初中数学《二次函数》知识点

第二十二章二次函数一、二次函数概念（一）内容：一般地，形如ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。（二）二次函数一般式：ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+（a，b，c是常数，a≠0）（三）二次函数成立的条件1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数为2；3、二次项系数不为0。二、二次函数的图像和性质ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢅ(ꢁ≠ꢆ)线叫做抛物线ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢅ。（二）抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。（三）二次函数ꢀ=ꢃ(ꢁ≠ꢆ)的图像和性质1、用描点法画二次函数ꢀ=ꢃ的图象的一般步骤（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y值，列出表格，一般y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点。（2）描点：在平面直角坐标系内，描出相应的点，一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出y轴另一侧的几个点。左右两侧应关于对称轴对称。2、二次函数ꢀ=ꢃ(ꢁ≠ꢆ)的图像和性质ꢀ=ꢁꢂꢃꢇ>0ꢇ<0≠ꢆ)图像开口方向对称轴向上向下y轴或x=0（0，0）顶点坐标当x<0时，y随x的增大而减小；当x<0随x的增大而增大；增减性当x>0时，y随x的增大而增当x＞0随x的增大而减小。大。最值当ꢈ=0时，ꢉ最小=0当ꢈ=0时，ꢉ最大=0ꢀ=ꢁꢂꢃ相同。（四）二次函数ꢀ=ꢃ+ꢊ(ꢁ≠ꢆ)的图象和性质与1、二次函数ꢀ=ꢃ+ꢊꢀ=ꢃ图象间的关系二次函数ꢀ=ꢃ+ꢊ的图象可以由二次函数ꢀ=ꢃ沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k2、二次函数ꢀ=ꢃ+ꢊ(ꢁ≠ꢆ)的图象和性质ꢀ=ꢃ+ꢊ(ꢁ≠ꢆ)ꢇ>0ꢇ<0ꢋ>0ꢋ<0ꢋ>0ꢋ<0图像开口方向对称轴向上向下y轴或x=0（0，k）顶点坐标当ꢈ<0时，y随x的增大而当ꢈ<0时，y随x的增大而减小；增大；当ꢈ>0时，y随x的增大而当ꢈ>0时，y随x的增大而增大。减小。增减性最值当x=0时，ꢉ最小=k当ꢈ=0时，最大=kꢇ>0ꢀ=ꢃ或ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢊ，当时，若A(ꢂ,ꢀ),,ꢀ)在抛物线上，且|>，则有ꢀ>ꢀ。ꢌꢌꢃꢃꢌꢃꢌꢃ（2）对于二次函数ꢀ=ꢃ或ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢊ，当ꢇ<0若A(ꢂ,ꢀ),,ꢀ)在抛物线上，且|>，则有ꢀ<ꢀ。ꢌꢌꢃꢃꢌꢃꢌꢃ（五）二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ的图象和性质1、二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ与ꢀ=ꢁꢂꢃ图象间的关系二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ的图象可以由二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h2、二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ的图象和性质ꢀ=−ꢃ≠ꢆ)ꢇ>0ꢇ<0ℎ>0ℎ<0ℎ>0ℎ<0图像开口方向对称轴向上向下x=h顶点坐标（h，0）当ꢈ<ℎ时，y随x的增大而减当ꢈ<ℎ时，y随x的增大而增小；大；当ꢈ>ℎ时，y随x的增大而增当ꢈ>ℎ时，y随x的增大而减大。小。增减性最值当x=h时，最小=0当ꢈ=h时，ꢉ最大=0（六）二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ的图象和性质1、二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ（顶点式）与ꢀ=ꢁꢂꢃ图象间的关系（1）二次函数ꢀ=ꢃ沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度得到二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ。（2）二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ。（3）抛物线ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ左、右平移时，只有常数h发生变化；上、下平移时，只有常数k发生变化。