“超级全能生”2025届高三数学联考试题丙B卷理含解析

PAGE22-“超级全能生”2025届高三数学联考试题（丙）（B卷）理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．若集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x∈Z|≤0}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣2，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A． B． C．5 D．53．已知直线y＝x的倾斜角为α，则cos2α＝（）A． B．﹣ C． D．﹣4．已知函数f（x）＝，则f（x）的图象可能是（）A． B． C． D．5．某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满足度，随机抽取了200名师生的评分（满分100分）作为样本，将数据依据[40，50），[50，60），…，[90，100]分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，依据直方图估计200名师生的满足度评分的平均数是（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A．85 B．82.8 C．80.4 D．70.26．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣） B．f（x）＝cos（x+） C．f（x）＝cos（﹣） D．f（x）＝cos（+）7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为B1D1上一动点（含端点），则下列四个结论：①AM∥平面BC1D；②CM⊥B1D1；③平面ACM⊥平面AB1D1；④点M到平面BC1D的距离为定值．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．2024年1月，教化部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的看法》（简称“强基安排”），明确从2024年起强基安排取代原有的高校自主招生方式．假如甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为，，，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A． B． C． D．9．某电视综艺节目中，设置了如下嬉戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码．丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1．”乙说：“我看到一个2和两个1．”丙说：“我看到三个2．”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁10．设过点A（1，0）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4交于E，F两点，线段EF的中点为M．若l与y轴的交点为N，则的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，） C．[2，） D．[2，]11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于点A，B（点A在第一象限），过A，B两点分别作准线的垂线，垂足为C，D．连接CF交y轴于点H，若DH∥AB，则直线AB的斜率为（）A．1 B． C．2 D．212．已知函数f（x）＝ex﹣a+ea﹣x+x2﹣a2lnx﹣2（a＞0），若f（x）有2个零点，则a的取值范围是（）A．（0，] B．（0，e2） C．（，+∞） D．[e2，+∞）二、填空题（每小题5分）.13．已知＝（1，），若向量满足（+）⊥，则在方向上的投影为．14．锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S＝（b2+c2﹣a2）sin2A，则A＝．15．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，|FN|＝4，则双曲线的标准方程是．16．在古代土木工程的计算中，须要探讨一些特别的几何体，《九章算术》记载的堑堵（qiàndǔ）就是其中之一．堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E是A1C1的中点，M是侧面ABB1A1内（含边界）的一个动点，若∠EMA1＝∠CMA，则CM的最大值是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2（Sn+1）＝3an+（n﹣1）2（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及S4．18．某购物网站统计了A，B两款手机在2024年7月至11月的总销售量y（单位：百部），得到以下数据：月份x7891011销售量y100120110120200（Ⅰ）已知销售量y与月份x满足线性相关关系，求出y关于x的线性回来方程，并预料12月的手机销售量；（Ⅱ）网站数据分析人员发觉：A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关．请填写下面的2×2列联表，并推断能否有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式：＝，＝﹣，，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.82819．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（Ⅱ）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx（a＞0）．（Ⅰ）探讨函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＞x2），且f（x1）﹣x1＜λx2（λ∈R）恒成立，求λ的取值范围．21．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P（，1）在椭圆上，且∠F1PF2＝90°．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）不过点P的直线与椭圆交于A，B两点，且OP平分线段AB（O为坐标原点）．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试推断k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|•|OB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若a，b∈R，且满足＝3，证明：≥6；（Ⅱ）若a，b∈R，且满足，证明：≥6．

