捕鱼业持续收获的效益问题

PAGE1捕鱼业持续收获的效益问题天津师范大学数学科学学朱保军摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。而在社会经济生活中,我们要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此我们要合理的开发资源，这时,我们不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件matlab进行求解。 针对问题一，建立产量模型，在该模型中建立捕捞情况下鱼场鱼量方程和捕捞方程，对方程和讨论其平衡点和稳定性如下：， 针对问题二，对产量模型进行延伸可求出最大的持续产量情况下的稳定平衡点，最大持续产量和保持渔场鱼量稳定在的捕捞率。再建立效益模型，可求出利润,最大捕强度，最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续产量。最后，建立捕捞过度模型，可求出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为。稳定平衡点持续产量捕捞强度产量模型效益模型捕捞过度关键字：产量模型效益模型捕捞过度matlab一、问题提出 问题一分析：主要是列出、的方程，可知是一阶微分方程的平衡点及稳定性分析，当时，为方程的稳定点，若，则对于方程是稳定的；若，则对于方程是不稳定的。同理对于的方程。 问题二分析：列出产量模型主方程，分析出最大的持续产量情况下的稳定平衡点，最大持续产量和保持渔场鱼量稳定在的捕捞率；再列出效益模型,分析出利润,最大捕强度，最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续产量；最后，列出捕捞过度模型,分析出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为及其和时的情况。五、模型建立 问题一：产量模型：在无捕捞条件下的增长服从logistic规律即（1） 单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比，比例常数表示单位时间捕捞率，即。（2） 根据以上并记得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程（3）我们不需要解方程（3）以得到的动态变化，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，并由此来确定最大持续产量。为此可以直接求方程（3）的平衡点并分析其稳定性。令得到两个平衡点，（4）不难算出所以若（5）有，故点稳定，点不稳定;，则结果正好相反。又因为，故同的平衡点及稳定性。问题二： 产量模型的延伸：进一步讨论渔场鱼量稳定在的前提下，如何控制捕捞强度使持续产量最大的问题。用图解法非常简单地得到结果。作出抛物线和直线，如上图。注意到在原点的切线为，所以在条件（5）下必与有交点，的横坐标就是平衡点。 点的纵坐标为稳定条件下单位时间的持续产量，由图立刻知道，当与在抛物线顶点相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为（6）且单位时间的最大持续产量为（7）而由（4）式不难算出保持渔场鱼量稳定在的捕捞率为（8）综上所述，产量模型的结论是将捕捞率控制在固有增长率的一半，更简单一些。可以说使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。效益模型：从经济角度看不应追求产量最大，而应考虑效益最佳。则，（9）单位时间利润问（10）在稳定条件下，以（4）式代入（10）式，得(11)用微分法容易求出使利润达到最大的捕捞强度为(12)将代入（4）式，可得最大利润下的渔场稳定量及单位时间的持续产量为（13）（14）将（12）~（14）式与产量模型中的（6）~（8）式相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞率和持续产量有所减少，而渔场应保持的稳定鱼量有所增加，并且减少或增加的部分随着捕捞成本增长而变大，随着销售价格的增长而变小，这结果是符合实际情况的。 捕捞过度：上面的效益模型是以计划捕捞为基础的。如果渔场向众多盲目的经营者开放，那么即使只有微薄的利润，经营者也会蜂拥而去，这种情况称为盲目捕捞。这种捕捞方式将导致捕捞过度，下面讨论这个模型。 （11）式给出了利润与捕捞强度的关系,令的解为，可得（15）当时，利润，盲目的经营者们会加大捕捞强度；若时，利润，他们当然要减小强度。所以是盲目捕捞的临界强度。 也可由图解法确定。在下图中以为横坐标，按（11）式画出和，它们交点的横坐标即为。由（15）式或由图容易知道，存在的必要条件（即）是(16)即售价大于成本。并且由（15）式可知，成本越低，售价越高，则越大。 将（15）代入（4）式，得到盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为（17）完全由成本-价格比决定，随着价格的上升和成本的下降，将迅速减少，出现捕捞过度。 比较（12）和（15）式知，,即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强度大一倍。 从（15）式和上图还可以得到，当时，,如图中,称经济学捕捞过度;当时，，如图中，称生态学捕捞过度。综上所诉得稳定平衡点持续产量捕捞强度产量模型效益模型捕捞过度六、模型改进 为了研究渔业的产量、效益及捕捞过度的问道，首先在对鱼的自然增长和捕捞情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程（3），并利用平衡点稳定性分析确定了保持渔场鱼量稳定的条件。产量、效益和捕捞过度的3个模型在稳定的前提下步步深入，数学推导过程十分简单，却得到了在定性关系上与实际情况完全符合的结果。但如果改变对鱼的自然增长和人工捕捞的假设，模型及结果将随之变化。七、参考文献【1】赵静，但琦,《数学建模与数学实验（第3版）》高等教育出版社【2】姜启源、谢金星、叶俊,《数学模型（第三版）》高等教育出版社，2003【3】刘来福，《最优捕鱼策略问题答案评述》，数学的实践与认识,1997年1月八、附录图一clc;clear;ezplot('y=-x.^2+4*x',[0,4],[0,5])text(3.5,0.4,'y=f(x)')text(4,-0.3,'N')holdonx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'y=rx')holdonx2=0:0.01:3y2=2*x2plot(x2,y2,'b')text(2.1,4.1,'P*')holdonx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,'b')text(3.15,3,'P')text(3.3,3.1,'y=h(x)=Ex')holdonx4=3y4=0:0.05:3plot(x4,y4,'r:')text(3.05,-0.2,'x0')holdonx5=2y5=0:0.05:4plot(x5,y5,'r:')text(2.1,-0.3,'x0*=N/2')holdonx6=0:0.05:3y6=3plot(x6,y6,'r:')text(-0.2,3,'h')holdonx7=0:0.05:2y7=4plot(x7,y7,'r:')text(-0.3,4,'hm')图二clc;clear;ezplot('y=-x.^2+4*x',[0,4],[0,5])text(4,-0.3,'r')text(3.5,1,'T(E)')holdonx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'pNE')holdonx2=0:0.01:3y2=3*x2plot(x2,y2,'b')text(1.6,4.3,'S(E)=cE')holdonx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,