2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．9 D．±92．（3分）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞33．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C． D．5或4．（3分）下列各数：﹣，0.16，，﹣π，2.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，0.23，，是无理数的有（）个．A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（）A．20、50 B．50、20 C．20、30 D．30、206．（3分）下列说法错误的是（）A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形7．（3分）下列说法中①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）已知＝a，＝b，则＝（）A． B． C． D．9．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．南偏东60° B．南偏西30° C．北偏西30° D．南偏西60°10．（3分）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）已知一个正数的两个平方根分别是2m﹣6和3+m，则m的值为．12．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为．13．（3分）设A＝+，B＝+，则A、B中数值较小的是．14．（3分）a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，是a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2019＝．15．（3分）已知|2019﹣a|+＝a，求a﹣20192的值是．16．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边的长是a，AD⊥BD，且AD＝3BD，则△BCD的面积是．三、解答题（共8小题，计72分.解答题应写出过程）17．（20分）计算（1）﹣4；（2）（﹣1）×﹣6；（3）（2+3）2018（2﹣3）2019；（4）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）018．（5分）在数轴上作出﹣的对应点．19．（5分）如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）20．（6分）已知a，b，c满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0．（1）求a，b，c的值；（2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成，求出三角形的面积，若不能，请说明理由．21．（8分）如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？22．（8分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简＝＝，＝＝；＝＝＝﹣1，以上这种化简的方法叫做分母有理化．（1）请化简；（2）矩形的面积为3+1，一边长为﹣2，则它的周长是多少？（3）化简+++…+＝．23．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP＝DG；（2）求线段AP的长．24．（12分）我们引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．

2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．9 D．±9【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：9的平方根是±3，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握平方运算是求平方根的关键．2．（3分）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知被开方数具有非负性是解答此题的关键．3．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C． D．5或【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【解答】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；即第三边长是5或，故选：D．【点评】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．4．（3分）下列各数：﹣，0.16，，﹣π，2.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，0.23，，是无理数的有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：＝，∴有理数有：0.16，，，0.23，无理数有：﹣，﹣π，2.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，共5个．故选：C．【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．5．（3分）现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（）A．20、50 B．50、20 C．20、30 D．30、20【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴AC＝＝50，30+40﹣50＝20，∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．6．（3分）下列说法错误的是（）A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；D、在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选：C．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（3分）下列说法中①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】据无理数的定义和运算即可得到正确选项．【解答】解：①无限不循环小数是无理数；错误；②无理数是无限小数，正确；③无理数的平方不一定是无理数；错误；④实数与数轴上的点是一一对应的，正确；故选：B．【点评】此题考查了无理数的定义及其运算，熟记无理数的定义是解题的关键．8．（3分）已知＝a，＝b，则＝（）A． B． C． D．【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．【解答】解：＝＝＝∵＝a，＝b，∴原式＝．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：＝•（a≥0，b≥0）9．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．南偏东60° B．南偏西30° C．北偏西30° D．南偏西60°【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．【解答】解：如图：∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，∴甲客轮走了40×15＝600（m），乙客轮走了40×20＝800（m），∵A、B两点的直线距离为1000m，∴6002+8002＝10002，∴∠AOB＝90°，∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．10．（3分）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值为1，即可得出答案．【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时，如图所示：由折叠的性质得：A'D＝AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠C＝90°，∴A'D＝AD＝5，由勾股定理得：A′C＝＝＝4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1＝2．