20202021学年上期期中高三文科数学答案

河南省实验中学2021——2021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．设复数z满足zi＝﹣3+i，那么虛部是〔〕A．3iB．﹣3iC．3D．﹣3【解答】解：∵zi＝﹣3+i，∴，∴，那么虚部是﹣3，应选：D．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的根本概念，是根底题．2．集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|log2x＜2}，那么M∩N＝〔〕A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|0＜x＜4}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：∵M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝{x|0＜x＜2}．应选：D．【点评】此题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于根底题．3．函数y＝2x〔lnx+1〕在x＝1处的切线方程为〔〕A．y＝4x+2B．y＝2x﹣4C．y＝4x﹣2D．y＝2x+4【解答】解：由得：y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切点为〔1，2〕．故切线方程为：y﹣2＝4〔x﹣1〕，即y＝4x﹣2．应选：C．【点评】此题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于根底题．4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如下图的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，假设设外围虚线正方形的边长为a，那么窗花的面积为〔〕A．〔2﹣1﹣〕a2B．〔2﹣1+〕a2C．〔π+﹣1〕a2D．〔+﹣1〕a2【解答】解：根据正方形以及“窗花〞的对称性可知：窗花的一个“花瓣〔阴影局部〕〞的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花〞面积为4S＝．应选：A．【点评】此题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题．5．数列{an}中，a3＝5，a7＝2，假设〔n∈N*〕是等比数列，那么a5＝〔〕A．﹣1或3B．﹣1C．3D．【解答】解：根据题意，设bn＝，那么数列{bn}是等比数列，设其公比为q，假设a3＝5，a7＝2，那么b3＝＝1，b7＝＝4，那么q4＝＝4，变形有q2＝2，那么b5＝b3q2＝2，那么有＝2，解可得a5＝3，应选：C．【点评】此题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于根底题．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3，所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6种情况，所以概率为，应选：C．【点评】此题考查了列举法求概率问题，是一道根底题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么m⊥n的一个充分不必要条件是〔〕A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；应选：D．【点评】此题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，那么〔〕A．有最小值为2+1B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4【解答】解：根据题意，，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．应选：A．【点评】此题考查的知识要点：根本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于根底题．9．执行如下图的程序框图，假设输出的x为30，那么判断框内填入的条件不可能是〔〕A．x≥29？B．x≥30？C．x≥14？D．x≥16？【解答】解：执行程序，可得x＝2，2是偶数，x＝3，3不是偶数，x＝6，不符合判断框内的条件，执行否，x＝7，7不是偶数，x＝14，不符合判断框内的条件，执行否，x＝15，不是偶数，x＝30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为x＝14时不符合要求，x＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．应选：C．【点评】此题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．10．，将函数f〔x〕的图象向右平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴为〔〕A．，k∈ZB．，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z【解答】解：，f〔x〕图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2x＝kπ，那么，所以对称轴为，k∈Z．应选：A．【点评】此题主要考查了函数y＝Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于根底题．11．设函数f〔x〕的定义域为R，满足2f〔x〕＝f〔x+2〕，且当x∈[﹣2，0〕时，f〔x〕＝﹣x〔x+2〕．假设对任意x∈〔﹣∞，m]，都有f〔x〕≤3，那么m的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，]B．〔﹣∞，]C．[，+∞〕D．[，+∞〕【解答】解：函数f〔x〕的定义域为R，满足2f〔x〕＝f〔x+2〕，可得f〔0〕＝2f〔﹣2〕＝0，当x∈[﹣2，0〕]时，函数f〔x〕在[﹣2，﹣1〕上递增，在〔﹣1，0〕上递减，所以f〔x〕max＝f〔﹣1〕＝1，由2f〔x﹣2〕＝f〔x〕，可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f〔x〕＝f〔x+2〕，可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x∈[﹣4，﹣2〕时，f〔x〕max＝f〔﹣3〕＝，当x∈[0，2〕时，f〔x〕max＝f〔1〕＝2，当x∈[2，4〕时，f〔x〕max＝f〔3〕＝4，设x∈[2，4〕时，x﹣4∈[﹣2，0〕，f〔x﹣4〕＝﹣〔x﹣4〕〔x﹣2〕＝f〔x〕，即f〔x〕＝﹣4〔x﹣4〕〔x﹣2〕，x∈[2，4〕，由﹣4〔x﹣4〕〔x﹣2〕＝3，解得x＝或x＝，根据题意，当m≤时，f〔x〕≤3恒成立，应选：A．【点评】此题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．球O的外表上有A，B，C，D四点，且AB＝2，BC＝2．假设三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O，那么球O的外表积为〔〕A．8πB．12πC．16πD．18π【解答】解：由题意可知画出图形，如下图：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2，所以△ABC为直角三角形．