《衍生金融工具》第十三章-奇异期权

第十三章

奇异期权11

本章导读

标准的欧式和美式期权在证券交易所被大量交易,以满足交易者的风险对冲以及投资、投机的需求，但是不同的交易者有不同的投资需求、风险偏好以及在税收和市场监管方面的考虑,那么他们对于期权的执行时间、生效时间与条件、收益函数等属性可能有不同的要求。为了满足这些交易者的特定需求,标准期权的相关属性会做一些改变。我们把这样的期权叫做奇异期权(exoticoptions),它们可以看做是标准的欧式和美式期权的一些变种。奇异期权因为是非标准期权,它们大多都在场外交易(overthecounter)。在这一章,我们就探讨一系列奇异期权及其定价问题。通过本章的学习，要求了解主要奇异期权的定义、特性以及使用方法；掌握远期开始期权、后定期权、两值期权,以及资产交换期权的定价方法;熟悉障碍期权和亚式期权定价的基本思想;理解静态复制的基本思想和方法;掌握奇异期权的数值定价方法以及相关软件的使用。2

第一节奇异期权的背景介绍

奇异期权作为衍生金融工具中的精细分支，应用面非常广，大到国家债务结构的调整、企业资产负债表的重构，小到银行的结构化理财产品、企业的杠杆投资、大宗商品的避险等。奇异期权的应用很多是通过结构化债券实现的，所以可以通过奇异期权将表内债务转移到表外，也可以包装成挂钩黄金、有色金属、汇率或者股价等的结构化理财产品，以及可以包装成挂钩航空油价、航海运费、矿山原料价格的避险产品。3第一节奇异期权的背景介绍

奇异期权的种类繁多。根据交易者的需求,金融工程师设计出新的奇异期权,投入市场;而一些奇异期权也可能因为市场条件的变化,退出市场。限于篇幅，我们不可能在一章的内容里探讨市场中所有实际被交易的奇异期权。在这里,我们选择那些最主要的奇异期权进行介绍。因为奇异期权是标准期权的变种,它们的定价一般来讲都比标准期权复杂。对于某些奇异期权,它们的定价没有像布莱克-斯科尔斯公式那样的解析表达式,对这类奇异期权,一般都采用数值方法来定价。常用的数值方法包括二叉树法、蒙特卡洛法、有限差分法等。对于某些奇异期权,它们的定价存在解析表达式。但是它们的定价公式的证明,需要用到比布莱克-斯科尔斯公式更加复杂的数学工具,这些不在本书的范围内。所以,关于这类奇异期权的定价,我们尽量讲清楚它们的基本思想,忽略推导过程,直接给出定价公式。本章的主要目的是使读者了解一系列奇异期权的基本概念及其定价的基本思想。奇异期权对于我国的金融市场来讲,属于新兴事物,所以本章中用到的事例大都来自国外。同时我们注意到,在场外交易市场,一些奇异期权已经被我国的企业或投资者使用。它们中比较著名的例子有中信泰富投资类似累积期权的案例和深南电投资亚式期权的案例。4第二节非标准美式期权标准的美式期权通常可以在到期日之前的任何时刻被执行,但无论什么时刻,它的执行价格是唯一的。一些更为复杂的非标准美式期权会在执行日期或执行价格方面有一些特殊的设定。下面给出几个非标准美式期权的例子。百慕大期权(Bermudanoption)是一种只能在发行日与到期日之间的一系列预先设定好的日期执行的美式期权。所以,从执行日期的角度,可以认为百慕大期权是介于欧式期权和美式期权之间的一种期权,但它的性质更加接近美式期权。加纳利期权(Canaryoption)是一种介于百慕大期权和欧式期权之间的期权。它的名字来源于位于百慕大群岛和欧洲之间的加纳利群岛。这类期权的持有者只能在期权开始一段时间以后(通常是一年)的一系列预先设定的日期行使该期权。另外还有一些期权,在有效期内的不同时间行权时有不同的执行价格。在前面的章节,我们知道标准的美式期权的定价没有解析表达式。非标准的美式期权的定价更加复杂,所以一般都采用数值方法来对其定价。5第三节远期开始期权

