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PAGE22-“超级全能生”2025届高三数学联考试题(丙)(B卷)理(含解析)一、选择题(每小题5分).1.若集合A={﹣2,﹣1,0,1},B={x∈Z|≤0},则A∪B=()A.{0,1} B.{﹣2,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}2.若复数z=(i为虚数单位),则|z|=()A. B. C.5 D.53.已知直线y=x的倾斜角为α,则cos2α=()A. B.﹣ C. D.﹣4.已知函数f(x)=,则f(x)的图象可能是()A. B. C. D.5.某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满足度,随机抽取了200名师生的评分(满分100分)作为样本,将数据依据[40,50),[50,60),…,[90,100]分成6组,绘制成如图所示的频率分布直方图,依据直方图估计200名师生的满足度评分的平均数是(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)()A.85 B.82.8 C.80.4 D.70.26.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则()A.f(x)=cos(x﹣) B.f(x)=cos(x+) C.f(x)=cos(﹣) D.f(x)=cos(+)7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M为B1D1上一动点(含端点),则下列四个结论:①AM∥平面BC1D;②CM⊥B1D1;③平面ACM⊥平面AB1D1;④点M到平面BC1D的距离为定值.其中正确的结论个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.2024年1月,教化部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的看法》(简称“强基安排”),明确从2024年起强基安排取代原有的高校自主招生方式.假如甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为,,,那么三人中恰有两人通过的概率为()A. B. C. D.9.某电视综艺节目中,设置了如下嬉戏环节:工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条,数字是1或2中的一个,每人都能看到别人的号码,但看不到自己后背的号码.丁问:“你们每人看到几个1、几个2?”甲说:“我看到三个1.”乙说:“我看到一个2和两个1.”丙说:“我看到三个2.”三个回答中,只有号码是1的嘉宾说了假话,则号码为2的嘉宾有()A.乙 B.甲、乙 C.丁 D.乙、丁10.设过点A(1,0)的直线l与圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4交于E,F两点,线段EF的中点为M.若l与y轴的交点为N,则的取值范围是()A.(0,2] B.(0,) C.[2,) D.[2,]11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于点A,B(点A在第一象限),过A,B两点分别作准线的垂线,垂足为C,D.连接CF交y轴于点H,若DH∥AB,则直线AB的斜率为()A.1 B. C.2 D.212.已知函数f(x)=ex﹣a+ea﹣x+x2﹣a2lnx﹣2(a>0),若f(x)有2个零点,则a的取值范围是()A.(0,] B.(0,e2) C.(,+∞) D.[e2,+∞)二、填空题(每小题5分).13.已知=(1,),若向量满足(+)⊥,则在方向上的投影为.14.锐角三角形ABC的面积为S,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2S=(b2+c2﹣a2)sin2A,则A=.15.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线,垂足为Q,直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M,N,若|MQ|=3|QN|,|FN|=4,则双曲线的标准方程是.16.在古代土木工程的计算中,须要探讨一些特别的几何体,《九章算术》记载的堑堵(qiàndǔ)就是其中之一.堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.在堑堵ABC﹣A1B1C1中,AC=AB=AA1=2,E是A1C1的中点,M是侧面ABB1A1内(含边界)的一个动点,若∠EMA1=∠CMA,则CM的最大值是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必需作答。第22,23题为选考题,考生依据要求作答。(一)必考题:共60分。17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2(Sn+1)=3an+(n﹣1)2(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an﹣n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式及S4.18.某购物网站统计了A,B两款手机在2024年7月至11月的总销售量y(单位:百部),得到以下数据:月份x7891011销售量y100120110120200(Ⅰ)已知销售量y与月份x满足线性相关关系,求出y关于x的线性回来方程,并预料12月的手机销售量;(Ⅱ)网站数据分析人员发觉:A,B两款手机11月的销售量与顾客性别有关.请填写下面的2×2列联表,并推断能否有超过99.5%的把握认为“A,B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”?男性顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式:=,=﹣,,其中n=a+b+c+d.临界值表:P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.82819.