2024年初中数学知识考点汇集

专题1数与式第1讲实数的相关概念考点1实数的概念及其分类整数和分数统称为有理数，有理数和①无理数_统称为实数，实数有如下分类：(1)按定义分正整数0(2)正实数整数有理数负整数有限小数或②分数正分数无限循环小数实数③0实数负分数负实数无理数④无限不循环小数负无理数考点2名称实数的有关概念定义规定了⑤原点⑥单位长度、⑦正方向的直线.性质数轴数轴上的点与实数一一对应.只有⑧a的相反数是-a.①若、b互为相反数，则a+b=0.②在数轴上，表示相反数两个数的点位于原点相反数绝对值⑨两侧，且到原点距离相等.在数轴上表示数a的点与原点的⑩距离，记作a(a>0)(=)0a0|a|=aa0−(<)⑪乘积为1a的倒数为①ab=1⇔ab互为倒数；1倒数②0没有倒数；⑫.a③倒数等于本身的数是1或-1.考点3科学记数法和近似数科学记数法近似数把一个数写成⑬ax10n的形式(≤|a|＜，n为整数)，这种记数法称为科学记数法.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.(1)将较大正数＞1)a×10n1≤a10n等于原数的整数位数减1；将较小正数N(N＜写成a×10指数n等于原数中左起第一个非零数前零的个数含小数点前面的零).n的形式，其中1a10，第2讲实数的运算及大小比较考点1平方根、算术平方根、立方根名称定义性质平方根如果x2=a(a0)，那么这个数x就叫做a正数的平方根有两个，它们互为①相反数；0的平方根是②0,③负数没有平方根.方根记作±a.算术平方根如果x2=a(x>0)x就叫做a的算0的算术平方根是④0.术平方根记作a.立方根正数有一个⑤正的立方根；0的立方根是0；负数有一个⑥负的立方根.若x=axa的立方根，记作a.33考点2实数的大小比较代数比较规则正数⑦0，负数⑧0，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而⑨小.几何比较规则考点3实数的运算内容在数轴上表示的两个数，左边的数总是⑩右边的数.加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等.运算法则1p1特别地，a0=⑪1(a≠，a-p⑫=(p为正整数，≠0).apa运算律交换律、结合律、分配律.有理数一切运算性质和运算律都适应于实数运算.运算性质运算顺序先算乘方、开方，再算⑬乘除，最后算⑭加减，有括号的要先算⑮括号内若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.1..2..第3讲整式及因式分解考点1整式的相关概念单项式概念由数与字母的①组成的代数式叫做单项式单独的一个数或一个②也是单项式).系数单项式中的③数字因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的④次数和叫做这个单项式的次数.概念几个单项式的⑤和叫做多项式.多项式项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中，⑥单项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.单项式与⑦多项式统称为整式.整式同类项所含字母⑧并且相同字母的指数也⑨的项叫做同类项所有的常数项都是⑩同类相.考点2整式的运算合并同类项1.字母和字母的指数不变；整式加减幂的运算2.⑪相加减作为新的系数.添(去括号添(去)括号：括号前面是“+”号，添(去)括号都⑫不改变符号；括号前面是“”号，添去括号都要⑬改变符号.同底数幂的乘法幂的乘方am·a(a⑮⑯an⑭a.注意：a≠，≠0，且mn都为整数.m)namn.积的乘方(ab)nnbn.同底数幂的除法mn○m-na÷a=17a.把它们的18系数单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘母，则连同它的19次数作为积的一个因式.用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积20相加○，即m(a＋＋c)=21am+bm+cm.整式乘法多项式与多项式相乘单项式除以单项式22相加，○即(mn)(a＋23ma+mb+na+nb.则连同它的24次数作为商的一个因式.整式除法乘法公式多项式除以单项式平方差公式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商25相加.(a＋b)(a-b)=26○a2-b2.完全平方公式2○a2±2ab+b2.(a±b)=27考点3因式分解定义把一个多项式化成几个整式28积的形式，就是因式分解.○提公因式法○ma+mb+mc=29m(a＋bc).方法a2-b230(a＋b)(a-b)；公式法222a±2ab＋b=31(a±b).○1.若有公因式，应先32提公因式；步骤○2.看是否可用33;3.检查各因式能否继续分解.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷.第4讲分式考点1分式的概念概念分式A(A、B是整式，且B中含有①B形如字母，且≠0)的式子叫做分式.有意义的条件值为零的条件分母不为0分子为0，且分母不为0考点2分式的基本性质AA×MBB×MA=A÷M(M是不为零的整式)分式的基本性质=，BB÷M约分通分把分式的分子和分母中的②公因式约去，叫做分式的约分.根据分式的③基本性质④同分母.考点3分式的运算分式的乘除法abcacabcabdad·=，÷=·=dbddcbcaabnn()n=(n为整数)分式的乘方b分式的加减法aba±babcad±bc±=，±=cccdbd分式的混合运算.遇到有括号，先算括号里面的.【易错提示】分式运算的结果一定要化成最简分式.乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分.第5讲二次根式考点1二次根式的有关概念二次根式一般地，形如a(①≥0的式子叫做二次根式.最简二次根式(1)(2)是整式(分母中不应含有根号).考点2二次根式的性质(a)=a(②aa0；2③a（a0）两个重要的性质a2=|a|=④（a0）积的算术平方根商的算术平方根ab=a·b(a≥0b≥abab=(a≥，b>0)考点3二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤最简二次根式，然后合并被开方数⑥相同的二次根式.二次根式的乘法a·b=⑦ab(a≥，≥0)≥0b＞二次根式的除法aba=⑧b二次根式的混合运算与实数乘除(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式.非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零.专题2方程与不等式第6讲一次方程(组)考点1一元一次方程及解法等式的性质性质：等式两边加()同一个数或同一个①，所得结果仍是等式；性质：等式两边乘(或除以)同一个数(0)，所得结果仍是②.方程的概念方程的解含有未知数的③叫做方程.使方程左右两边的值④的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的概念只含有⑤一个⑥一次.