6第四节复合期权复合期权(compoundoption)是一种以期权为标的物的期权。我们知道基本的期权有看涨和看跌两种,那么期权的期权就有四种基本的类型:看涨—看涨期权(calloncall),看涨—看跌期权(callonput),看跌—看涨期权(putoncall),看跌—看跌期权(putonput)。它被广泛应用在外汇和固定收益领域。它的参数可以用(T1,K1,T2,K2)来表示。我们以一个(T1,K1,T2,K2)的看涨—看跌欧式期权来说明复合期权的性质。该复合期权的持有者有权在T1时刻以K1的价格买入一个在T2时刻以K2为交割价的看跌期权。但是当在T1时刻,一个(T2,K2)看跌期权的价格P[T1,S(T1),K2,T2;Φ]小于K1时,该投资者不会买入这个看跌期权。那么,该复合期权的持有者在T1时刻的收益函数是Φ=max{max{P(T1,S(T1),K2,T2;Φ)-K1,0}。该持有者拥有这个看跌期权后,他有权在T2时刻以K2的价格卖出某资产S。7第四节复合期权

8第四节复合期权一个两个变量的均值都为0并且相关系数ρ是0.5的二元正态分布的累积概率密度函数在[-10,10]之间的形态如图13—1所示。

图13—1二元正态分布的累积概率密度函数形态图S*是在T1时刻,资产S使在T2时刻到期的作为标的物的期权的价格等于K1的价格,即P(T1,S*(T1),K2,T2;Φ)=K1。根据布莱克

斯科尔斯公式,看涨期权的Delta是一个正值,那么对于一个看涨—看涨期权来说,在T1时刻,当资产S的价格高于S*的时候,作为标的物的期权的价值就高于K1,因此复合期权的持有者就会买入标的物期权;反之,复合期权不会被行使。其他三类复合期权(比如看涨—看跌期权、看跌—看涨期权和看跌—看跌期权)的定价公式和看涨—看涨期权的定价公式类似，不一一赘述。9第五节后定期权

10第六节障碍期权对于一个标准看涨期权的卖出者,标的资产的价格上涨得越高,该期权的卖出者的损失就越大。如果当标的资产的价格上涨到一定程度后,该期权自动失效,那么期权的卖出者的损失是有限的。这样的期权对于其卖出者来说无疑具有吸引力。对于期权的买入者来说,这样的期权也比标准期权便宜。一般来讲,如果期权的有效性取决于它的标的资产的价格在某个特定时间段内是否达到某个预先设定的值,那么这类期权就叫做障碍期权(barrieroption)。我们可以用三个属性来描述一个障碍期权,它们是:上涨/下跌,敲入/敲出,以及看涨/看跌。显而易见,三种属性的不同组合可以定义八种障碍期权。比如一个下跌—敲出—看涨期权是一个普通的看涨期权,但是当其标的资产的价格低于某个特定的值时,这个期权将失效。类似地,一个上涨—敲入—看跌期权是一个普通的看跌期权,但是当标的资产的价格高于某个特定的值时,这个期权才会生效。其他障碍期权的定义类似,不一一赘述。幸运的是,障碍期权的定价在布莱克-斯科尔斯的框架下有解析解。一般来讲,障碍期权的定价可以有两个方法。一个办法是:障碍期权的价格函数也满足布莱克-斯科尔斯-默顿方程,但是障碍期权价格所满足的边界条件不同于标准欧式期权。解这个偏微分方程即可得障碍期权的价格。另一个办法是:可以先求出标的资产在到期日的价格与到期日前价格的最大值(或最小值)在风险中性概率下的联合分布,障碍期权的价格可以通过积分求得。在这里,我们把障碍期权的定价归到无障碍的标准期权的定价上去。具体的推导细节我们在本章省去。11第六节障碍期权

12第六节障碍期权专栏13—1中信泰富投资KODA

KODA期权的全称是KnockOutDiscountAccumulator,可以简称为累计期权。它可以看做是一种更为复杂的障碍期权。它有以下性质:(1)该期权的持有者有权以比现价低10%~20%的执行价格买入标的资产;(2)当标的资产的价格超过现价3%~5%时,该合约自行终止,但保证投资者至少有一个月的累积的标的资产;(3)当标的资产的价格跌破执行价格时,投资者必须以执行价格双倍吸纳标的资产;(4)合约的有效期一般是一年,但是投资者通常只需要拥有合约金额40%的现金或标的资产抵押即可成交,因此该期权往往带有杠杆性。从该期权合约的性质可以看出:当标的资产价格上涨时,期权持有者的获利有限,因为这是一个敲出期权;而当标的资产价格下跌时,期权持有者会有双倍的损失。同时,我们可以看到,一份累积期权可以大致等价于买入一份看涨障碍期权并卖空两份看跌期权。中国大陆的金融机构还没有正式推出KODA产品,但是在香港的星展银行、渣打银行、荷兰银行、汇丰银行等多家金融机构已经涉足这类金融产品。据香港媒体估计,仅在2007年,整个香港金融市场成交的KODA合约总值就在1000亿美元以上。