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,DD1⊥平面ABCD,BB1⊥平面ABCD,且BB1=DD1=2,E,F分别是AD1,AB1的中点.(Ⅰ)证明:平面BDEF∥平面CB1D1;(Ⅱ)若∠ADC=120°,求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值.20.已知函数f(x)=x2﹣ax+lnx(a>0).(Ⅰ)探讨函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1>x2),且f(x1)﹣x1<λx2(λ∈R)恒成立,求λ的取值范围.21.已知椭圆的两个焦点分别为F1,F2,点P(,1)在椭圆上,且∠F1PF2=90°.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)不过点P的直线与椭圆交于A,B两点,且OP平分线段AB(O为坐标原点).设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,试推断k1k2是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.(二)选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题记分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是(φ为参数).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程是ρsinθ=.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A,与C2的交点为点B,求|OA|•|OB|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.(Ⅰ)若a,b∈R,且满足=3,证明:≥6;(Ⅱ)若a,b∈R,且满足,证明:≥6.
参考答案一、选择题(每小题5分).1.若集合A={﹣2,﹣1,0,1},B={x∈Z|≤0},则A∪B=()A.{0,1} B.{﹣2,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}解:∵集合A={﹣2,﹣1,0,1},B={x∈Z|≤0}={x|﹣2<x≤2}={0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2}.故选:D.2.若复数z=(i为虚数单位),则|z|=()A. B. C.5 D.5解:由z=,则|z|=,故选:B.3.已知直线y=x的倾斜角为α,则cos2α=()A. B.﹣ C. D.﹣解:∵直线y=x的倾斜角为α,∴tanα=,∴cos2α====.故选:A.4.已知函数f(x)=,则f(x)的图象可能是()A. B. C. D.解:函数的定义域为R,∵f(﹣x)=•cos=﹣=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数,即图象关于原点对称,故解除CD;又f(1)=•cos<0,故解除B.故选:A.5.某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满足度,随机抽取了200名师生的评分(满分100分)作为样本,将数据依据[40,50),[50,60),…,[90,100]分成6组,绘制成如图所示的频率分布直方图,依据直方图估计200名师生的满足度评分的平均数是(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)()A.85 B.82.8 C.80.4 D.70.2解:依据平均数的计算方法:每组区间的中点值乘以对应的频率,并求和,所以平均数的估计值为=45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24=80.4.故选:C.6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则()A.f(x)=cos(x﹣) B.f(x)=cos(x+) C.f(x)=cos(﹣) D.f(x)=cos(+)解:由图知,A=,把点(0,)代入f(x)得,cosφ=,∴cosφ=,∵φ∈(0,π),∴φ=,∴f(x)=cos(ωx+),把点(,﹣)代入得,cos(ω+)=﹣1,∴ω+=π+2kπ,k∈Z,∴ω=+k,k∈Z,∵ω>0,∴ω=,∴f(x)=cos(x+),故选:D.7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M为B1D1上一动点(含端点),则下列四个结论:①AM∥平面BC1D;②CM⊥B1D1;③平面ACM⊥平面AB1D1;④点M到平面BC1D的距离为定值.其中正确的结论个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解:连结AD1,BC1,AB1,AM,CM,AC,BD,DC1,如图所示,因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,所以C1D1∥BA,且C1D1=BA,故四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1,又AD1⊄平面BC1D,BC⊂平面BC1D,所以AD1∥平面BC1D,同理AB1∥平面BC1D,又AD1∩AB1=A,所以平面AB1D1∥平面BC1D,又AM⊂平面AB1D1,所以AM∥平面BC1D,故选项①正确;因为B1D1∥平面BC1D,所以点M到平面BC1D的距离为定值,故选项④正确;只有当M是B1D1的中点时,CM⊥B1D1,平面ACM⊥平面AB1D1,但与M是动点冲突,故选项②③错误.故选:B.8.2024年1月,教化部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的看法》(简称“强基安排”),明确从2024年起强基安排取代原有的高校自主招生方式.假如甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为,,,那么三人中恰有两人通过的概率为()A. B. C. D.解:甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为,,,则三人中恰有两人通过的概率为:P=++(1﹣)×=.故选:C.9.某电视综艺节目中,设置了如下嬉戏环节:工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条,数字是1或2中的一个,每人都能看到别人的号码,但看不到自己后背的号码.丁问:“你们每人看到几个1、几个2?”甲说:“我看到三个1.”乙说:“我看到一个2和两个1.”丙说:“我看到三个2.”三个回答中,只有号码是1的嘉宾说了假话,则号码为2的嘉宾有()A.乙 B.甲、乙 C.丁 D.乙、丁解:若甲说真话,则乙、丙说假话,但按甲所说内容看,乙说的又是真话,冲突,所以甲说的是假话,进而可确定丙也说的是假话,若乙说的是假话,要么甲、丙中至少有一个2,要么甲、乙、丁都是1,以上情形相互冲突,所以乙说的是真话,号码为2的嘉宾只能是乙和丁,故选:D.10.设过点A(1,0)的直线l与圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4交于E,F两点,线段EF的中点为M.若l与y轴的交点为N,则的取值范围是()A.(0,2] B.(0,) C.[2,) D.[2,]解:由题意可得直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为:x=my+1,令x=0,可得y=﹣,∴N(0,﹣),圆心C到直线l的距离d==,且d<r,∴<2,解得:0<m<,而|AC|2=(3﹣1)2+42=20,∴由题意可得|AM|==,|AN|=,∴=,设f(m)=,则f'(m)==4•,∵0<m<,f'(m)>0,即f(m)在曲线(0,)上单调递增,∴f(0)<f(m)<f(),即0<f(m)<,故选:B.11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于点A,B(点A在第一象限),过A,B两点分别作准线的垂线,垂足为C,D.连接CF交y轴于点H,若DH∥AB,则直线AB的斜率为()A.1 B. C.2 D.2解:设HD与x轴的交点为E,由抛物线的定义可知AF=AC,BF=BD,因为BD∥x轴,DH∥AB,所以四边形BDEF是菱形,又因为AC=AF,所以∠ACF=∠AFC,因为AC∥EF,所以∠ACF=∠EFH,即∠EFH=∠AFC,因为DH∥AB,所以∠EHF=∠AFC,所以∠EFH=∠EHF,所以EH=EF,在菱形BDEF中,EF=ED,所以EH=ED,所以E是DH的中点,又点F到准线的距离为p,所以|EF|=,所以|EO|=,在直角三角形EOH中,|OH|=,所以B(),又F(,0),所以直线AB的斜率k,故选:D.12.已知函数f(x)=ex﹣a+ea﹣x+x2﹣a2lnx﹣2(a>0),若f(x)有2个零点,则a的取值范围是()A.(0,] B.(0,e2) C.(,+∞) D.[e2,+∞)解:令f(x)=0,得ex﹣a+ea﹣x﹣2=﹣x2+a2lnx,设g(x)=ex﹣a+ea﹣x﹣2,由基本不等式的性质得:ex﹣a+ea﹣x﹣2≥2﹣2=0,当且仅当x=a时,g(x)取得最小值0,设h(x)=﹣x2+a2lnx(a>0),则h′(x)=﹣x+=,当0<x<a时,h′(x)>0,h(x)单调递增,当x>a时,h′(x)<0,h(x)单调递减,故x=a时,h(x)取到最大值﹣a2+a2lna,若f(x)有2个零点,则g(x)与h(x)有2个交点,此时﹣a2+a2lna>0,解得:a>,故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知=(1,),若向量满足(+)⊥,则在方向上的投影为﹣.解:∵=(1,),∴=,∵向量满足(+)⊥,∴==0,∴=﹣3.∴在方向上的投影为:==﹣.故答案为:﹣.14.锐角三角形ABC的面积为S,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2S=(b2+c2﹣a2)sin2A,则A=.解:因为b2+c2﹣a2=2bccosA,2S=(b2+c2﹣a2)sin2A,所以2×=2bccosA×2sinAcosA,因为sinA>0,所以cos2A=,因为A为锐角,cosA>0,所以cosA=,故A=.故答案为:.15.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线,垂足为Q,直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M,N,若|MQ|=3|QN|,|FN|=4,则双曲线的标准方程是﹣=1.解:不妨取点F(c,0)作渐近线y=x的垂线,则|FQ|==b,设∠OFQ=θ,则cosθ=,设F1为双曲线的左焦点,连接MF1,由双曲线的定义知,|MF1|=|MF|﹣2a,在△MFF1中,由余弦定理知,|MF1|2=|MF|2+|FF1|2﹣2|MF|•|FF1|•cosθ,∴(|MF|﹣2a)2=|MF|2+4c2﹣2|MF|•2c•,∴|MF|=,同理可得,|FN|=,∵|MQ|=3|QN|,∴|MF|﹣|QF|=3(|QF|﹣|NF|),即﹣b=3(b﹣),化简得a=b,将其代入|FN|==4,得a=3,b=6,∴双曲线的标准方程为.故答案为:.16.在古代土木工程的计算中,须要探讨一些特别的几何体,《九章算术》记载的堑堵(qiàndǔ)就是其中之一.堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.在堑堵ABC﹣A1B1C1中,AC=AB=AA1=2,E是A1C1的中点,M是侧面ABB1A1内(含边界)的一个动点,若∠EMA1=∠CMA,则CM的最大值是.解:作MN⊥AA1于点N,如图所示,设AN=x(0≤x≤2),MN=y,因为∠EMA1=∠CMA,可得△MAC∽△MA1E,故,所以MA=2MA1,即,整理可得,又,因为在[0,1]上单调递增,所以当x=2时,CM取得最大值为=.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必需作答。第22,23题为选考题,考生依据要求作答。(一)必考题:共60分。