一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去⑦去括号同类项考点2二元一次方程组及解法二元一次方程的概念含有⑨未知数，并且未知项的次数是⑩的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组的概念⑪相同的未知数的⑫两个一次方程组.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的⑬共同解，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组→⑭一元一次方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有⑮加减消元法和⑯代入消元法两种.考点3一次方程(组)的应用列方程(组解应用题的一般步骤1.审2.设审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系.○设未知数可设直接或17间接未知数).3.列○根据题意寻找18等量关系列方程(组4.解5.答解方程(组检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.1.1-1若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解.[来源:2.列方程(组的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：①抓住不变量；②找关键词；③画线段图或列表格；④运用数学公式.第7讲分式方程考点1分式方程及解法分式方程的概念分式方程的解法分母里含有①未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以③最简公分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)④不为零程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.考点2分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤根，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意.分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.第8讲一元一次不等式(组)考点1不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不.性质1性质2若abac＜±；abc若ab且c＞，则ac①＜bc(或②＜)；不等式的基本性质c性质3abc若ab且c＜，则ac③＞bc(或④＞).c考点2一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法不等式组的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.＞，x＞a同大取大xb≥不等式组的解集情况＜，x≤b同小取小(假设b＜xb≤＜，b≤xa无解大小小大中间找大大小小无处找xb≥＞，xb≤考点3不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤检验作答.已知不等式组)的解集确定不等式(组中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定.2.(组)解应用题应紧紧抓住“至.第9讲一元二次方程考点1一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念一元二次方程的解法只含有①一②二次.它的一般形式是ax+bx+c=0(a≠2解一元二次方程的基本思想是③，主要方法有：直接开平方法、④配方法、公式法、因式分解法等.考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义判别式与根的关系关于x的一元二次方程2+bx+c=0(a≠的根的判别式为b2-4ac.(1)b(2)b(3)b222＞0⇔一元二次方程⑦有两个不相等的实数根；-4ac=0⇔一元二次方程⑧有两个相等的实数根；＜0⇔一元二次方程⑨没有实数根.根与系数的关系bc如果一元二次方程2+bx+c=0(a≠的两根分别是x、xx+x=-,x·x=.121212aa【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b-4ac≥0.2考点3一元二次方程的应用.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解.2.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法.专题3函数第10讲函数及其图象考点1平面直角坐标系定义平面内，两条互相①、原点②互相重合的数轴组成平面直角坐标系坐标平面内的点与③坐标系实数对一一对应.坐标系内第一象限④+,+）；第二象限⑤-,+）；第三象限⑥-,-）；第四象限⑦+,-）.点的坐标特征坐标轴上x轴负半轴⑧-,0）x轴正半轴+,0）；点的坐标特征y轴负半轴⑩0,-）y轴正半轴⑪0,+）；原点⑫0,0.象限角平分线上点的坐标特征一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标⑬相等；二、四象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标⑭互为相反数.【易错提示】坐标轴上的点不属于任何象限.考点2点到坐标轴以及原点的距离到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离点P(a，到x轴的距离为⑮点P(a，到y轴的距离为⑯..○点P(a，到原点的距离为17a2+b2.【易错提示】点P(a,b)到横轴的距离是纵坐标的绝对值，到纵轴的距离是横坐标的绝对值.考点3平移与对称点的坐标○将点P(x向右(或向左平移a18右P(x+aP(x-ay)；点的平移○将点P(x向上(或向下平移b19上P(x或下P(xy-b).○点P(x,y)关于x轴的对称点坐标为20(x-y)；关于坐标轴对称关于原点对称○点P(x,y)关于y轴的对称点坐标为21(-x，y).○点P(x,y)关于原点对称的点坐标为22(-x，-y).【易错提示】谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号.考点4函数的有关概念自变量与函数○一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y23唯一的x的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量.函数的表示方法列表法、图象法、解析法○①函数解析式是整式，自变量取值是24一切实数；○②函数解析式是分式，自变量取值使得25分母不为0的一切实数；函数自变量的取值范围○③函数解析式是偶次根式，自变量要使得26被开方数为非负数；④来源于实际问题的函数，自变量要使得实际问题有意义、式子有意义.