《-线性代数-》期末考试卷及答案3套

PAGE1PAGE3《线性代数《线性代数》期末考试卷及答案3套一、填空题（每小题4分，共24分）1．设四阶方阵，其中均为四维列向量，且，则2．n阶方阵A满足，则3．向量组，，和的一个极大无关组是。4．已知四元线性方程组的三个解为，且，，，则方程组的通解是。5．设，则A=。6．设二次型，则其对应的矩阵A的正特征值有个。二、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若行列式，则x=()。A．1； B．–1; C．; D．2．设矩阵，其中，则为（）A.1； B．2； C．n； D．无法确定。3．向量组线性无关，则线性无关的是（）。A．；B．；C．；D．。4.设A是n阶方阵，且方程组有无穷多组解，则方程组（）。A．有无穷多组解； B．仅有零解；C．有有限组解； D．无解。5．设A是n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（）。A．； B．；C．若，则一定有； D．若，则一定有。6．设，则与B（）A．合同且相似； B．合同但不相似；C．不合同但相似； D．不合同且不相似。三、计算题（每小题10分，共40分）已知矩阵，其中，，求矩阵A，A2，A100。设四元线性方程组（I）：，又已知齐次方程组（II）的通解为，（1）求方程组（I）的基础解系；（2）问（I）与（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。3．设矩阵，矩阵B满足，求矩阵B。4．设二次型，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为。（1）求a,b的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。四、证明题（每小题6分，共12分）1.二维向量在基下的坐标为，求，并证明在基，下的坐标与其在下的坐标相同。2.已知A、B均为n阶矩阵，且，证明：。《线代参考答案》课程试卷主考教师：线性代数教学组试卷类型：（A卷）==================================================================一、填空题1．54； 2.; 3.;4.； 5．； 6.2.二、单项选择题：1．C; 2.A; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A三、计算题：1．解：，。.。2．解：（1）求（I）的基础解系（I）的系数矩阵为故（I）的基础解系为：.（2）求（I）与（II）的非零公共解。方法1由（I），（II）的通解表达式相等，得。即因，故上述方程组的解为，于是（I），（II）的所有非零公共解为为任意常数。方法2把（II）的通解代入方程组（I），则有，得解，于是向量是方程组（I）、（II）的公共解，令，则上述方程组的所有非零公共解为，其中为任意非零常数。3．解：由于，所以A为可逆矩阵。又.把等式两边同时左乘A，右乘，得，即（2A+E）B＝9E。由于，所以存在，故。由得，故。解：（1）二次型f的矩阵为，设的特征值为，由题设，有解得。（2）由矩阵A的特征多项式得A的特征值对于，由,即，得基础解系对于，由，即得基础解系.由于已是正交向量组，所以只需单位化，由此得.令矩阵，则P为正交矩阵。在正交变换下，二次型f的标准形为。四、证明题1．证：（1）。（2）设在基下的坐标为，所以于是在基下的坐标与其在基下的坐标相同。2．证：由题设A2-AB=E，即A(A-B)=E于是A与A-B互为逆矩阵故有(A-B)A=E即A2-BA=E于是AB=BA所以R(AB-BA+A)=n一、选择题（每小题5分，共20分）设为阶方阵且，则（）矩阵必有两行（列）的元素对应成比例。矩阵中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。矩阵中至少有一行（列）的元素全为零。设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（）（A）。（B）。（C）。（D）的关系依而定。3．设是非齐次线性方程组的两个不同解，则也是方程组的解是（）。（A）。（B）。（C）。（D）。4．若三阶矩阵A的特征值为2,3,4,则该矩阵的伴随矩阵A*的特征值为（）（A）12,8,4（B）12,8,6（C）8,6,3（D）6,3,2。二、填空题：（每小题5分，共20分）设，且线性方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参数等于。设1=(1，2，1)T，2=(2，3，4)T，3=(3，4，3)T是R3的一组基，R3的向量=(1,1,1)T关于这组基的坐标为。3．将写成初等矩阵的乘积是。4.若二次型是正定的，则a的取值范围是。三、计算证明题：（共60分）（8分）假设矩阵和满足关系式，求矩阵。其中2．（10分）已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值。3.（12）求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。4．（10分）设为二阶方阵，有二个不同的特征值，对应特征向量依次为，令,证明：线性无关。5．（15分）求正交变换，把二次型化为标准形。6．（5分）齐次线性方程组，其中且证明：矩阵第一行元素的代数余子式相等。选择题（每小题5分，共20分）1.(C)矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。2.（A）3．(D)。4．