17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2(Sn+1)=3an+(n﹣1)2(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an﹣n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式及S4.【解答】(Ⅰ)证明:由题意,当n=1时,2(S1+1)=3a1,即2(a1+1)=3a1,解得a1=2,故a1﹣1=2﹣1=1,当n≥2时,由2(Sn+1)=3an+(n﹣1)2,可得2(Sn﹣1+1)=3an﹣1+(n﹣2)2,两式相减,可得2an=3an﹣3an﹣1+(n﹣1)2﹣(n﹣2)2,整理,可得an=3an﹣1﹣2n+3,两边同时减去n,可得an﹣n=3an﹣1﹣3n+3=3[an﹣1﹣(n﹣1)],∴数列{an﹣n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,an﹣n=1•3n﹣1=3n﹣1,∴an=n+3n﹣1,n∈N*,则S4=a1+a2+a3+a4=(1+1)+(2+31)+(3+32)+(4+33)=(1+2+3+4)+(1+31+32+33)=10+40=50.18.某购物网站统计了A,B两款手机在2024年7月至11月的总销售量y(单位:百部),得到以下数据:月份x7891011销售量y100120110120200(Ⅰ)已知销售量y与月份x满足线性相关关系,求出y关于x的线性回来方程,并预料12月的手机销售量;(Ⅱ)网站数据分析人员发觉:A,B两款手机11月的销售量与顾客性别有关.请填写下面的2×2列联表,并推断能否有超过99.5%的把握认为“A,B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”?男性顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式:=,=﹣,,其中n=a+b+c+d.临界值表:P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解:(Ⅰ)由已知可得,,,,所以==,故=﹣=130﹣180=﹣50,所以y关于x的线性回来方程为=20x﹣50,当x=12时,=20×12﹣50=190,因此预料12月的手机销售量为190百部;(Ⅱ)补全2×2列联表如表所示:男性顾客女性顾客合计A款销售量306090B款销售量6050110合计90110200,因为8.999>7.879,所以有超过99.5%的把握认为“A,B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”.19.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,DD1⊥平面ABCD,BB1⊥平面ABCD,且BB1=DD1=2,E,F分别是AD1,AB1的中点.(Ⅰ)证明:平面BDEF∥平面CB1D1;(Ⅱ)若∠ADC=120°,求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值.【解答】(Ⅰ)证明:连接AC,交BD于点O,连接OE,则O为AC的中点,∵E是AD1的中点,∴OE∥CD1,又F是AB1的中点,∴EF∥B1D1,∵OE∩EF=E,OE、EF⊂平面BDEF,CD1∩B1D1=D1,CD1、B1D1⊂平面CB1D1,∴平面BDEF∥平面CB1D1.(Ⅱ)解:取AB的中点M,连接DM,在菱形ABCD中,∵∠ADC=120°,∴△ABD为正三角形,∴DM⊥AB,∵DD1⊥平面ABCD,故以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(3,,0),E(,,1),B1(3,,2),∴=(3,,2),=(3,,0),=(,,1),设平面BDEF的法向量为=(x,y,z),则,即,令x=1,则y=,z=﹣3,∴=(1,﹣,﹣3),设直线DB1与平面BDEF所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|=||=||=,故直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值为.20.已知函数f(x)=x2﹣ax+lnx(a>0).(Ⅰ)探讨函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1>x2),且f(x1)﹣x1<λx2(λ∈R)恒成立,求λ的取值范围.解:(Ⅰ)由题意f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=x﹣a+≥2﹣a,当且仅当x=时“=”成立,当2﹣a≥0即0<a≤2时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)单调递增,当2﹣a<0即a>2时,令f′(x)=0,即x2﹣ax+1=0,△=a2﹣4>0,解得:x=或x=,且均为正数,则函数f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增;综上:0<a≤2时,f(x)在(0,+∞)单调递增,a>2时,函数f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增.(Ⅱ)若f(x)有2个极值点x1,x2,则x1,x2是方程x2﹣ax+1=0的两根不相等的正实数根,故结合(Ⅰ)可知x1+x2=a>2,x1x2=1,又∵x1>x2,∴0<x2<1<x1,由f(x1)﹣x1<λx2(λ∈R)恒成立,可得λ>(λ∈R)恒成立,而=﹣(1+a)+x1lnx1=﹣﹣﹣x1+x1lnx1(x1>1),令g(x)=﹣x3﹣x2﹣x+xlnx(x>1),则g′(x)=﹣x2﹣2x+lnx,令h(x)=﹣x2﹣2x+lnx,则h′(x)=﹣3x﹣2+=<0,则函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,故h(x)<h(1)=﹣<0,故g′(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减,g(x)<g(1)=﹣,可得λ≥﹣,故
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