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PAGE高一数学试题第2页共2页PAGE6山东省德州市试验中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.若向量=(3,m),=(2,-1),=0,则实数m的值为()A.-eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C.2D.62.tan17°+tan28°+tan17°tan28°等于()A.-eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.-1 D.13.已知向量,,满意=1,=-1,则=()A.4 B.3 C.2 D.04.,是非零向量且满意,,则与的夹角θ是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)5.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是eq\f(1,25),则cos2θ的值等于()A.1B.-eq\f(24,25)C.eq\f(7,25) D.-eq\f(7,25)6.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间QUOTE上单调递减的是()A.y=cosx B.y=2|sinx|C.y=cosQUOTE D.y=tanx7.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=QUOTEcos3x的图象()A.向右平移QUOTE个单位B.向右平移QUOTE个单位C.向左平移QUOTE个单位D.向左平移QUOTE个单位8.已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=()A.–2 B.–1 C.1 D.2多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,漏选3分)9.若α为第四象限角,则下列命题不正确的是()A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0D.sin2α<010.下列计算正确的是()A.eq\f(2tan22.5°,1-tan222.5°)=1B.1-2sin275°=eq\f(\r(3),2)C.cos4eq\f(π,8)-sin4eq\f(π,8)=eq\f(\r(2),2)D.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=eq\f(5,4)11.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满意eq\o(AB,\s\up7(→))=2,eq\o(AC,\s\up7(→))=,则下列结论不正确的是()A.=1B.C.=1D.⊥eq\o(BC,\s\up7(→))12.已知函数=2sinxcosx-2sin2x,给出下列四个选项正确的有()A.函数的最小正周期是πB.函数在区间QUOTE上是减函数C.函数的图象关于点QUOTE对称D.函数的图象可由函数y=QUOTEsin2x的图象向右平移QUOTE个单位,再向下平移1个单位得到三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知=,则的值是____.14.tan255°=______15.设,为单位向量,且,则______________.16.已知正方形的边长为2,点P满意,则_________;=_________.四、解答题:(本题共6小题,共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量,.(1)求向量与的夹角;(2)若,且,求m的值18.(本小题满分12分)已知向量=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx,\f(3,2))),=(cosx,-1).(1)当∥时,求2cos2x-sin2x的值;(2)求f(x)=在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0))上的最大值.19.(本小题满分12分)已知sinα=QUOTE,α∈QUOTE.(1)求sinQUOTE的值;(2)若tanβ=QUOTE,求tan(2α-β)的值.20.(本小题满分12分)已知向量=QUOTE,=(QUOTEcosx,cos2x),函数=(1)求函数的最小正周期及单调增区间.(2)将函数y=的图象向左平移QUOTE个单位,得到函数y=的图象,求在QUOTE上的值域.21.(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点AQUOTE.(1)若点BQUOTE,求cos(α+β)的值:(2)若·=QUOTE,求sinβ.22.(本小题满分12分)已知函数=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<QUOTE的一系列对应值如表:x-QUOTEy-24-24(1)依据表格供应的数据求函数的解析式.(2)求函数的单调递增区间和对称中心.(3)当x∈QUOTE时,方程=m+1恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
高一期中考试数学试题答案一、单项选择题:DDBBCBAD1.[a·b=6-m=0,∴m=6.]2.[tan17°+tan28°+tan17°tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=1-tan17°tan28°+tan17°tan28°=1.]3.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.4.[因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,所以a2=b2=2a·b,|a|所以cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(\f(1,2)a2,|a|2)=eq\f(1,2),所以θ=eq\f(π,3).]5.[依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,因小正方形的面积是eq\f(1,25),即(cosθ-sinθ)2=eq\f(1,25),得cosθ=eq\f(4,5),sinθ=eq\f(3,5).即cos2θ=cos2θ-sin2θ=eq\f(7,25).]6.