《统计学-基于SPSS》第4章-随机变量的概率分布(S3)

统计学—基于SPSS课程内容描述统计、推断统计、其他常用方法使用软件SPSS学分与课时3学分，1~17周，每周3课时第4

章随机变量的概率分布4.1度量事件发生的可能性4.2随机变量概率分布4.3样本统计量的概率分布probability2019-5-5学习目标度量事件发生的可能性—概率离散型概率分布二项分布连续型概率分布正态分布由正态分布导出的几个重要分布t-分布，c2-分布，F-分布样本统计量的概率分布2019-5-5问题与思考

彩票中奖的可能性有多大很多想在彩票市场上赚大钱，这可以理解，但赢得大奖的人总是少数。山东的一打工者为了碰运气，半个小时花去了1000元钱，买了500张即开型福利彩票，结果也没撞上大奖。有人曾做过统计，最赚钱的彩票，中彩的概率最高是500万分之一，有的达到1000万分之一甚至更低假定每张彩票面值是2元，大奖的奖金额是500万元，中将概率是500万分之一，你花掉1000万元购买500万张彩票，即使中了500万的大奖，你仍然亏损500万。况且，从概率的意义上看，即使你购买500万张彩票，也不能肯定就中大奖法国人就有这样的俗语：“中彩的机会比空难还少。”对于多数人来说，彩票只是一种数字游戏，是社会筹集闲散资金的一种方式，而不是一种投资，更不是赌博。相信有了本章介绍的概率方面的知识，你就不会再跟彩票较劲4.1什么是概率概率是什么？怎样获得概率？怎样理解概率？第4章随机变量的概率分布2019-5-5什么是概率？

(probability)概率是对事件发生的可能性大小的度量明天降水的概率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量你购买一只股票明天上涨的可能性是30%，这也是一个概率一个介于0和1之间的一个值事件A的概率记为P(A)2019-5-5怎样获得概率？重复试验获得概率当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为

用类似的比例来逼近一家餐馆将生存5年的概率，可以用已经生存了5年的类似餐馆所占的比例作为所求概率一个近似值主观概率2019-5-5怎样理解概率？

投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右(注意：抛掷完成后，其结果就是一个数据，要么一定是正面，要么一定是反面，就不是概率问题了)4.2随机变量的概率分布

4.2.1随机变量及其概括性度量

4.2.2随机变量的概率分布

4.2.3其他几个重要的统计分布

第4章随机变量的概率分布4.2.1随机变量及其概括性度量4.2随机变量的概率分布2019-5-5什么是随机变量？

(randomvariables)事先不知道会出现什么结果投掷两枚硬币出现正面的数量一座写字楼，每平方米的出租价格一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好一般用X，Y，Z来表示根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量2019-5-5离散型随机变量

(discreterandomvariables)随机变量X

取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来x1,x2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为12019-5-5连续型随机变量

(continuousrandomvariables)可以取一个或多个区间中任何值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后完工的百分比测量误差(cm)X

00

X100X

02019-5-5离散型随机变量的期望值

(expectedvalue)描述离散型随机变量取值的集中程度离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和记为

或E(X)，计算公式为2019-5-5离散型随机变量的方差

(variance)随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为

2

或D(X)描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为方差的平方根称为标准差，记为

或

D(X)2019-5-5离散型数学期望和方差

(例题分析)

【例4—1】一家手机制造商声称，它们所生产的手机100个中拥有次品的个数及相应的概率如下表所示。求该手机次品数的期望值和标准差次品数X=xi0123概率P(X=xi)

pi0.750.120.080.052019-5-5连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望值方差4.2.2随机变量的概率分布4.2随机变量的概率分布2019-5-5离散型随机变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi0；常用的有二项分布、泊松分布、超几何分布等2019-5-5二项试验

(Bernoulli试验)

二项分布建立在Bernoulli试验基础上贝努里试验满足下列条件一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”“成功”是指我们感兴趣的某种特征一次试验“成功”的概率为p，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的

试验是相互独立的，并可以重复进行n次

在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X

2019-5-5二项分布

(Binomialdistribution)重复进行

n

次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p)设X为n次重复试验中出现成功的次数，X取x

的概率为2019-5-5二项分布

(例题分析)