参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x∈Z|≤0}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣2，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x∈Z|≤0}＝{x|﹣2＜x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：D．2．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A． B． C．5 D．5解：由z＝，则|z|＝，故选：B．3．已知直线y＝x的倾斜角为α，则cos2α＝（）A． B．﹣ C． D．﹣解：∵直线y＝x的倾斜角为α，∴tanα＝，∴cos2α＝＝＝＝．故选：A．4．已知函数f（x）＝，则f（x）的图象可能是（）A． B． C． D．解：函数的定义域为R，∵f（﹣x）＝•cos＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，故解除CD；又f（1）＝•cos＜0，故解除B．故选：A．5．某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满足度，随机抽取了200名师生的评分（满分100分）作为样本，将数据依据[40，50），[50，60），…，[90，100]分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，依据直方图估计200名师生的满足度评分的平均数是（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A．85 B．82.8 C．80.4 D．70.2解：依据平均数的计算方法：每组区间的中点值乘以对应的频率，并求和，所以平均数的估计值为＝45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24＝80.4．故选：C．6．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣） B．f（x）＝cos（x+） C．f（x）＝cos（﹣） D．f（x）＝cos（+）解：由图知，A＝，把点（0，）代入f（x）得，cosφ＝，∴cosφ＝，∵φ∈（0，π），∴φ＝，∴f（x）＝cos（ωx+），把点（，﹣）代入得，cos（ω+）＝﹣1，∴ω+＝π+2kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝cos（x+），故选：D．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为B1D1上一动点（含端点），则下列四个结论：①AM∥平面BC1D；②CM⊥B1D1；③平面ACM⊥平面AB1D1；④点M到平面BC1D的距离为定值．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：连结AD1，BC1，AB1，AM，CM，AC，BD，DC1，如图所示，因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，所以C1D1∥BA，且C1D1＝BA，故四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1，又AD1⊄平面BC1D，BC⊂平面BC1D，所以AD1∥平面BC1D，同理AB1∥平面BC1D，又AD1∩AB1＝A，所以平面AB1D1∥平面BC1D，又AM⊂平面AB1D1，所以AM∥平面BC1D，故选项①正确；因为B1D1∥平面BC1D，所以点M到平面BC1D的距离为定值，故选项④正确；只有当M是B1D1的中点时，CM⊥B1D1，平面ACM⊥平面AB1D1，但与M是动点冲突，故选项②③错误．故选：B．8．2024年1月，教化部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的看法》（简称“强基安排”），明确从2024年起强基安排取代原有的高校自主招生方式．假如甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为，，，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A． B． C． D．解：甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为，，，则三人中恰有两人通过的概率为：P＝++（1﹣）×＝．故选：C．9．某电视综艺节目中，设置了如下嬉戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码．丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1．”乙说：“我看到一个2和两个1．”丙说：“我看到三个2．”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁解：若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，冲突，所以甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话，若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互冲突，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁，故选：D．10．设过点A（1，0）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4交于E，F两点，线段EF的中点为M．若l与y轴的交点为N，则的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，） C．[2，） D．[2，]解：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+1，令x＝0，可得y＝﹣，∴N（0，﹣），圆心C到直线l的距离d＝＝，且d＜r，∴＜2，解得：0＜m＜，而|AC|2＝（3﹣1）2+42＝20，∴由题意可得|AM|＝＝，|AN|＝，∴＝，设f（m）＝，则f'（m）＝＝4•，∵0＜m＜，f'（m）＞0，即f（m）在曲线（0，）上单调递增，∴f（0）＜f（m）＜f（），即0＜f（m）＜，故选：B．11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于点A，B（点A在第一象限），过A，B两点分别作准线的垂线，垂足为C，D．连接CF交y轴于点H，若DH∥AB，则直线AB的斜率为（）A．1 B． C．2 D．2解：设HD与x轴的交点为E，由抛物线的定义可知AF＝AC，BF＝BD，因为BD∥x轴，DH∥AB，所以四边形BDEF是菱形，又因为AC＝AF，所以∠ACF＝∠AFC，因为AC∥EF，所以∠ACF＝∠EFH，即∠EFH＝∠AFC，因为DH∥AB，所以∠EHF＝∠AFC，所以∠EFH＝∠EHF，所以EH＝EF，在菱形BDEF中，EF＝ED，所以EH＝ED，所以E是DH的中点，又点F到准线的距离为p，所以|EF|＝，所以|EO|＝，在直角三角形EOH中，|OH|＝，所以B（），又F（，0），所以直线AB的斜率k，故选：D．12．已知函数f（x）＝ex﹣a+ea﹣x+x2﹣a2lnx﹣2（a＞0），若f（x）有2个零点，则a的取值范围是（）A．（0，] B．（0，e2） C．（，+∞） D．[e2，+∞）解：令f（x）＝0，得ex﹣a+ea﹣x﹣2＝﹣x2+a2lnx，设g（x）＝ex﹣a+ea﹣x﹣2，由基本不等式的性质得：ex﹣a+ea﹣x﹣2≥2﹣2＝0，当且仅当x＝a时，g（x）取得最小值0，设h（x）＝﹣x2+a2lnx（a＞0），则h′（x）＝﹣x+＝，当0＜x＜a时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x＞a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，故x＝a时，h（x）取到最大值﹣a2+a2lna，若f（x）有2个零点，则g（x）与h（x）有2个交点，此时﹣a2+a2lna＞0，解得：a＞，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知＝（1，），若向量满足（+）⊥，则在方向上的投影为﹣．