2022届高考数学一轮复习第5讲空间直线平面的平行题型总结导学案解析版

第5讲空间直线、平面的平行题型总结知识点一基本事实4(平行定理)(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c.知识点二等角定理(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)符号语言：对于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′⇒∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.拓展：1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．知识点三：直线与平面平行的判定与性质判定性质定理定义图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b拓展：1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可①直线a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.③直线a在平面β内，即a⊂β.知识点四：面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α拓展：1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示考点一：空间基本公理例1.三平行平面与一直线交于，，三点，又与另一直线交于，，三点，已知，及求．【解答】解：过点与直线确定一个平面，在这个平面上过做的平行线，交面于，交于，面同时与两个平面相交，得到交线平行，，同理得到，，．考点二：空间中的平行问题例2．（2020·重庆万州区·万州纯阳中学校高二月考）在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【详解】定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行.可知①②正确；线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.可知④正确；当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确.故选：D.例3．（2021·六盘山高级中学高一期末）平面∥平面，，则直线和的位置关系（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面【答案】B【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点∵，，∴直线，没有公共点∴直线，的位置关系是平行或异面，故选：B.例4．（2020·全国高三专题练习（理））如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（）A．有一条 B．有二条C．有无数条 D．不存在【答案】C【详解】设平面，且，又平面，平面，平面，显然满足要求的直线l有无数条.故选：C.【变式训练】1．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为（）A．① B．①② C．② D．①②③【答案】C【详解】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；故选：C．2．（2020·全国高一课时练习）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【详解】四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，平面，平面平面，由直线与平面平行的性质定理可得：．故选：．3．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内【答案】B【详解】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.故选：B4．（多选）（2021·全国高三专题练习）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（）A．水的部分始终呈棱柱状；B．水面四边形EFGH的面积不改变；C．棱A1D1始终与水面EFGH平行；D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值．【答案】ACD【详解】由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同，但水的部分始终呈棱柱状，且棱平面，棱，∴平面；∵体积是定值，高为定值，则底面积为定值，即为定值，综上ACD正确．故选：ACD.5．（2020·江苏连云港市·高三期中）在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．平面 B．平面截长方体所得截面的面积为C．直线与所成角为60° D．三棱锥的体积为4【答案】ACD【详解】对于选项A：由，，所以，平面，平面，即可得平面，故选项A正确；对于选项B：因为平面平面，平面截长方体所得截面为平面，由面面平行的性质定理可得：，故四边形为梯形，又因为，，梯形的高为，所以梯形面积为，故选项B不正确；对于选项C：取的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中，，所以，故选项C正确；对于选项D：，故选项D正确，故选：ACD考点三：平行中的计算问题例6．（2021·江苏高二）如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且平面，则AP的长为（）A． B． C．1 D．与AB的长有关【答案】B【详解】连接与交于点，连接与交于点，连接由平面,且平面平面,平面所以,则由与相似，且E为CD的中点，则所以又由与相似，则所以P为的中点，所以故选：B例7．（2020·四川乐山市·高三月考（文））如图，长方体中，，，点是线段的中点，点在线段上，，则长方体被平面所截得的截面面积为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】长方体中，，因为，所以，因为点是线段的中点，所以点是线段的中点，因为，平面，平面，所以平面，因为平面与平面有一个公共点，所以它们有一条过点的交线，且该直线与平行，所以与平行，设此直线分别交直线于点，连接交于点，连接交于点，连接，则五边形是长方体被平面所截得的截面，因为底面是正方形，则分别为，的中点，所以，所以，所以，，同理，，所以分别是，的三等分点，所以，，，，等腰中，边上的高，所以的面积为：，梯形为等腰梯形，如图：梯形的高为，所以梯形的面积为，所以截面面积为.故选：B.【变式训练】1．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.【答案】【详解】取中点，连接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.故答案为：.2．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，点在上，平面，，，若三棱锥的体积为，则______，点到平面的距离等于______．【答案】3【详解】连接交于点，连接，则是的中点．因为平面，平面平面，平面，所以，所以是的中点．由等体积法可知．因为，，所以，所以为直角三角形．因为平面，所以，解得．所以．又因为，所以为等边三角形，所以．设点到平面的距离为，则由，解得．故点到平面的距离为．故答案为:3;考点四：利用平行四边形模型证明平行问题例8．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；【详解】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，【变式训练】1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为2，O1是A1C1中点.（1）求证：AO1平面DBC1；（2）设BB1的中点为M，过A､C1､M作一截面，并求出截面面积.