【例4-2】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中

(1)没有次品的概率是多少？

(2)恰好有1个次品的概率是多少？

(3)有3个以下次品的概率是多少？2019-5-5二项分布

(用SPSS函数计算概率)计算二项分布的概率SPSS2019-5-5连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述2019-5-5正态分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础2019-5-5概率密度函数f(x)=随机变量X的频数

=正态随机变量X的均值

=正态随机变量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值(-

<x<+

)2019-5-5正态分布函数的性质图形是关于x=

对称钟形曲线，且峰值在x=

处均值

和标准差

一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”均值

可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正态曲线扁平；

越小，正态曲线越高陡峭当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1

2019-5-5

和

对正态曲线的影响2019-5-5正态分布的概率2019-5-5标准正态分布

(standardizenormaldistribution)

标准正态分布的概率密度函数随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布

标准正态分布的分布函数2019-5-5正态分布

(用SPSS计算正态分布的概率)2019-5-5正态分布

(例题分析)【例4-5】计算以下概率

(1)

X～N(50,102)，求和

(2)

Z～N(0,1)，求和

(3)正态分布概率为0.05时，求标准正态累积分布函数的反函数值z

计算正态分布的概率SPSS2019-5-5数据正态性的评估对数据画出频数分布的直方图或茎叶图若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似绘制正态概率图。有时也称为分位数—分位数图或称Q-Q图或称为P-P图用于考察观测数据是否符合某一理论分布，如正态分布、指数分布、t分布等等P-P图是根据观测数据的累积概率与理论分布(如正态分布)的累积概率的符合程度绘制的Q-Q图则是根据观测值的实际分位数与理论分布(如正态分布)的分位数绘制的使用非参数检验中的Kolmogorov-Smirnov检验(K-S检验)2019-5-5用SPSS绘制正态概率图

第1步：选择【Graphs】下拉菜单，并选择【P-P】

或【Q-Q】选项进入主对话框第2步：在主对话框中将变量选入【Variables】

，点击【OK】绘制正态概率图SPSS2019-5-5正态概率图的绘制

(例题分析)P-P图Q-Q图

【例4-4】判断大学生的月生活费支出是否服从正态分布4.2.3其他几个重要的统计分布4.2随机变量的概率分布2019-5-5t-分布

(t-distribution)提出者是WilliamGosset，也被称为学生分布(student’st)

t分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布2019-5-5由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则y服从自由度为1的

2分布，即对于n个正态随机变量y1

，y2

，yn，则随机变量称为具有n个自由度的

2分布，记为c2-分布

(

2-distribution)2019-5-5分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为：E(

2)=n，方差为：D(

2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的

2分布随机变量，U~

2(n1)，V~

2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的

2分布c2-分布

(性质和特点)2019-5-5不同自由度的c2

分布2019-5-5为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher)

以其姓氏的第一个字母来命名则设若U为服从自由度为n1的

2分布，即U~

2(n1)，V为服从自由度为n2的

2分布，即V~

2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F-分布

(F

distribution)2019-5-5不同自由度的F分布4.3样本统计量的概率分布

4.3.1统计量及其分布

4.3.2样本均值的分布

4.3.3其他统计量的分布

4.3.4统计量的标准误差第4章随机变量的概率分布4.3.1统计量及其分布4.3样本统计量的概率分布2019-5-5参数和统计量参数(parameter)描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值一个总体的参数：总体均值(

)、标准差(

)、总体比例(

)；两个总体参数：(

1-2)、(

1-2)、(

1/2)总体参数通常用希腊字母表示统计量(statistic)用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数一个总体参数推断时的统计量：样本均值(

x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计量：(

x1-

x2)、(p1-p2)、(s1/s2)样本统计量通常用小写英文字母来表示2019-5-5样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布

(samplingdistribution)4.3.2样本均值的分布4.3样本统计量的概率分布2019-5-5在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值

的理论基础 样本均值的分布2019-5-5样本均值的分布

(例题分析)，2019-5-5样本均值的分布

(例题分析)2019-5-5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)总体分布样本均值分布2019-5-5样本均值的分布

与中心极限定理当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值

x也服从正态分布，

x

的期望值为μ，方差为σ2/n。即

x～N(μ,σ2/n)从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布2019-5-5样本均值的分布与中心极限定理模拟#中