投资KODA著名的例子有中信泰富。该公司预计在2008—2010年间,澳元兑美元将升值。于是它们买入了于2008年10月15日开始的为期两年的澳元累积可赎回远期合约(AUDtargetredemptionforwardContracts)。该合约规定,当澳元兑美元的价格高于协议价时,该合约的持有者可以每个月以协议价购入1000万澳元;当澳元兑美元的价格低于协议价时,该合约的持有者每个月必须以协议价购入2500万澳元。这个合约虽然被叫做远期合约,但它的实质却是一个累积期权。因为该合约规定,当澳元上涨时,该合约的持有者盈利超过350万美元时,该合约敲出,自动失效。但当澳元下跌时,合约持有者需要双倍地吸纳澳元。所以,该远期合约拥有累积期权的所有主要性质。对中信泰富讲,遗憾的是,在2008年金融危机中,澳大利亚储备银行连续两次降息,导致澳元兑美元在2008年9月至10月两个月内,贬值近30%。而中信泰富因为买入该合约,亏损超过150亿港元。除此之外,中国大陆投资者投资复杂金融衍生品而遭受重大损失的案例还包括碧桂园以及一些高净值的个人投资者。13第六节障碍期权中信泰富投资类似KODA的衍生品而招致重大损失的案例非常值得我们反思。我们就以下几点进行讨论:

(1)衍生品市场有对冲者、投机者以及套利者等交易参与者。作为一家投资机构来说,怎么对自己在衍生品市场上的交易角色定位,以及如何做相应的风险控制是需要特别慎重研究的问题。在中信泰富巨亏发生后，有学者运用蒙特卡洛模拟发现，这个累积期权在中信泰富买入之时就注定了巨额亏损的命运。

(2)对于中信泰富来说,为了对冲汇率风险,它可以在外汇市场上选择远期合约、标准期权合约或障碍期权合约,但是它为什么选择了风险更大的累积期权?一个可能的解释是,累积期权的价格相对于其他类似的衍生品来说更便宜。而且2008年9月以前的一年左右时间,澳元兑美元都在0.85以上的价位运行,相对中信泰富签订的0.8971的协议价来说,中信泰富可能遭受的损失是有限的。但是由于国际金融危机的到来,澳元两个月内贬值近30%,最终导致中信泰富遭受重大的损失。那么中信泰富以可能承担极端风险的代价来降低对冲成本是否是一个好的选择?

(3)据媒体报道,一些中国大陆的高净值个人投资者也购买了累积期权作为个人理财投资的产品。因为累积期权的定价相对复杂,个人投资者在定价上相对作为累积期权卖出方的投资银行来说并没有优势。那么对于像累积期权这类复杂的衍生品,是否适合作为理财产品向个人投资者销售?

总的来说,从KODA的案例可以看出,实际在金融市场上被交易的某些奇异期权比一般教科书上讲述的奇异期权更加复杂,它们的定价也更加困难。而作为投资者,如果缺乏相应的金融知识、投资经验以及风险管理水平,很容易造成巨大的亏损。14第七节两值期权

以标准的欧式看涨期权为例,在到期日如果它的收益为正,那么它的收益函数是一条直线S(T)-K。如果极端简化标准期权的收益函数,我们可以得到:如果期权的收益为正[以看涨期权为例,当S(T)≥K时],收益函数为一个固定的值M;否则,收益函数为0。这样的期权就是两值期权(binaryoption)。市场上交易的主要有两种类型的两值期权:现金或空手(cash-or-nothing)两值期权和资产或空手(asset-or-nothing)两值期权。对于现金或空手两值期权,当它的收益为正时,它的收益是一个确定的现金量M;而对于资产或空手两值期权,当它的收益为正时,它的收益是一些确定数量的标的资产。