解：∵＝（1，），∴＝，∵向量满足（+）⊥，∴＝＝0，∴＝﹣3．∴在方向上的投影为：＝＝﹣．故答案为：﹣．14．锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S＝（b2+c2﹣a2）sin2A，则A＝．解：因为b2+c2﹣a2＝2bccosA，2S＝（b2+c2﹣a2）sin2A，所以2×＝2bccosA×2sinAcosA，因为sinA＞0，所以cos2A＝，因为A为锐角，cosA＞0，所以cosA＝，故A＝．故答案为：．15．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，|FN|＝4，则双曲线的标准方程是﹣＝1．解：不妨取点F（c，0）作渐近线y＝x的垂线，则|FQ|＝＝b，设∠OFQ＝θ，则cosθ＝，设F1为双曲线的左焦点，连接MF1，由双曲线的定义知，|MF1|＝|MF|﹣2a，在△MFF1中，由余弦定理知，|MF1|2＝|MF|2+|FF1|2﹣2|MF|•|FF1|•cosθ，∴（|MF|﹣2a）2＝|MF|2+4c2﹣2|MF|•2c•，∴|MF|＝，同理可得，|FN|＝，∵|MQ|＝3|QN|，∴|MF|﹣|QF|＝3（|QF|﹣|NF|），即﹣b＝3（b﹣），化简得a＝b，将其代入|FN|＝＝4，得a＝3，b＝6，∴双曲线的标准方程为．故答案为：．16．在古代土木工程的计算中，须要探讨一些特别的几何体，《九章算术》记载的堑堵（qiàndǔ）就是其中之一．堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E是A1C1的中点，M是侧面ABB1A1内（含边界）的一个动点，若∠EMA1＝∠CMA，则CM的最大值是．解：作MN⊥AA1于点N，如图所示，设AN＝x（0≤x≤2），MN＝y，因为∠EMA1＝∠CMA，可得△MAC∽△MA1E，故，所以MA＝2MA1，即，整理可得，又，因为在[0，1]上单调递增，所以当x＝2时，CM取得最大值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2（Sn+1）＝3an+（n﹣1）2（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及S4．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，当n＝1时，2（S1+1）＝3a1，即2（a1+1）＝3a1，解得a1＝2，故a1﹣1＝2﹣1＝1，当n≥2时，由2（Sn+1）＝3an+（n﹣1）2，可得2（Sn﹣1+1）＝3an﹣1+（n﹣2）2，两式相减，可得2an＝3an﹣3an﹣1+（n﹣1）2﹣（n﹣2）2，整理，可得an＝3an﹣1﹣2n+3，两边同时减去n，可得an﹣n＝3an﹣1﹣3n+3＝3[an﹣1﹣（n﹣1）]，∴数列{an﹣n}是以1为首项，3为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，an﹣n＝1•3n﹣1＝3n﹣1，∴an＝n+3n﹣1，n∈N*，则S4＝a1+a2+a3+a4＝（1+1）+（2+31）+（3+32）+（4+33）＝（1+2+3+4）+（1+31+32+33）＝10+40＝50．18．某购物网站统计了A，B两款手机在2024年7月至11月的总销售量y（单位：百部），得到以下数据：月份x7891011销售量y100120110120200（Ⅰ）已知销售量y与月份x满足线性相关关系，求出y关于x的线性回来方程，并预料12月的手机销售量；（Ⅱ）网站数据分析人员发觉：A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关．请填写下面的2×2列联表，并推断能否有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式：＝，＝﹣，，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解：（Ⅰ）由已知可得，，，，所以＝＝，故＝﹣＝130﹣180＝﹣50，所以y关于x的线性回来方程为＝20x﹣50，当x＝12时，＝20×12﹣50＝190，因此预料12月的手机销售量为190百部；（Ⅱ）补全2×2列联表如表所示：男性顾客女性顾客合计A款销售量306090B款销售量6050110合计90110200，因为8.999＞7.879，所以有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（Ⅱ）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，∵E是AD1的中点，∴OE∥CD1，又F是AB1的中点，∴EF∥B1D1，∵OE∩EF＝E，OE、EF⊂平面BDEF，CD1∩B1D1＝D1，CD1、B1D1⊂平面CB1D1，∴平面BDEF∥平面CB1D1．（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接DM，在菱形ABCD中，∵∠ADC＝120°，∴△ABD为正三角形，∴DM⊥AB，∵DD1⊥平面ABCD，故以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（3，，0），E（，，1），B1（3，，2），∴＝（3，，2），＝（3，，0），＝（，，1），设平面BDEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝﹣3，∴＝（1，﹣，﹣3），设直线DB1与平面BDEF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx（a＞0）．（Ⅰ）探讨函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＞x2），且f（x1）﹣x1＜λx2（λ∈R）恒成立，求λ的取值范围．解：（Ⅰ）由题意f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣a+≥2﹣a，当且仅当x＝时“＝”成立，当2﹣a≥0即0＜a≤2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，当2﹣a＜0即a＞2时，令f′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣4＞0，解得：x＝或x＝，且均为正数，则函数f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；综上：0＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递增，a＞2时，函数f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．（Ⅱ）若f（x）有2个极值点x1，x2，则x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两根不相等的正实数根，故结合（Ⅰ）可知x1+x2＝a＞2，x1x2＝1，又∵x1＞x2，∴0＜x2＜1＜x1，由f（x1）﹣x1＜λx2（λ∈R）恒成立，可得λ＞（λ∈R）恒成立，而＝﹣（1+a）+x1lnx1＝﹣﹣﹣x1+x1lnx1（x1＞1），令g（x）＝﹣x3﹣x2﹣x+xlnx（x＞1），则g′（x）＝﹣x2﹣2x+lnx，令h（x）＝﹣x2﹣2x+lnx，则h′（x）＝﹣3x﹣2+＝＜0，则函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，故h（x）＜h（1）＝﹣＜0，故g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）＝﹣，可得λ≥﹣，故