那么点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以，即，解得OE＝，由于AE⊂平面ABC，OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝，所以球的外表积为S＝4π•22＝16π．应选：C．【点评】此题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的外表积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题〔共4小题〕13．答案为：a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20.3，b＝log0.32，c＝20.3，∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0.32＞log0.3103=-1，c＝20.3＞∴a＜b＜c．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455，068，047〔下面摘取了随机数表第7行至第9行〕844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．向量，满足|+|＝|﹣2|，其中是单位向量，那么在方向上的投影为．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在方向上的投影是．故答案为：．【点评】此题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于根底题．16．220三．解答题〔共7小题〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC＝〔acosB+bcosA〕cosB．〔1〕假设sin2A＝2sinBsinC，判断△ABC的形状；〔2〕假设tanA＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔1〕∵bcosC＝〔acosB+bcosA〕cosB．∴由正弦定理可得：sinBcosC＝〔sinAcosB+sinBcosA〕cosB＝sin〔A+B〕cosB，可得：sinBcosC＝sinCcosB，可得：sin〔B﹣C〕＝0，由于B，C∈〔0，π〕，可得：B﹣C∈〔﹣π，π〕，所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为：sin2A＝2sinBsinC，所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分〔2〕∵tanA＝＝，sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝，sinA＝＝，…8分由〔1〕知b＝c，∵cosA＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bcsinA＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长a+b+c＝5a＝5…12分【点评】此题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数根本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．〔1〕求数列{an}、{bn}的通项公式；〔2〕求数列{anbn}的前n项和Tn．【解答】解：〔1〕设数列{an}的公差为d〔d≠0〕，数列{bn}的公比为q〔q＞0〕，由题设可得：，解得：d＝2，q＝3，∴an＝1+2〔n﹣1〕＝2n﹣1，bn＝3n﹣1；〔2〕由〔1〕知：anbn＝〔2n﹣1〕•3n﹣1，∴Tn＝1×30+3×31+5×32+…+〔2n﹣1〕•3n﹣1，又3Tn＝1×31+3×32+…+〔2n﹣3〕•3n﹣1+〔2n﹣1〕•3n，两式相减得：﹣2Tn＝1+2〔31+32+…+3n﹣1〕﹣〔2n﹣1〕•3n＝1+2×+〔1﹣2n〕•3n，整理可得：Tn＝〔n﹣1〕•3n+1．【点评】此题主要考查等差、等比数列的根本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．“孝敬父母，感恩社会〞是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x126121617花费累积y〔万元〕139172226假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求〔1〕花费累积y与岁数x的线性回归直线方程〔系数保存3位小数〕；〔2〕24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前归还父母为你的花费〔不计利息〕．那么你每月要归还父母约多少元钱？参考公式：＝＝．＝﹣．【解答】解：〔1〕由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为．〔2〕当x＝24时，＝1.463×24﹣0.167≈35〔万元〕，30岁成家立业之后，在50岁之前归还，共计20年，所以每月应还元．【点评】此题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于根底题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．〔1〕证明：PO⊥平面ABCD；〔2〕假设∠BAD＝60°，PA⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．【解答】解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．〔2〕解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中点，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2，在Rt△PAO中，PA2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中点F，连结DF，那么DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°＝21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝，∴三棱锥P﹣AOE的体积VP﹣AOE＝＝＝．【点评】此题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，是中档题．21.解：〔1〕函数f〔x〕的定义域为〔0，十∞〕，，①当a⩾0时，由f′〔x〕＝0，解得，令f′〔x〕＞0，得，所以f〔x〕在上单调递增；令f′〔x〕＜0，得，所以f〔x〕在上单调递减．②当﹣2＜a＜0时，由f′〔x〕＝0，解得或，且．令f′〔x〕＞0，得，所以f〔x〕在上单调递增；令f′〔x〕＜0，得，所以f〔x〕在上单调递减．③当a＝﹣2时，f′〔x〕⩾0，f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增．④当a＜﹣2时，由f′〔x〕＝0，解得或，且．令f′〔x〕＞0，得，所以f〔x〕在上单调递增；令f′〔x〕＜0，得，所以f〔x〕在上单调递减．〔2〕恒成立，即xex﹣1⩾lnx+ax在〔0，+∞〕上恒成立，即在〔0，+∞〕上恒成立．令，那么，令h〔x〕＝x2ex+lnx，那么，所以h〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，而，故存在，使得h〔x0〕＝0，即，所以．令λ〔x〕＝xex，x∈〔0，+∞〕，λ′〔x〕＝〔x+1〕ex＞0，所以λ〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，所以．当x∈〔0，x0〕时，h〔x〕＜0，即g′〔x〕＜0，故g〔