对于一个现金或空手看涨两值期权来说,根据布莱克-斯科尔斯公式,在到期日它的收益为正的概率[即S(T)≥K的概率]是N(d2),其收益是M。那么该期权的价格为到期日的收益函数的贴现,即e-rTMN(d2)。其他类型的两值期权的定价类似。

传统上讲,两值期权大多都在场外交易。但2008年,美国证券交易所(Amex)和芝加哥期权交易所(CBOE)开始推出了一系列在交易所交易的两值期权。比如Amex推出了以花旗(银行)和谷歌(Google)股票为标的物的两值期权。并且,Amex还赋予了两值期权一个特别的名称,叫做固定回报期权(fixedreturnoption)。而CBOE推出了以S&P500指数为标的物的两值期权。两值期权进入交易所交易,使得它的流动性更强。15第八节回望期权

对于标准的欧式看涨期权,它的收益函数是Φ[S(T)]=max{S(T)-K,0}。我们注意到,这类收益函数和标的资产的价格的变化路径没有关系。如果我们希望收益函数和标的资产的价格变化路径相关,并给予期权的持有者最大的收益,我们可以设计出回望期权(lookbackoption)。由于收益函数由标的资产价格和执行价格构成,所以分别对这两个变量做改动,我们可以定义四类回望期权。(1)如果收益函数是max{S(T)-S(t),0},这类期权是浮动回望看涨期权(floatinglookbackcall)。(2)如果收益函数是max{S(t)-S(T),0},这类期权是浮动回望看跌期权(floatinglookbackput)。(3)如果收益函数是max{S

(t)-K,0},这类期权是固定回望看涨期权(fixedlookbackcall)。(4)如果收益函数是max{K-S(t),0},这类期权是固定回望看跌期权(fixedlookbackput)。

16第八节回望期权

17第九节叫停期权

回望期权给予持有者最优的收益函数。比如固定回望看涨期权中,其收益函数所使用的资产价格是期权从初始到到期日内,标的资产价格的最大值。这类期权一般都比较贵。我们可以考虑给期权持有者次优的收益函数。比如,在期权的到期日之前的任何时刻T*,期权持有者可以有一次“叫价”选择权,锁定与当时标的资产价格对应的收益。当期权到期时,期权持有者的收益是T*锁定的收益和期权到期收益的最大值。这类期权就是叫停期权(shoutoption)。18第九节叫停期权

19第十节亚式期权

与两值期权、回望期权和叫停期权类似,亚式期权(Asianoption)也是对标准期权的收益函数的一种改动。它的基本思想是收益函数中的到期资产价格或执行价格使用平均价格。以看涨期权为例,标准的看涨期权的收益函数是Φ[S(T)]=max{S(T)-K,0}。对于固定执行价格(fixedstrike)的亚式期权,其收益函数是:

Φ(T)=max{Savg(0,T)-K,0}这里Savg(0,T)是期权有效期内标的资产的平均价格。另外一种亚式期权是浮动执行价格(floatingstrike)的,它的收益函数是:

Φ(T)=max{S(T)-Savg(0,T),0}20第十节亚式期权

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第十节亚式期权

因为亚式期权的到期资产价格或执行价格使用的是标的资产的平均值,相比标准期权而言,通过操纵标的资产的价格来影响亚式期权的收益函数变得更加困难。这类期权被称为亚式期权是因为它们是于1987年在东京开始被交易的。亚式期权在外汇市场上被广泛应用。比如,一个美国的进口商需要在每个月的第一天从日本进口某种商品。假设当前日元兑美元的汇率是100日元/美元。该进口商担心未来一年日元相对美元会升值,例如升值到90日元/美元。那样的话,进口商的成本将会增加。为了对冲利率风险,该进口商有两种选择。一种办法是他购买从现在开始一年以内的每个月第一天到期的外汇期权,把利率锁定在100日元/美元。第二种办法是他购买从现在开始一年到期的亚式期权。一般来讲,亚式期权的价格会更加便宜。22