2、二次函数ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ的图象和性质ꢀꢇ>0ꢇ<0=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊℎ>0ℎ<0ℎ>0ℎ<0(ꢁ≠ꢆ)ꢋ>0ꢋ>0ꢋ>0ꢋ>0图像ꢋ<0ꢋ<0ꢋ<0ꢋ<0开口方向对称轴向上向下直线x=h顶点坐标增减性（h，k）当ꢈ<ℎ随x的增大而当ꢈ<ℎ随x的增大而减小；当ꢈ>ℎ随x的增大而当ꢈ>ℎ随x的增大而增大。减小。增大；最值当x=h时，ꢉ最小=k当ꢈ=h时，ꢉ最大=kꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ中可以直接看出抛物线的顶点坐标是所以通常把它称为二次函数的顶点式。其中h，k决定顶点坐标；a决定开口方向和大小；h决定对称轴；k决定最值。ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ与ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢃ+ꢊ的图像关于直线x=h对称，当ꢇ>0A(ꢂ,ꢀ,B(ꢂ,ꢀ|ꢂ−ꢎ|>|ꢎ−ꢂꢀ>ꢌꢌꢃꢃꢌꢃꢌꢀꢃ。ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ与ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢃ+ꢊ的图像关于直线x=h对称，当ꢇ>0A(ꢂ,ꢀ,B(ꢂ,ꢀ|ꢎ−ꢂ|>|ꢂ−ꢎ|ꢀ<ꢌꢌꢃꢃꢌꢃꢌꢀꢃ。（七）二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象和性质1、二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图像的对称轴及顶点坐标（1）推导y=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅꢄy=ꢁ(ꢂꢃ++ꢅꢁꢄꢄꢄy=ꢁ[ꢂꢃ+ꢂ+(ꢃ−(ꢃ]+ꢅꢁꢄꢄꢄy=ꢁ[ꢂꢃ+ꢂ+(ꢃ]−ꢁ(ꢃ+ꢅꢁꢄꢃꢄy=ꢁ(ꢂ+ꢃ−+ꢅꢄꢄꢃ−ꢏꢁꢅy=ꢁ(ꢂ+ꢃ−ꢄꢏꢁꢅ−ꢄꢃy=ꢁ(ꢂ+ꢃ+ꢄꢄꢏꢁꢅ−ꢄꢃ即二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的对称轴为ꢂ=−−,)。2、画二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象的方法（1）描点法；（2）平移法①把二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ可以通过配方法化成ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ形式，明确顶点坐标(h，k)；的②做出ꢀ=ꢁꢂꢃ的图像；③将抛物线ꢀ=ꢁꢂꢃ平移，使其定点平移到(h，k)处。（3）在具体的做题过程中，画简单图像时必须标出：①顶点坐标；②对称轴；③与x轴的两个交点坐标；④与y轴的交点坐标。3、二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象和性质函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ(ꢁ>ꢆ)ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢅ(ꢁ<ꢆ)图像开口向上向下方向对称轴顶点坐标增减性最值ꢄꢃꢁꢂ=−ꢄꢏꢁꢅ−ꢄꢃ(−,)ꢄꢄ当ꢈ<−时，y随x的增大而减小；当ꢈ<−时，y随x的增大而增大；ꢄꢄ当ꢈ>−时，y随x的增大而增大。当ꢈ>−时，y随x的增大而减小。ꢄꢏꢁꢅ−ꢃꢄꢃꢁꢏꢁꢅ−ꢃꢏꢁ当x=−时，最小=当ꢈ=−时，ꢉ最大=ꢃꢁꢏꢁ4、二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象特征与字母系数的关系字母符号图象的特征a>0a<0开口向下开口向上0b=0a，b同号a，b异号c=0对称轴为y轴对称轴在y轴的左侧对称轴在y轴的右侧经过原点c>0与y轴交于正半轴与y轴交于负半轴c<0ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢈ=1时，ꢒ=ꢇ+ꢐ+ꢑ，若此时y>ꢇ+ꢐ+ꢑ>0y=0ꢇ+ꢐ+ꢑ=0y<，则ꢇ+ꢐ+ꢑ<。ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢈ=−1时，ꢒ=ꢇ−ꢐ+ꢑ，若此时y>ꢇ−ꢐ+ꢑ>0y=0ꢇ−ꢐ+ꢑ=0y<，则ꢇ−ꢐ+ꢑ<。（八）用待定系数法求二次函数解析式1、若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ2、若已知顶点在原点，设ꢀ=ꢁꢂꢃ。。3、若已知顶点在y轴上，设ꢀ=ꢁꢂꢃ+c。4、若已知抛物线过原点，设ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ+ꢊ。xxꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢍ)ꢃ。