【来源】2.2.3直线与平面平行的性质-2020-2021学年高一数学课时同步练（人教A版必修2）【答案】（1）证明见解析；（2）作图答案见解析，.【分析】（1）若要证线面平行，只要证明AO1平行于平面DBC1内一条直线即可，故连接AC，BD，可构造四边形AA1C1C为平行四边形即可得证；（2）过点作截面问题，则在平面上的交线过点且与平行，在平面上的交线与平行，据此即可得解.【详解】（1）证明：如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接OC1，由AA1CC1，AA1=CC1可得四边形AA1C1C为平行四边形，则ACA1C1，又C1O1=AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，得AO1C1O.而A1O⊄平面DBC1，C1O⊂平面DBC1，∴AO1平面DBC1；（2）连接AM，C1M，设平面AMC1与平面AA1D1D交于AN，由平面AA1D1D平面BB1C1C，且平面AMC1∩平面BB1C1C=C1M，平面AMC1∩平面AA1D1D=AN，∴C1MAN.同理可得AMC1N，得到四边形AMC1N为平行四边形，在Rt△ABM与Rt△C1B1N中，求得AM=C1M，即四边形AMC1N为菱形，得N为DD1的中点.∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴MN，.∴截面面积S.【点睛】本题考查了线面平行的证明，以及几何体的截面问题，要求较高的逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.（1）线面平行问题主要要说明平面外一条直线平行于平面内一条直线；（2）截面问题关键点是利用两平行平面与第三个平面相交则交线互相平行来解决问题.2．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，点O1，O分别是上、下底面菱形的对角线的交点．（1）求证：A1O∥平面CB1D1；（2）求点O到平面CB1D1的距离．【来源】专题5.1立体几何有关的计算-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用线面平行的判定可得证．（2）解法1：运用等体积法可求得点O到平面CB1D1的距离．解法2：直接作垂线法，解三角形可求得点O到平面CB1D1的距离．【详解】解：（1）因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1．因为O1，O分别是A1C1，AC的中点，故OC∥A1O1且OC＝A1O1．所以四边形A1O1CO为平行四边形，所以A1O∥O1C．又平面CB1D1，平面CB1D1，所以A1O∥平面CB1D1．（2）（解法1等体积法．）设点O到平面CB1D1的距离为h．因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．因为AC，BD为菱形ABCD的对角线，所以CO⊥BD．因为D1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，CO＝．则点O到直线B1D1的距离为DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面积＝·DD1·B1D1＝．所以三棱锥C-OB1D1的体积V＝·CO＝．在中，CB1＝CD1＝，B1D1＝1，则的面积＝．由V＝·h＝··h＝，得h＝．因此，点O到平面CB1D1的距离为．（解法2作垂线．）因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．因为A1C1，B1D1为菱形A1B1C1D1的对角线，所以B1D1⊥A1C1．因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．因为B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．在平面AA1C1C内，作OH⊥CO1，H为垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，所以OH⊥平面CB1D1，即线段OH的长为点O到平面CB1D1的距离．在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，sin∠CO1C1＝＝，sin∠OCH＝＝＝，所以＝，故OH＝．因此，点O到平面CB1D1的距离为．【点睛】方法点睛：求点到的距离的方法有：等体积法，直接作面的垂线段法，建立空间直角坐标系，运用空间向量求解方法．3．（2020·重庆市杨家坪中学高二期中）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，，，为边的中点.

（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）如图所示：取中点，连接、，

是的中点，为的中点，则且，，且，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，因此，平面；（2）是的中点，，取中点，连接、，取的中点，连接.，为的中点，，在梯形中，，，为的中点，，又，则四边形为矩形，，且，，为等腰直角三角形，且，，，，在中，由余弦定理得，，，，，平面，，，三棱锥的体积为.考点五：利用中位线证明平行例9．（2021·河南高一月考）如图，在长方体中，，.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的外接球的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在长方体中，因为，，所以四边形是平行四边形，.又，所以直线平面（2）因为三棱锥的所有顶点所在的球面与长方体的八个顶点所在的球面相同，这个球的直径，半径.所以所求球的体积为.【变式训练】1．已知正四面体ABCD，M､N分别在棱AD、AB上，且，，P为棱AC上任意一点(P不与A重合)．（1）求证：直线平面BDP；（2）若正四面体ABCD的各棱长均为60．求三棱锥M﹣BDC的体积．【来源】陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考文科数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由，得出，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）设G为底面△ABC的重心，由MN∥平面DBC得出三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等，再由等体积法求出三棱锥M﹣BDC的体积．【详解】解：（1）证明：由，可得点M在AD上，则有又，所以又平面BDP，BD⊂平面BDP，所以MN∥平面BDP；（2）设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，如图所示则所以由（1）可知MN∥DB，且平面DBC，DB⊂平面DBC，故MN∥平面DBC所以点M与点N到平面BDC的距离相等所以三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等又三棱锥N﹣BDC的体积与三棱锥D﹣BNC的体积相等所以=所以三棱锥M﹣BDC的体积为．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由MN∥平面DBC得出三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等，进而由等体积法求出所求体积.2．如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的侧面积.【来源】黄金卷15-【赢在高考?黄金20卷】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积.【详解】（1）∵、分别为、的中点，∴，又平面，平面，∴平面，在中，，，∴，又，∴，∵平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，（2）∵平面，平面，平面，由（1）可知，∴、，∵，，，，∴，，，由（1）可知，在中，，∴，又，在中，，∴边上的高，∴，∴三棱锥的侧面积.