故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）已知一个正数的两个平方根分别是2m﹣6和3+m，则m的值为1．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：（2m﹣6）+（3+m）＝0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．12．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为9．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵正方形A、B的面积依次为2、4，∴正方形E的面积为2+4＝6，又∵正方形C的面积为3，∴正方形D的面积3+6＝9，故答案为9．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．13．（3分）设A＝+，B＝+，则A、B中数值较小的是B．【分析】利用求差法，计算A﹣B，根据与0的大小关系，可得答案．【解答】解：∵A＝+，B＝+∴A﹣B＝（+）﹣（+）＝+﹣﹣＝﹣＞0∴A＞B故答案为：B．【点评】本题考查了二次根式大小的比较，求差法是解答此类题的重要方法，需要熟练运用．14．（3分）a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，是a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2019＝4．【分析】根据差倒数定义，经过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律答题即可．【解答】解：根据差倒数定义，a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，可知3个数为一循环，∴2019÷3余数为0，∴则a2019＝a3＝4，故答案为4．【点评】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．15．（3分）已知|2019﹣a|+＝a，求a﹣20192的值是2020．【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a≥2020，∴2019﹣a＜0，∴a﹣2019+＝a，∴＝2019，∴a﹣2020＝20192，∴a﹣20192＝2020，故答案为：2020【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，本题属于中等题型．16．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边的长是a，AD⊥BD，且AD＝3BD，则△BCD的面积是a2．【分析】作CE⊥AD于E点，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝90°，AB＝AC，利用等角的余角相等得∠BAD＝∠ACE，又AB＝CA，∠ADB＝∠AEC＝90°，根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，利用全等三角形的性质有BD＝AE，AD＝CE，又AD＝3BD，BD＝x，则AD＝CE＝3x，根据勾股定理可计算出AB＝x，得到x＝a，根据S△CBD＝S△ABD+S△ADC﹣S△ABC计算即可．【解答】解：作CE⊥AD于E点，∴∠AEC＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，设BD＝x，则AD＝CE＝3x，由勾股定理得，AB＝＝x，即x＝a，解得，x＝a，则S△CBD＝S△ABD+S△ADC﹣S△ABC＝×a×a+×a×a﹣a2＝a2，故答案为：a2．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．三、解答题（共8小题，计72分.解答题应写出过程）17．（20分）计算（1）﹣4；（2）（﹣1）×﹣6；（3）（2+3）2018（2﹣3）2019；（4）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；（3）先利用积的乘方得到原式＝[（2+3）（2﹣3）]2018•（2﹣3），然后利用平方差公式计算；（4）利用零指数幂的意义、负整数指数幂和绝对值的意义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣4＝﹣4＝；（2）原式＝﹣﹣3＝3﹣3﹣3＝﹣3；（3）原式＝[（2+3）（2﹣3）]2018•（2﹣3）＝（8﹣9））2018•（2﹣3）＝2﹣3；（4）原式＝+2+1﹣2﹣1＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（5分）在数轴上作出﹣的对应点．【分析】因为＝，所以在数轴上以原点O向左数出3个单位（为点A）作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，求得OB，最后以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C即为所求．【解答】解：如图，【点评】此题主要活用勾股定理解答关于数轴上如何表示无理数．19．（5分）如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．【解答】证明：∵，∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．20．（6分）已知a，b，c满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0．（1）求a，b，c的值；（2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成，求出三角形的面积，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）首先利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，利用面积公式求解．【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣4＝0，c﹣2＝0，解得：a＝2，b＝4，c＝2．（2）∵（2）2+42＝（2）2，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形．三角形的面积是：ab＝×2×4＝4．【点评】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，本题中证明三角形是直角三角形是解决本题的关键．21．（8分）如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5；∵25＜5＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．22．（8分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简＝＝，＝＝；＝＝＝﹣1，以上这种化简的方法叫做分母有理化．（1）请化简；（2）矩形的面积为3+1，一边长为﹣2，则它的周长是多少？（3）化简+++…+＝﹣．【分析】（1）把分子分母都乘以（﹣），分母有理化即可；（2）先利用分母有理化计算得到矩形的另一边长，然后利用二次根式的加减法计算矩形的周长；（3）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）矩形的另一边＝＝＝17+7，所以它的周长＝2（17+7+﹣2）＝30+16；（3）原式＝（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣1）＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP＝DG；（2）求线段AP的长．【分析】（1）由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由（1）得出AP＝EP＝DG，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，∴AP＝DG；（2）如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由（1）知AP＝DG，又∵AP＝EP，∴AP＝EP＝DG，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8，【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．24．（12分）我们引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（