第十节亚式期权

23第十节亚式期权

假设S(t)满足对数正态分布,那么如果Savg是采用几何平均,Savg也满足对数正态分布。那么亚式期权的价格可以有解析表达式,见Kemna,A.andA.Vorst,“APricingMethodforOptionsBasedonAverageAssetValues”,JournalofBankingandFinance,14(March1990):113-129。但是在一般情况下,Savg是采用算术平均,那么Savg就不再满足对数正态分布。但它可以用对数正态分布来比较好地近似,从而我们可以得出亚式期权近似价格的解析表达式。不过它的精确定价的解析式并不存在。本小节着重探讨亚式期权的精确定价的理论框架。24专栏13—2深圳南山热电股份有限公司原油衍生品交易违约风波1.公司背景介绍深圳南山热电股份有限公司(简称“深南电”)是一家生产经营供电、供热等业务的中外合资股份制企业。由于深南电发电生产需要燃油、天然气作为其主要原材料,所以国际市场燃油等能源价格的变动会对深南电的主营业务成本造成较大影响。为了对冲原材料价格变动的风险,深南电公司希望通过利用国际原油衍生品合约进行套期保值,以控制其生产成本,摆脱国际油价上涨对其经营环境造成的冲击。深南电购买的衍生品合约是一个OTC合约,其对手方是阿朗公司(J.Aron)。阿朗是高盛集团的全资子公司,也是全球规模最大的商品交易机构之一。阿朗公司曾在2004年与中航油进行了一次以国际原油为标的资产的期权交易,从中获利5.5亿美元,最终导致中航油破产。而本次深南电与阿朗公司签订的衍生品合约也与2004年中航油与阿朗公司签订的衍生品合约存在一些相似之处。25专栏13—2深圳南山热电股份有限公司原油衍生品交易违约风波2.合约内容及特点2008年3月12日,深南电与阿朗公司签署了两份原油衍生品交易合约确认书。第一份合约的有效期限从2008年3月3日至2008年12月31日,其损益函数是一个分段线性函数。该合约约定当标的资产的浮动价(该月纽约商品交易所轻质原油期货合约收市结算价的算术平均数)高于每桶63.5美元时,阿朗该月将向深南电支付30万美元(相当于1.5美元/桶×20万桶);当浮动价处于62美元~63.5美元之间时,阿朗该月将向深南电支付(浮动价-62美元/桶)*20万桶的等额美元。在上述两种情况下,深南电都将获得正收益。但当该月的浮动价低于每桶62美元时,深南电该月则需向阿朗支付(62美元/桶-浮动价)*40万桶的等额美元,这将有可能给深南电带来巨大的损失。仔细分析不难发现,深南电与阿朗公司签署的第一份合约相当于深南电于2008年3月至2008年12月间,每个月以30万美元的价格卖出了以63.5美元和62美元每桶为交割价格的两份亚式看跌期权,其合约规模为20万桶。而第二份合约的基本结构与第一份合约类似,其有效期从2009年1月1日至2010年10月31日,阿朗公司在2008年12月30日前有权决定是否执行第二份合约。26专栏13—2深圳南山热电股份有限公司原油衍生品交易违约风波3.实际损益情况在2008年3月到2008年10月之间,原油期货的浮动价都处于每桶63.5美元之上,换而言之,阿朗公司共应向深南电支付240万美元。但值得关注的是,原油期货的浮动价从3月份的每桶101.58美元下跌到10月份的每桶67.81美元。从趋势上来看,原油期货的浮动价很有可能就要跌到62美元以下,这意味着深南电在未来将要向阿朗公司进行支付。实际上,原油期货11月的浮动价为54.43美元,低于62美元,这意味着当月深南电要向阿朗公司支付302.8万美元。仅仅这一个月的支付就已经超过了深南电之前八个月的收益总和,并且国际原油价格仍然处于下跌的趋势之中,深南电未来的支付还将远大于11月的支付。最终深南电陷入衍生品交易的困境。2008年10月17日深南电的股票因为该笔衍生品的交易被深交所停牌,同时深圳证监局要求该公司限期整改。27专栏13—2深圳南山热电股份有限公司原油衍生品交易违约风波4.总结与反思本次深南电原油衍生品交易违约事件中,有许多值得我们深入思考的地方:第一,深南电进行本次衍生品交易的目的在于套期保值,对冲国际原油价格上升的风险。为了规避此类风险,一个常用的办法是支付市场价格(该价格可以看做是某种保险费用),买入原油的看涨期权。但从实际操作来看,深南电采用卖出看跌亚式期权的方式。虽然卖出期权可以获得正收益,但是同时使得深南电有非常大的风险敞口。根据深南电2007年年报,其每月消耗的原油大概为50万桶,而本次衍生品交易的合约最多能够为深南电每月带来30万美元的收入,相当于只能抵消每桶油价上涨0.6美元。反而,虽然国际原油价格下跌时深南电的生产成本会减少,但是由于卖出看跌期权给深南电带来了潜在的庞大支出,大概要侵蚀大部分由于原油价格下跌而为深南电带来的收益。这说明深南电本次衍生品交易的目的并不完全在于套期保值,而是基于原油价格看涨的预期,希望能够作为合约的出售方获得正收益,是一种比较典型的投机行为。第二,本次衍生品交易中的第二份合约,给予了高盛公司在2008年12月30日前选择是否执行的权利,属于期权的期权。如前所述,这是一种相对复杂衍生产品。深南电对这类复杂衍生产品的定价缺乏经验,相对于高盛公司和阿朗公司,深南电公司在本次交易中处于“先天性”的不利地位。据相关报道,中投证券衍生产品部的专业团队通过收集历史数据,建立数学模型,再用计算机程序模拟来研究对这个期权合约的定价。其计算结果显示,这个复合期权的价值超过2000万美元。而深南电却拱手将这个期权以远低于2000万美元的价格卖给了高盛,最终陷入了巨大的财务困境。28第十一节资产交换期权假设我们有两个资产S(t)和Ŝ(t),资产交换期权(exchangeoption)使得其持有者有权在到期日T以Ŝ(T)的价格获得S(T)的资产。它的收益函数是:

