吉林省松原市实验中学2025届高三数学八模考试试题文含解析

PAGE21-吉林省松原市试验中学2025届高三数学八模考试试题文（含解析）留意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意求出，再与集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，，所以，又，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型.2.已知复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】解：，．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3.设等比数列的前项和是，，，则（）A. B.63C. D.31【答案】A【解析】【分析】设的公比为，依据，求得，，再代入等比数列求和公式求解.【详解】设的公比为，则，解得，，所以.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的实力，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，已知角的终边在直线上，则的值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由随意角的三角函数的定义求出,再利用二倍角公式和齐次式化简,代入的值化简即可.【详解】在角的终边直线上任取一点,则,,故选:B.【点睛】本题考查随意角三角函数的定义,二倍角公式以及同角三角函数的基本关系,属于基础题.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特别值比较大小，再比较的大小.【详解】∵，，，∴.故选：B.【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先推断正负，再看详细状况与特别值比较，考查运算求解实力，是基础题.6.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的状况，再计算对立事务概率得到答案.【详解】依据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算实力和应用实力.7.若实数x，y满意约束条件，则的最大值是（）A.15 B.1 C.-1 D.16【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：解：作出约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线，的截距最大，此时最大，由，解得即，此时，故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A.31 B.39 C.47 D.60【答案】D【解析】【分析】依据循环程序框图，循环计算到时，输出，即可得出答案.【详解】解：依据题意，，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，，故输出的结果为.故选：D.【点睛】本题考查程序框图的循环计算，考查计算实力.9.将函数的图象向右平移个单位得到的图象，给出下列四个结论：①为偶函数；②在上有4个零点；③在上单调递减；④.则正确结论的序号是（）A.②④ B.①② C.③④ D.②③【答案】A【解析】【分析】将函数的图象向右平移个单位得到的图象，依据三角函数的性质逐项验证即可.【详解】依题意，明显①错.由f（x）＝0得，所以，所以或．又令k＝0，﹣1，1，可得或或或，故②对；因为，所以，明显③错.对于④，因为，所以关于对称，所以，④正确.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的实力，属于中档题.10.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满意轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知，依据相像三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图，设直线与圆相切于点，连接，则，椭圆的左右焦点分别为，，轴，，，，轴，，，即，解得，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简洁几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解实力，属于基础题.11.在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意先求出底面四边形的面积，结合柱体的体积，可求出，从而可求出四棱柱外接球的半径，即可求球的表面积.【详解】解：由题意可得和都是以为斜边的直角三角形，因为，所以；因为，所以，所以四边形的面积．因为四棱柱的体积为36，则，即所以，所以该四棱柱的外接球的半径，故该四棱柱的外接球的表面积为．故选:D.【点睛】本题考查了柱体体积的计算，考查了外接球问题，考查了球表面积的求解.本题的关键是求出球的半径.12.定义在上函数满意，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，画出图像，计算，解得，得到答案.【详解】依据题设可知，当时，，故，同理可得：在区间上，，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.故选：.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量，则______.【答案】【解析】【分析】依据模长的坐标运算求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题.14.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．【答案】【解析】【分析】依据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】解：依据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则________．【答案】【解析】【分析】依据正弦定理进行化简求解即可．【详解】解：，由正弦定理得，则三角形中，，，因为，故答案为：【点睛】本题主要考查三角形角的求解，依据条件利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．16.定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面全部项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1），设是的前项和，则__.【答案】3990【解析】【分析】设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，计算得到，，设每操作一次形成的数列的个数为，前项和为，计算得到，，计算得到答案.【详解】依据题意设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，故，，，，两式相减得到.即，故是首项为，公比为的等比数列，，验证时成立，故，.设每操作一次形成的数列的个数为，其前项和为，故，，故，相减得到：，故，验证时满意.，，，，故.（括号内是起先的倒数个数）.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的前项和，意在考查学生的计算实力和应用实力.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，平面，是中点，．（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的高．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结，，可得为平行四边形，从而得到，依据平面，得到，从而得到.（2）设点为的中点，连结，证明为正三角形，推出，求出，再证明，从而得到平面，然后得到三棱锥的高.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如图所示．因为点是中点，所以且．又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以．所以．（2）解：设点为的中点，连结，如图所示，因为，，由（1）知，，又因为，所以，所以，所以为正三角形，所以，且．因为平面，，所以平面．因为平面，所以，又因为，所以平面．所以三棱锥的高为．【点睛】本题考查线面垂直的性质与判定，求三棱锥的高，考查空间想象实力、推理论证实力、运算求解实力，考查化归与转化思想等，属于中档题.18.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）由题意可得，即，解得：，∴，∴数列的通项公式为．（2），==．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

频数

6

26

38

22

8

（I）在答题卡上作出这些数据频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满意.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-10），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯始终线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特别值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最终必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若，，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到，得到函数单调区间，探讨和，计算函数最值，解不等式得到答案（2）设，求导得到，证明在上是单调递减函数，得到答案.【详解】（1），函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当，，解得，故；当，，因为，故无解.综上，.（2），设，则，令，则，因为，所以，故为减函数，所以，所以，故在上是单调递减函数.所以对于随意，，且，必有，即.【点睛】本题考查了利用导数求表达式能成立问题，证明不等式，构造函数是解题的关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【解析】【分析】（1）利用，即可得出答案．（2）分别计算出点M到射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案．【详解】（1）曲线，把公式代入可得：曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.（2）到射线的距离为，射线与曲线交点，射线与曲线交点∴故【点睛】本道题目考查了一般方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