7、若已知抛物线与x轴的两个交点的坐标（或已知抛物线与x轴的一个交ꢀ=ꢁ(ꢂ−ꢂ)(ꢂ−ꢂ（ꢂ，ꢌꢃ是抛物线与x注：交点式的推导过程ꢃꢌ抛物线ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ与x轴的交点坐标为(，ꢂꢂꢂꢆꢂꢌꢃꢌꢃ是一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ=ꢆ的两个根；则有ꢂ+ꢂ=−，ꢂꢂ=ꢅ；ꢄꢌꢃꢌꢃꢁꢁꢄꢅꢄꢅ将ꢂ+ꢂ=−，ꢂꢂ=带入ꢀ=ꢃ+ꢂ+)ꢌꢃꢌꢃꢁꢁꢁꢁ则有ꢀ=ꢁ[ꢂꢃ−(ꢂ+ꢂ)ꢂꢂ]=ꢁ(ꢂ−ꢂ)(ꢂ−ꢂ)+ꢌꢌꢃꢃꢌꢃ三、二次函数与一元二次方程的关系（一）二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ，当ꢒ=0时，得到一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+=0，所以抛物线ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+=0的根。ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图像与x轴的交点的三种情况对应着一元二次方程的根的三种情况ꢃ−ꢏꢁꢅ的取值ꢃ−ꢏꢁꢅ>ꢆꢃ−ꢏꢁꢅ=ꢆꢃ−ꢏꢁꢅ<ꢆ二次函数a>0ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图像a<0二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ有两个公共点(ꢌ，0)，(ꢃ，ꢆ)有一个公共点+ꢅ的图像与x轴的公共无公共点ꢄ（−，0）点有两个不相等的实数根ꢂ，ꢂ；有两个相等的实一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂꢌꢃ数根−ꢄ+ꢃ−ꢏꢁꢅꢃꢁ没有实数根ꢂꢌ=ꢂꢃ=ꢄꢃꢁ+ꢅ=0的根的情况ꢂ=ꢂꢌꢃ−ꢄ−ꢃ−ꢏꢁꢅꢃꢁꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ(ꢁ≠ꢆ)的函数值ꢒ=ꢔꢒ=ꢔ时的自变量x的值，就是解一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ=ꢓ；反之，解一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ=ꢓ可以看成已知ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+的函数值为m，求自变量x的值。ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ=ꢓ的解是抛物线ꢀ=ꢃ+ꢄꢂ+ꢅ与直线共点的横坐标。ꢀ=ꢓ的公3、抛物线ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ与直线ꢀ=ꢊꢂ+ꢄ的交点的坐标是方程组的解；反之，求方程组的解，也是抛物线ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ与直线ꢀ=ꢊꢂ+ꢄ的交点的坐标。（三）用图象法求一元二次方程的解1、利用二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象与x轴的公共点求方程的解的方法二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解。（1）在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；（2）观察图象，确定抛物线与x轴的公共点的坐标；（3）公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解。2、当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解；①观察函数图象与x确定这个公共点的横坐标的取值范围。②由①可确定方程ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ的一个根在m、n（ꢔ<ꢕ）之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止。ꢃꢓ+ꢖꢃ具体过程如下：取m和n的平均数，计算出当ꢈ=时的函数值1，将ꢒ与自变量分别为m和n时的函数值ꢒ，ꢒ比较，若函数值ꢒ，ꢒ异号，1ꢔꢕ1ꢔꢃꢃ说明所求根在m和m和ꢒꢒ，22ꢓ+ꢖꢃꢒꢕ和n和nꢃ重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止。③按照①②的方法估计出方程的另一个根。3、利用二次函数ꢀ=ꢁꢂꢃ的图象与直线ꢄꢂ+=0的解的方法。ꢀ=−ꢄꢂ−ꢅ的公共点求方程ꢃ+（1）将一元二次方程ꢀ=ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+ꢅ化为ꢃ=−ꢄꢂ−的形式；（2）在平面直角坐标系中画出抛物线ꢀ=ꢁꢂꢃ和直线ꢀ=−ꢄꢂ−ꢅ，并确定物线与直线的公共点的坐标；（3）公共点的横坐标即一元二次方程ꢁꢂꢃ+ꢄꢂ+=0的解。（四）二次函数与一元一次不等式，一元二次不等式的关系1、二次函数与一元一次不等式的关系（1）当ꢒ>ꢒ时，自变量x的取值12范围为x<m或x>n；（2）当ꢒ<ꢒ时，自变量x的取值12范围为m<x<。2、抛物线ꢒ=ꢁꢂ