Φ(T)=max{S(T)-Ŝ(T),0}该期权可以看做是以(t)为执行价格并以S(t)为标的资产的看涨期权;也可以看做是以S(t)为执行价格并以Ŝ(t)为标的资产的看跌期权。该期权被广泛应用在外汇市场中。例如,

一个资产交换期权使其持有者有权在2013年3月1日以130万美元交换100万欧元。如果到2013年3月1日,美元对欧元的汇率是1.35美元/欧元,那么该期权的持有者可以用130万美元买入100万欧元,再在外汇现货市场上用欧元换回美元,他将获得135万美元。那么他的最终收益是5万美元。29第十一节资产交换期权

30第十二节

一篮子期权

31第十三节

静态复制当我们拥有一个资产组合P的时候,常常希望对冲该资产带来的某种风险。通常的做法是通过市场上的其他资产复制(replicate)出一个与P相同或类似的资产PH,并卖出它。典型的例子是Delta对冲,它可以使资产组合的价格相对于标的资产的价格变动不敏感。复制有两类方法,一类是动态复制(dynamicreplication),它需要根据市场变化,不断调整PH中各个资产的比重。另外一类是静态复制(staticreplication),它一旦确定PH中各个资产的比重后,就不再需要调整。静态复制的基本思想是通过市场上的其他资产来构造一个与我们需要对冲的资产组合P具有相同的收益函数的资产组合PH。显而易见,如果视PH和P为时间轴和资产价格轴构成的坐标系中的收益函数,并且PH和P满足同样的价格方程,那么PH和P的价格应该是相同的,否则就存在着无风险套利的机会。一个静态复制的例子就是用标准的欧式期权来复制障碍期权。如前所述,障碍期权和标准欧式期权的价格都满足布莱克

斯科尔斯方程,所以静态复制是可行的。静态复制最大的好处是它的资产权重不需要不断调整,这样就不会因为复制而产生大量交易费用。32第十三节

静态复制

33第十三节静态复制

34第十四节

奇异期权定价的程序实现现代金融计算软件已经实现了多种奇异期权的定价公式和算法,可以在实际工作中直接使用。比如Matlab就实现了八种奇异期权的定价。下面我们以亚式期权为例,来简要介绍Matlab的奇异期权定价函数的用法。【例13—1】假设有一个关于百度(NASDAQ:BIDU)股票的浮动执行价格的亚式看涨期权,它的执行价格采用连续的算术平均。该期权的开始时间是2012年1月1日,到期日是2013年1月1日。在期权开始日的股价是116美元,股价的波动率是20%,为了简单起见,假设它的股息是0。无风险利率是7%。该亚式期权的价格可以用下面的程序来计算。35第十四节

奇异期权定价的程序实现

%buildaCRRtreeSigma=0.20;%thevolatilityoftheunderlyingassetAssetPrice=116;%theunderlyingassetpriceattime0

StockSpec=stockspec(Sigma,AssetPrice);

RateSpec=intenvset(Rates,0.07,Compound