数字信号处理（第3版）课件 第06章 离散傅里叶变换DFT

第6章离散傅里叶变换（DFT）

6.1DFT的定义6.2DFT与DFS的关系6.3频域取样6.4DFT的性质6.5用DFT实现信号谱分析6.1DFT的定义长度为N的因果序列傅里叶变换是：在区间，等间隔地取N个频率其傅里叶变换的取值是：采用简写符号N点离散傅里叶变换（DFT）

N点DFT是对长度为N的因果序列的傅里叶变换的N点等间隔取样

DFT和IDFT变换对特殊变换对证明正反变换互逆证明5点DFT是FT的5等分取样举例尽管取样点数很少，也能通过IDFT重构时域信号举例将W右上角的自变量全部化成正整数举例0515k6.2DFT与DFS的关系将序列以N为周期延拓成周期序列0n808n-12N=12......举例后两种表示只适用于无混叠的周期性延拓x[n]的N点DFT可以表示成：DFT反变换可以表示成：DFT和IDFT具有固有的周期性（指数学计算上的周期性）有限长信号的DFT是其无混叠的周期性延拓信号的DFS的主周期，IDFT是IDFS的主周期举例强调DFT定义的特点DFT点数大于等于x[n]的长度DFT点数、求和项数、FT的取样点数、周期信号的周期四者全部一致6.3频域取样讨论当频域取样点数不等于信号长度时：（1）是否能重构时域信号；（2）是否能内插出连续的傅里叶变换函数；（3）是否能采用DFT计算。设序列x[n]长度为M（M可以是无穷大），已知其N点频域取样

取样点数N可以是大于等于或小于M的整数，则利用IDFS可以重构一个周期信号：

利用N点IDFT可以重构一个有限长信号：时域取样

频域周期性延拓频域取样

时域周期性延拓1.采用频域取样重构时域信号将上面的离散的频域取样值当成某信号的频域，则该信号是周期的，通过IDFS计算:设x[n]任意长，频域取样点数N证明频域取样后重构的时域信号x1[n]与原信号x[n]

的时域关系示意图（x[n]长度M，频域取样N点）频域取样点数N≥信号的时域长度M频域取样点数N<信号的时域长度M原信号的尾部混叠到了头部只有当序列长度有限，并且频域取样点数大于或等于序列的长度时（此时N点频域取样就是N点DFT），才能够由频域取样无失真地重构原始时域信号（否则重构的时域信号是原信号的混叠），并且也才能够通过如下的理想内插得到无失真的傅里叶变换：

2.频域取样定理证明3.利用DFT求信号的傅里叶变换的取样（1）频域取样点数N大于信号长度M：时域补零到N后作N点的DFT，得到对其FT的N点取样。（2）频域取样点数N小于信号长度M：将时域以N为周期延拓（有混叠），取主周期得到长度为N的信号，再作N点DFT，得到对其FT的N点取样。10点DFT比5点DFT更真实地反映信号频谱举例1.DFT的时域频域信号都是相同长度的因果有限长信号，

DFT点数必须大于等于信号长度。2.DFT的时域和频域都是对应的周期信号（原有限长信号的无混

叠的周期性延拓）的时域和频域的主周期。3.N点DFT是DTFT的N等分取样，N越大取样越密，线性内插越

接近DTFT，通常选取N远远大于信号长度；

反过来信号的DTFT的N等分取样不一定是信号的N点DFT，也不

一定能重构原始时域信号，只有N大于信号长度时前述2条才成立

，这就是频域取样定理。M点x[n]的DTFT的N点取样，通过N点IDFT重构的时域信号：（1）N=M，x[n]（2）N>M，x[n]的补零（3）N<M，x[n]的混叠

反过来，用N点DFT求M点序列x[n]的DTFT的N点取样的方法：（1）N=M，直接作x[n]的N点DFT（2）N>M，x[n]补零到N点，再作N点DFT（3）N<M，将x[n]混叠成N点序列，再作N点DFT6.1-6.3小结6.4DFT的性质2.循环（圆周）移位性质1.线性性质

