2025届南宁市高三数学上学期9月检测考试卷附答案解析

届南宁市高三数学上学期9月检测考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.2B.3C.D.2.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知向量满足，且，则（）A.1B.C.D.4.以下命题为假命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为8B.一组数据的第80百分位数是11.5C.一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据的平均数小于中位数.D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，最终求得线性回归方程为，则模型中的值对应分别是0.4和2.5.已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（）A.B.C.D.6.设函数，曲线与恰有一个交点，则（）A.B.0C.D.7.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（）A.B.C.D.8.已知，若恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.关于直线对称C.在区间上单调递减D.的一个零点为10.已知抛物线的焦点为上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（）A.B.的准线方程为C.圆的标准方程为D.若过点，且与直线（为坐标原点）平行的直线与圆相交于两点，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图像是中心对称图形B.的图像是轴对称图形C.是周期函数，且最小正周期为D.存在最大值与最小值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前项和，若，则__________.13.已知是方程的两个实数根，__________.14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的概率是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若是边上一点，，且，求的面积.16.（15分）在平行四边形中，.将沿翻折到的位置，使得.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17.（15分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围.18.（17分）为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修（1）求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；（2）系统需要维修的概率；（3）为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火系统可以正常工作.问：满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？19.（17分）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；（3）求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.南宁三中2025届高三九月测试数学答案1.C【详解】因为，所以，故选：C.2.B【详解】若命题“”是真命题，则，又因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B3.D【详解】因为，即，又因为，所以，从而.4.D【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确；对B：，则其第80百分位数是，故B正确；对C，一般来说，对于单峰的频率分布直方图，右边“拖尾”时平均数大于中位数，左边“拖尾”时平均数小于中位数，故C正确；对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D错误.故选：D.5.B【详解】设，因为为的中点，所以，即，又因为点在曲线上，所以，所以.所以点的轨迹方程为即.6.C【详解】令关于直线对称，.7.B【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点，根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知；因此可得，易知，由正四棱台性质可得；所以该正四棱台的高为，因此该四棱台的体积是.故选：B8.D【解析】，当时，恒成立，则单调递增，不恒成立，当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，恒成立，，设，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，故答案.9.BC【详解】由周期公式知最小正周期为，A错；，可知直线是对称轴，B正确；时，，正弦函数在区间上单调递减，C正确；，可知不是零点，D错.10.ACD【详解】选项A：因C上一点到和到轴的距离分别为12和10，由抛物线定义可知，，故A正确；选项B：准线方程为，故B错误；选项C：设，由到轴的距离分别为10，所以，则，即，又，所以圆心，半径，所以圆的标准方程为，故C正确；选项D：因为直线为坐标原点）平行的直线，所以，所以直线的方程为，又圆心到直线的距离为，所以，故D正确.11.BD【详解】，对于A选项，不为常数，故A错误.对于B选项，，则函数关于对称.故B正确.对于C选项，，则函数周期为.故C错.对于D选项，令，由于为偶函数，则只需要考虑部分即可.，则.故D正确.12.63【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.13.【详解】因为是方程的两个实数根，所以因此.14.【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法，1到12中能被3整除的有，除3余1的有，除3余2的有，取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有；②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有；③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有，则.15.【解答】解：（1）由，得，将代入得，，化简得，即，则；（2）由（1）可知则在中，由，解得.故的面积.16.（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，在三角形中，由正弦定理可得，，又，故，所以，即，因为，所以，则有，平面，所以平面.（2）由（1）平面，且平面，所以平面平面.平面平面，在平行四边形中，，即，故平面.以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设，其中，则，设平面的法向量为，则，取则所以，，易知平面的一个法向量为，则，整理可得，因为，解得，因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且.17.（1）；（2）.【详解】（1）当时，曲线在点处的切线方程为；（2）函数，当时，，由可得或（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，当即时，所以在上单调递增，则，即曲线在轴的上方，当即时，在上单调递减，在上单调递增，则，由时，曲线在轴的上方，，解得，综上，实数a的取值范围为.18.（1）（2）（3）【详解】记X为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数.（1）由题意知，所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均值为方差D；（2）记事件A为“该仓库灭火系统需要维修”则.所以系统需要维修的概率为.（2）记事件为“该仓库灭火系统能正常工作”，由题意可知则由（2）可知灭火系统原来可以正常工作概率为，若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式成立，解得，而.综上当时，可以