模型35 圆-圆幂定理模型-原卷版

圆模型（三十五）——圆幂定理模型知识点一：相交弦定理◎结论1：如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.①【证明】如上右图∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB∴△APC∽△DPB∴APDP＝即AP·BP＝CP·DP②OP与⊙O交于M.N两点，r为⊙O的半径，AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r²－OP²知识点二：切割线定理◎结论2：如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【证明】①连接AB,AC,连接AO并延长交⊙O于D，连接DB.∵PA为⊙O的切线∴∠DAP＝90°即∠1＋∠2＝90°∵AD是⊙O的直径∴∠ABD＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∵∠3＝∠4∴∠1＝∠4∴△PAB∽△PCA∴PAPC＝即PA²＝PB.PC ②PA²＝PB·PC＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²知识点三：割线定理◎结论3：如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【证明】∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA∴△PBC∽△PDA∴PBPD＝PC∴PA·PB＝PC·PD＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=7，则DE=_______3．（2018·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.(1)求证：AHAB=AC2；(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度．1．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是