对于A,y=cosx的最小正周期为2π,所以A不符合题意;对于B,结合函数图象可知y=2QUOTE的最小正周期为π,在QUOTE上单调递减,所以B符合题意;对于C,y=cosQUOTE的最小正周期为4π,所以C不符合题意;对于D,y=tanx的最小正周期为π,在区间QUOTE上单调递增,所以D不符合题意.7.y=sin3x+cos3x=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE.又y=QUOTEcos3x=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE.所以应向右平移QUOTE个单位.8.,,令,则,整理得,解得,即.多项选择题:9.ABC10.ACD11.ABC12.AB9.方法一:由α为第四象限角,可得,所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上,所以方法二:当时,,选项B错误;当时,,选项A错误;由在第四象限可得:,则,选项C错误;10.[对于选项A,eq\f(2tan22.5°,1-tan222.5°)=tan45°=1;对于选项B,1-2sin275°=cos150°=-eq\f(\r(3),2);对于选项C,cos4eq\f(π,8)-sin4eq\f(π,8)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)+sin2\f(π,8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)-sin2\f(π,8)))=coseq\f(π,4)=eq\f(\r(2),2);对于选项D,原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+eq\f(1,2)sin30°=1+eq\f(1,4)=eq\f(5,4).]11.[在△ABC中,由eq\o(BC,\s\up7(→))=eq\o(AC,\s\up7(→))-eq\o(AB,\s\up7(→))=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,所以(4a+b)·eq\o(BC,\s\up7(→))=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥eq\o(BC,\s\up7(→)).]12.因为fQUOTE=2sinxcosx-2sin2x+1-1=sin2x+cos2x-1=QUOTEsinQUOTE-1,对A,因为ω=2,所以fQUOTE的最小正周期T=π,结论正确.对B,当x∈QUOTE时,2x+QUOTE∈QUOTE,则fQUOTE在QUOTE上是减函数,结论正确.对C,因为fQUOTE=-1,得到函数fQUOTE图象的一个对称中心为QUOTE,结论不正确.对D,函数fQUOTE的图象可由函数y=QUOTEsin2x的图象向左平移QUOTE个单位再向下平移1个单位得到,结论不正确.三、填空题:13.14.15.16.(1).(2).13.14.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=15.因为为单位向量,所以所以解得:,所以16.以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、、、,,则点,,,因此.四、解答题:17.解:(1)依据题意,,,则,………………2分,,………………4分设向量与的夹角为θ,则,………5分又由θ∈[0,π],,即向量与的夹角为………………6分(2)依据题意,,,则,若,则,又由,则有(﹣4)×3+3m=0,………………9分解可得m=4.………………10分18.解:(1)因为a∥b,所以eq\f(3,2)cosx+sinx=0,所以tanx=-eq\f(3,2),………………2分2cos2x-sin2x=eq\f(2cos2x-2sinxcosx,sin2x+cos2x)=eq\f(2-2tanx,1+tan2x)=eq\f(20,13).………………5分(2)f(x)=(a+b)·b=eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4))).………………8分因为-eq\f(π,2)≤x≤0,所以-eq\f(3π,4)≤2x+eq\f(π,4)≤eq\f(π,4),所以-1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2),所以-eq\f(\r(2),2)≤f(x)≤eq\f(1,2),………………11分所以f(x)max=eq\f(1,2).………………12分19.解:(1)因为sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,………………2分所以sinQUOTE=sinαcosQUOTE+cosαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.………5分由(1)tanα=QUOTE得tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE,………………8分所以tan(2α-β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.………………12分20.解:(1)f(x)=QUOTEsinxcosx-QUOTEcos2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x=sinQUOTE,………………4分所以f(x)的最小正周期T=QUOTE=π,由-QUOTE+2kπ≤2x-QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,所以增区间为QUOTEk∈Z.………………6分(2)由(1)得f(x)=sinQUOTE将函数y=f(x)的图象向左平移QUOTE个单位得到y=sinQUOTE=sinQUOTE的图象,………………9分因此g(x)=sinQUOTE,又x∈QUOTE,所以2x+QUOTE∈QUOTE,sinQUOTE∈QUOTE,故g(x)在QUOTE上的值域为QUOTE.………………12分21.解:(1)因为α是锐角,且AQUOTE,BQUOTE,QUOTE在单位圆上,所以sinα=QUOTE,cosα=QUOTE,sinβ=QUOTE,cosβ=QUOTE,………………3分所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.………………5分(2)因为·=QUOTE,所以||·||cos(β-α)=QUOTE,且==1,所以,cos(β-α)=QUOTE,………………8分可得:sin(β-α)=QUOT
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