(B)12,8,6二、填空题：（每小题5分，共20分）1．……,则参数等于1.2．……,关于这组基的坐标为3．……,初等矩阵的乘积是或或……4．……,则a的取值范围是三、计算证明题：（共60分）1.（8分）解由于知2由于422．（10分）解设是矩阵对应于特征向量的特征向量，则A-1=两边同时左乘矩阵，得=A2即由此得线性方程组解得或因此当时，向量是的特征向量。83.（12）解对该方程组的系数矩阵作初等行变换于是化为同解的阶梯形方程组为即因，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系6将正交化，取故4即为所求得一个标准正交基。24．（10分）证明因为则3设存在两个参数，使得1即又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故线性无关，于是2由于行列式，3故k1=k2=0因此线性无关。-15．（15分）解二次型对应的对称矩阵。1.A的特征方程为故的特征值为6（i）的属于特征值为的特征向量1=(1,1,1)T,单位化1=2（ii）的属于特征值为的特征向量2=(-1,1,0)T,单位化2=2（iii）的属于特征值为的特征向量3=(1,1,-2)T,单位化3=2故正交变换矩阵为。令x=py,则f(x)=3y12+y22–3y3226．（5分）证明因为故|A|=0。当R(A)<n-1时，A*=0，结论显然成立；当R(A)=n-1时,AA*=|A|E=0,A*的列向量是的解向量，而=(1,1,…,1)T是的解向量,且是基础解系,故存在常数，使得(A11,A12,…,A1n)=k=k(1,1,…,1)T，故的第一列的代数余子式全相等。一．（填空题（每小题4分，共20分）1．令则，。2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的三个解向量，且则该线性方程组的通解是3.设的行向量线性相关，则实数t满足的条件是4．令是三阶矩阵A的元素的代数余子式（i=1，2，3），若A的特征值为3，4，5，则___47_______.5．若是正定矩阵，则c的取值范围为___________.选择题（每小题3分，共15分）设A、B均为n阶正交矩阵，则_____（3）_______.（1）A+B为正交矩阵（2）A-B为正交矩阵BAB为正交矩阵（4）kAB为正交矩阵(k>0为实数)2．设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵的逆矩阵是____（2）________.（1）（2）（4）3．设与是线性无关的单位向量，则与的内积必_____（4）_______.>0（2）<0（3）>1（4）<14.设A为阶可逆矩阵，分别是A的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若是A的特征向量，则下列命题中的不正确的是___（1）_____.（1）是的特征向量（2）2是的特征向量（3）3是的特征向量4是的特征向量（k为常数）5.设，则____(2)____.（1）与是相似的且是合同的（2）与是相似的但不是合同的（3）与不是相似的但是合同的（4）与不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组的解空间V(作为的子空间)的一组规范（标准）正交基。解依题意知，故，并且原方程组的一个基础解系为：接下来将正交化.令最后将单位化可得向量组即为所求。四．（12分）求矩阵的特征值和特征向量，并计算的特征值。解因为故A的特征值值为-3，3（2重）.当时，解线性方程组。由于故A的属于特征值-3的全部特征向量为又故A的属于特征值3的全部特征向量为根据特征值的性质的特征值为，五．（16分）令,,问k为何值时向量不能由向量组线性表示；向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式.解因，如果此时，故向量不能由向量组线性表示；如果此时，向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；如果此时，向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，此时方程组的通解为因此。六.(12分)设三元二次型试求一个可逆线性变换的将此二次型化为规范型.解依题意知，所给的二次型的矩阵为因，令則故是可逆的线性变换，且f的规范型为七.(10分)令A为n阶正定矩阵，证明：（1）存在n阶实可逆矩阵P,使得为（2）对任意n阶实可逆矩阵，存在n阶可逆矩阵使得与均为对角矩阵.证明（1）因A为n阶正定矩阵，故A是实对称矩阵，且其特征值全部为整数。依相关定理知，存在n阶正交矩阵，使得其中是A的特征值.令则P是n阶实可逆矩阵，且从而命题（1）得证。（2）因A为n阶正定矩阵，故根据命题（1）知存在n阶实可逆矩阵P使得而对任意n阶实可逆矩阵B,是n阶实对称矩阵，故有n阶正交矩阵C,使得为对角矩阵。同时因此即为所求.一．（填空题（每小题4分，共20分）1．令则_______，______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的三个解向量，且则该线性方程组的通解是__________.3.设的行向量线性相关，则实数t满足的条件是_________.4．令是三阶矩阵A的元素的代数余子式（i=1，2，3），若A的特征值为3，4，5，则__________.5．若是正定矩阵，则c的取值范围为___________.选择题（每小题3分，共15分）设A、B均为n阶正交矩阵，则____________.（1）A+B为正交矩阵（2）A-B为正交矩阵BAB为正交