，进而结合根与系数的关系求得答案.

c1

(1)根据题意，e=—=—,而a2=//+c2,则q=2c,h=y/3c>

a2

所以椭圆方程为£+£=1,3x2+4y2=12c2,

4c~3c

222

[匕2),_；=0=>3(4-2j)+4y-12c=0

[3X2+4/=12C2l-

=>\6y248yl4812c2-0,A=/182-6d(d8-12c2)=O=>c=l,

所以a=2,b=>/3,椭圆C方程为：---1=I.

43

（2）设直线/方程为），=丘-2,A（%,y）,8（孙力）,

y=kx-2

=3x2+4(—2_m+4)=12,即(3+4公卜—166+4=0,

-3X2+4/=12

，因为O在以AB为直径的

圆外，所以0408>0=>X[X2+yy2=x/2+(AX1-2)(Ax2-2)>0,则

（1+r）玉七一24（芭+/）+4>0,于是（1+1）74rl—+即

D十^TKD十4K

山，2>/372V3

\2k~<16A=-----<k<----.

33

综上：/斜率左的取值范围为-:卜

22.（2021•河北石家庄•模拟预测）已知椭圆C：5+/=l（a>b>0）的离心率为自，且点

P,日在C上.

\7

（1）求椭圆C的标准方程；（2）设6，居