方差分析教学教程

第九章方差分析第一节方差分析的意义当试验的处理数目K≥3时，不能直接应用t测验及u测验的两两测验方法进行平均数假设测验的原因有三：

1.当有K个处理平均数时，将有[k(k-1)]/2个差数，要对这诸多差数逐一进行比较测验，程序实为繁琐。

2.试验误差估计的精确度要受到损失。

3.两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯α错误的概率。因此，当处理数目K≥3时应该采用方差分析法。方差分析的特点是将全部数据看成是一个整体，分析构成变量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后

。表9-1

kn个观察值的单向分组资料的模式

处理

观察值x总和Ti平均12

┋┋kx11x12x13

………x1nx21x22x23

………x2n┋┋xk1xk2xk3………xknT1T2

┋┋Tk

┋┋

Σxij

T注：i=1，2，3，…

…

k;j=1，2，3，…

…

n进行F测验，判断各样本的总体平均数是否有显著差异，在达到差异显著的基础上，再对两两样本的总体平均数间的差异显著性作出判断。（看表9-1解释）

第二节方差分析的基本步骤及原理

（以单向分组资料为例，资料的整理模式见9-1）

一、平方和与自由度的分解C=T2/kn

总平方和SST=∑x2-C处理平方和SSt=(∑Ti2/n)-C

误差平方和SSe=SST–

SSt总自由度dfT=kn-1

处理自由度dft=k-1误差自由度dfe=dfT–

dft

此步骤分析的目的是要求出各个变因方差S2的相应估计值σ2。

二、F测验

St2=SSt/dftSe2=SSe/dfe

F=St2/Se2

此步骤分析的目的是判断各个处理平均数之间是否存在显著差异。三、多重比较

此步骤分析的目的是在F测验结果达到显著以后，进一步判断两两处理平均数之间的差异显著性。

多重比较常用的方法有以下两种：（一）保护性最小显著差数法，即PLSD法。步骤：1.根据dfe查出tα

。

2.计算平均数差数标准误

3.计算显著尺度PLSDα值：

PLSDα=tα

×

平均数差数标准误

4.将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处理之间的差值，将各差值均与PLSDα相比较，作出差异显著性判断。

PLSD0.01>平均数差值≥

PLSD0.05，则两处理平均数间差异为显著；平均数差值≥

PLSD0.01，则两处理平均数间差异为极显著；

PLSD0.05>平均数差值，则两处理平均数间差异为不显著。

（二）最小显著极差法，即LSR法。包含有SSR法和q测验法，主要介绍SSR法。SSR法即邓肯氏新复极差法。步骤：1.根据平均数秩次距k和dfe查出SSRα值。

2.计算平均数标准误。

3.计算各秩次距下的显著尺度LSRα或Rα值。秩次距是指当平均数由大到小排序后，相比较的两个平均数之间（含这两个平均数）包含的平均数个数。

4.将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处理之间的差值，将各差值与相应秩次距下的Rα相比较，作出差异显著性判断。同样有：

相应秩次距的R0.01>平均数差值≥相应秩次距的R0.05，则两处理平均数间差异为显著；平均数差值≥相应秩次距的R0.01

，则两处理平均数间差异为极显著；相应秩次距的R0.05>平均数差值，则两处理平均数间差异为不显著。可将此方法求出的Rα以表表示更为清楚方便，见表9-2。

表9-2各秩次距下的Rα

上面介绍的是当试验各个处理的重复次数相等时进行方差分析的方法。这种资料的分析例子可见教案例9-1。如果各处理的重复次数不相等，在分析过程中注意与上述方法仅有的区别为以下三点，其余步骤完全相同（可见教案例9-7）。

1.矫正数C=T2/∑ni2.处理平方和SSt=∑(Ti2/ni)-C3.以n0代替n进行平均数差数标准误和平均数标准误的计算。

n0=(1/k-1）（∑ni-∑ni2/∑ni）

K234………

SSR0.05SSR0.01R0.05R0.01四、方差分析的数学模型（一）线性可加模型（仍以上述单项分组资料为例）方差分析是建立在一定的线性可加模型的基础上的。所谓线性可加模型是指每一个观察值可以化分成若干个线性组成部分，它是分解平方和与自由度的理论依据,即：

SST=SSt+SSedfT=

dft+

dfe

因此该资料观察值的数学模型为：

xij=μ+τi+εij

xij为任意观察值，μ为总体平均数，τi为处理效应，εij为误差效应。不同类型资料的线性可加模型是各不相同的。（二）期望均方（EMS）

Se2的EMS是σe2；St2的EMS是σe2+nστ

2

∴

F=St2/Se2=(σe2+nστ

2)/σe2

（三）固定模型和随机模型在上述模型中，由于处理效应τi的不同又有固定模型和随机模型的区分。

固定模型是指试验的各处理都抽自特定的处理总体，这些总体遵循N(μi,σe2)，因而处理效应τi=(μi-μ)是固定的，我们分析的目的就在于研究τi，如果重复做试验，所用的处理仍然是原来那些处理，而所要测验的假设则是:H0:τi=0或H0:μi=μ对HA:μ1、μ2、

…

μk不相等。因此我们的推断也仅限于供试处理的范围之内。

随机模型是指试验中的各处理皆是随机抽自N(0,στ2)的一