【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.3．如图，已知正四棱柱中，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）过作正四棱柱的截面，使得截面平行于平面，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.【来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析，截面面积为.【分析】（1）连接交于点，所以是的中位线，可得答案；（2）分别取、、的中点，连接，则四边形即为所求截面，再利用平行四边形的对边平行且相等可证得答案，由所求截面为菱形可得面积.【详解】（1）连接交于点，所以为的中点，连接，因为为的中点，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；（2）分别取、、的中点，连接，则四边形即为所求截面，证明如下，连接，所以，所以四边形是平行四边形，所以，同理，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，即四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，，所以平面平面，而平面，所以四边形即为所求截面，又因为，，所以，所以四边形为菱形，所以，因为，，所以截面面积为.【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的证明及截面图形的求法，关键点是根据平行四边形性质得到截面，考查了学生的空间想象力和计算能力.考点六：证明动点平行问题例10．如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.（1）求证：平面（2）若二面角的余弦值是，求点到平面的距离【来源】吉林省吉林市普通中学2020-2021学年高三第三次调研测试理科数学试试题【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连结，设，连结，先证明面，面，再由面面平行的判定定理，得到面∥面，由面，即可证明平面；（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】（1）证明:连结，设，连结.，又面，面，面.四边形是平行四边形，，又面，面，面.面，面，面面.∵由面，∴平面.（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设所以设平面的一个法向量则，不妨设，解得.显然平面的一个法向量.由二面角的余弦值是，则，又，解得又即点到平面的距离为.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．例11．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）中，底面是边长为2的菱形，且，，点E，F分别为，的中点，点G在上．（1）证明：平面ACE．（2）求三棱锥B-ACE的体积．【来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末文科数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接BF，OE，，由三角形中位线得，则平面ACE，又，得平面ACE．从而证明平面平面ACE即可.（2）利用等体积法，由求解.【详解】（1）如图所示：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，，则．∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，∴平面平面ACE，∵平面，∴平面ACE．（2）在中，，，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且，，∵，∴．【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．考点七：轨迹问题例11．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，、分别是，的中点，为上一点，且，为正方形内一点（包含边界）.若平面，则的运动轨迹的长度为（）A． B． C． D．【来源】2021年浙江省高中名校名师原创预测卷数学（第六模拟）【答案】C【分析】分别取、的中点、，证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可知，当点在线段上运动时，平面，可得出点的轨迹为线段，求出即可得解.【详解】如图，分别取、的中点、，连接、、、，设分别交、于点、，连接、、，设，、分别为、的中点，则，且为的中点，同理可知，且为的中点，，平面，平面，平面，因为四边形为正方形，，所以，为的中点，所以，，，同理可得，，，所以，，则，平面，平面，平面，，所以，平面平面，所以当在线段上运动时，由于平面，始终有平面，即的运动轨迹为线段，易知，故选：C.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.例12．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是_________(只填序号).①点F的轨迹是一条线段②与BE是异面直线③与不可能平行④三棱锥的体积为定值【来源】北京市和平街第一中学2020—2021学年度高二年级12月月考数学试题【答案】①②④【分析】对于①，证明点是线段上的动点．所以①正确；对于②，与是异面直线，所以②正确；对于③，与可能平行，所以③错误；对于④，到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以④正确.【详解】对于①，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点分别取、的中点、，连接、、，则，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面内的相交直线平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上的动点．所以①正确；对于②，平面平面，和平面相交，与是异面直线，所以②正确．对于③，由①知，平面平面，与可能平行，所以③错误．对于④，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以④正确；故答案为：①②④【点睛】方法点睛：空间几何体的体积的求解常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）复杂的转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.【变式训练】1．如图所示，在边长为的菱形中，，沿将三角形向上折起到位置，为中点，若为三角形内一点（包括边界），且平面.（1）求点轨迹的长度；（2）若平面，求证：平面平面，并求三棱锥的体积.【来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考文科数学试题【答案】（1）；（2）证明见解析，三棱锥的体积为.【分析】（1）取、中点为、，连接，证明出平面平面，可得出点的轨迹为线段，求出的长，可求得线段的长，即可得解；（2）连接延长交于点，利用面面平行的性质定理可得出，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得平面平面，可得出三棱锥的高为，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，取、中点为、，连接，则点在线段上，证明如下：连接、，因为为中点，为中点，所以，平面，平面，平面，同理可证平面，又，所以平面平面，平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，因为，所以，，所以，即点的轨迹的长度为；（2）