数字信号处理（第3版）课件 第02章 Z变换

第2章z变换2.1z变换的定义2.2z变换的收敛域性质2.3z反变换2.4z变换的性质2.1z变换的定义z是复数变量

单边z变换的定义是本课程只要求双边z变换并以z的负幂次方表示对任意给定的序列x[n]，使其z变换收敛的所有z值的集合称为z变换的收敛域(ROC:RegionofConvergence)

。z变换收敛的充分条件是若某个z值，例如在ROC内，则全部在确定的圆上的z值也一定在收敛域内。因此z变换是否收敛只取决于|z|，也就是说，ROC一定由z平面内以原点为中心的圆环所组成，圆环的外边界可以向外延伸至无穷大，内边界也可向内缩小到包括原点。所以ROC常表示成如下的不等式形式常用z变换对当z变换收敛并且可以表示成一个简单的有理函数，即使X(z)=0的z定义成零点；使X(z)=∞的z定义成极点。上式在z平面的非零区域（包括∞，不包括原点）有M个零点和N个极点（简称非零零点和非零极点）。除此之外，若M>N,则还有M-N阶极点在z=0；若M<N,则还有N-M阶零点在z=0。也就是说总是具有相同数目的零点和极点。在z平面上

“o”表示零点，

“x”表示极点。零点和极点零点和极点个数相等，不要漏掉z=0和z=∞处的零点或极点。极点:z=2,z=3;零点:z=1,z=0举例2.2z变换的收敛域性质ROC的边界是圆，因为收敛条件取决于|z|ROC里面不能有极点，因为极点使z变换不收敛ROC的边界上至少有1个极点，所以ROC都是以极点所在圆为边界ROC是一个连续的区域5．有限长序列的ROC是整个平面（0和∞可能除外）X(z)是有限项级数之和，只要级数的每一项有界，则级数就收敛。因此收敛域是整个z平面，当包含z的正幂项（即x[n]是非因果序列）时，收敛域不包括z＝∞，当包含z的负幂项时，收敛域不包括z＝0。ROC一定在幅度（又称模）最大的有限极点所在圆之外，当x[n]是非因果序列时，收敛域不包括z＝∞。

6．右边序列的ROC是一个圆的外部（∞可能除外）ROC一定在模最小的有限极点所在圆之内，当x[n]在n>0有值时，收敛域不包括z=0。7．左边序列的ROC是一个圆的内部（0可能除外）双边序列z变换ROC的内边界是右边序列的z变换中模最大的极点所在的圆，外边界是左边序列的z变换中模最小的极点所在的圆。如果右边序列和左边序列的ROC没有交集，则双边序列的ROC不存在。8．双边序列的ROC是一个圆环或没有ROC因果序列x[n]的z变换不包含z的正幂项，当时，，所以因果序列的z变换的ROC总是包含

。则其在单位圆上的z变换满足即z变换在单位圆上收敛，所以ROC包含单位圆。9．因果序列的ROC包含z=∞10．绝对可和序列

绝对可和序列满足若因果则包含∞若无n>0的项则包含0绝对可和序列：FT收敛，z变换的ROC包含单位圆图示ROC性质

举例举例2.3z反变换1．观察法这一方法适用于表中列出的一些常用的变换。2．部分分式法是X(z)的整式部分的系数，可用长除法求出；

3．幂级数展开法只要把展开成幂级数：则级数的系数就是序列x[n]的样本。在用长除法展开时，如果的ROC为一个圆的外部，则x[n]必为右边序列，的分子分母应按的升幂(或z的降幂)排列；如果ROC是一个圆的内部，则x[n]必然是左边序列，的分子分母应按的降幂(或z的升幂)排列。举例举例…举例2.4z变换的性质1.线性性质2.移位性质3.乘以指数序列(z域尺度变换性质)4.线性加权(z域微分性质)举例5.取共轭实数序列的z变换的复数零点（极点）以共轭对的形式存在证明6.时间反转实偶序列的z变换的不在单位圆上的复数零点（极点）以共轭对和倒数对的形式4个一组地存在证明7.卷积性质证明例题8.初值定理

如果x[n]是因果序列，那么证明9.终值定理如果x[n]是因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z＝1处有一阶极点)，那么证明

2.1正变换

2.2ROC的特点 右边：圆内 左边：圆外