定义序列x[n]在区间上以N为模的循环移位为

举例(1)(2)两边取主周期两边取主周期证明解:例题3.对偶性是x[n]以N为模的循环翻折举例4.对称性质

定义::圆周（周期）共轭对称分量

:圆周（周期）共轭反对称分量任意序列可以表示成周期性共轭对称信号：周期性延拓后相对原点共轭对称周期性共轭反对称信号：周期性延拓后相对原点共轭反对称举例5.实序列的DFT

N=10Real{X[k]}Imag{X[k]}|X[k]|arg{X[k]}举例N=9（奇数点）|X[k]|Arg{X[k]}6.帕斯瓦尔定理

证明定义两个长度为N的序列的N点循环卷积为

7.循环卷积性质*图解法求循环卷积：循环翻折；循环移位；矢乘；累加。55730123n4举例NN证明循环卷积与线性卷积的关系

当循环卷积的点数N大于等于线性卷积的长度时，循环卷积等于线性卷积；否则，循环卷积是有混叠的线性卷积。N点取样N点IDFT根据循环卷积性质根据频域取样FT频域取样关系利用频域取样的概念证明线性卷积与循环卷积的关系：循环卷积与线性卷积在频域是取样关系，所以时域是周期性延拓取主周期的关系。N>=max{N1,N2}证明线性卷积6点循环卷积=线性卷积混迭加12点循环卷积=线性卷积举例（1）取DFT点数N大于等于线性卷积信号的长度

（2）对x[n]和h[n]分别补零到N点长度，分别作N点

DFT得到X[k]和H[k]

利用DFT计算线性卷积

（3）计算Y[k]=X[k]H[k]（4）计算Y[k]的DFT反变换得到N点循环卷积，即线性卷积

y[n]=x[n]*h[n]6.4小结(定义x[N]=x[0],X[N]=X[0])6.5用DFT实现信号谱分析

6.5.1短时傅里叶变换举例常用的窗函数：布莱克曼窗族（三角形窗除外）

布莱克曼窗族(三角形窗除外，M=20)6.5.2用DFT实现短时傅里叶分析时域加窗和频域取样导致用V[k]估计有误差。C/DDFTxc(t)Tx[n]w[n]v[n]V[k]V(ejω),V[k]-π0π

ω-N/20N/2k-π/T0π/TΩ

Xc(jΩ)X(ejω)假设C/D无混叠和量化误差-π0π

ω

W(ejω)-π0π

ω

用V[k]推断Xc(jΩ)的步骤:(1)V[k]线性内插成V(ejω)≈

X(ejω)

k

ω(2)ω

Ω，幅度T倍，得到Xc(jΩ)TT时域加窗和频域取样引入误差举例1．时域加窗的影响

加窗前加窗后加窗前加窗后（1）谱线展宽成窗频谱的主瓣宽，导致：难以确定频率的位置和幅度（谱泄露）；降低频率分辨率。（2）产生旁瓣，衰减等于窗频谱的旁瓣衰减，

导致：产生假信号；淹没小信号。定义频率分辨率（能分辨的最小频率间隔

）=窗频谱的主瓣宽，即举例能分辨的最小频率间隔=主瓣宽举例ω(х

πrad)布莱克曼窗族的傅里叶变换(M=20)常用窗函数的主瓣宽和旁瓣相对幅度

主瓣宽与窗形状及窗长有关。增加窗长，能减小主瓣宽，从而提高频率分辨率。同样的窗长，矩形窗的主瓣宽最小，即频率分辨率最高。另外，窗越长则时间分辨率越低。2.频域取样的影响

傅里叶变换

没有取样到峰值的DFT

只取样到峰值和零值的DFT增加DFT的点数N能够取样到更多的细节，因此常常使用时域补