○○一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作27横坐标、28纵坐函数的图象标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.【易错提示】一个函数解析式中，同时有几个代数式，找自变量的取值范围时要充分利用数轴寻找，做到不重不漏.1.平行于xy轴的直线上的点的横坐标相等.2.在一个函数解析式中，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量取值范围的公共部分.第11讲一次函数考点1一次函数与正比例函数的概念一次函数一般地，如果y=kx+b、b是常数，≠，那么y叫做x的一次函数.正比例函数特别地，当②时，y=kx+b变为③y=kx(k是常数，k≠，这时yx的正比例函数.考点2一次函数的图象b一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,④b)和⑤−,0)的一条⑥.k一次函数的图象特别地，正比例函数y=kx的图象是经过点(0⑦0)和，⑧k)的一条⑨直线.直线y=kx+b与直线y=kx+b可以看成是由直线y=kx平移得到，b，向⑩上平移⑪b个单位；y=kx之间的关系b＜0⑫下⑬|b|个单位.考点3一次函数y=kx+b的性质k、b符号k＞0,b＞0图象形状经过的象限函数的性质⑭一、三y随x的增大而⑯增大.k＞0,b＜0k＜0,b＞0⑮一、三○17二、四○y随x的增大而19.k＜0,b＜0○18二、四【易错提示】一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、三象限.考点4确定一次函数的解析式常用方法○20待定系数法步骤○①设函数21y=kx+bk≠；②列方程(组；③解方程（组)确定待定系数；④确定解析式.常见类型①已知两点坐标确定解析式；②已知两对函数对应值确定解析式；③通过平移规律确定函数解析式.【易错提示】在已知自变量和函数的取值范围确定函数解析式时，要注意函数性质的影响，防止漏解.考点5一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一次方程○一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(kb是常数≠的图象与22○x轴交点的23横坐标.一次函数与一元一次不等式一元一次不等式kx+b＞或kx+b＜≠的解集可以看作一次函数y=kx+b取24○y＞0值或25y＜0值时自变量x的取值范围.○一次函数与方程组两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=k11和y=k2x+b2y的=ykxb1+1方程组6的解.=2+2ykxb考点6一次函数的实际应用建模思想.要做到这种转○○27与28自变量之间的○关系，要注意29自变量的取值范围.实际问题中一次函数的性质○○在实际问题中，可以根据自变量的取值求30函数值，或者由31函数值求自变量的值.自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值.【易错提示】分段函数中，拐点的坐标同时在前后两个图象上.比较两个一次函数函数值的大小，可以借助一次函数的性质，也可以借助函数图象，利用数形结合思想进行比较.利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息.利用一次函数解决调配问题时，首先可以利用图示法或表格法表示出各个变量，从而确定所求费用等信息的一次函数表达式，运用一次函数的性质分析问题得出正确的选择.第12讲反比例函数考点1反比例函数的概念ky=(kk①0)xy是x的函数x量的取值范围是②不为0的一切实数.考点2反比例函数的图象与性质k反比例函数y=(k≠的图象是③双曲线，且关于④原点中心对称.x函数图象所在象限性质一、三象限(x、y同号)k＞0在每个象限内，y随x增大而⑤y=kx二、四象限(x、y异号)(k≠0)k＜0在每个象限内，y随x增大而⑥【易错提示】在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k＞0时，y就随x的增大而减小.考点3反比例函数中k的几何意义k的几何意义反比例函数图象上的点，y)具有两数之积(xy=k)为⑦定值这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数⑧.如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=⑨|y|·⑩|x|=⑪|xy|.结论的推导拓展k∵y=，∴⑫kS=⑬.x1在上图中，易知S△=S△=⑭S所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，矩形PMON2k则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数⑮.2考点4确定反比例函数的解析式常用方法步骤⑯待定系数法k①函数解析式为y=(k≠170)；②列方程；③解方程确定18k的值；④确定解析式.○○x考点5反比例函数的实际应用○○①根据实际情况建立19反比例函数模型；②利用20等量关系或其他学科的公式等确定函数解析式；步骤③根据反比例函数的性质解决实际问题.【易错提示】在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围.y的值.若所求值等于纵坐于k，则点在函数图象上若乘积不等于，则点不在函数图象上.反比例函数值的大小比较时，应分＞0与＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k0y随x的增大而增大”.3.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析.第13讲二次函数的图象和性质考点1二次函数的概念一般地，形如①y=ax+bx+c(a,b,c是常数，0)的函数叫做二次函数x是自变量，a、、c分别2为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点2二次函数的图象和性质函数a二次函数y=ax+bx+c(a，c为常数，≠0)2a＞0a＜0图象开口方向对称轴抛物线开口向②上，向上无限延伸抛物线开口向③下，向下无限延伸bb直线直线[来源学科#]2a2a顶点坐标b4ac−b4a2b4ac−b4a2(-，)(-，)2a2abb抛物线有最低点，当时，y有最小值，y抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y2a2a4ac−b4a24ac−b4a2最值最小值=最大值=bbx-时，y随x的增大在对称轴的左侧，即当＜-时，y随x2a2abb增减性而④减小；在对称轴的右侧，即当x＞-a大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-2a2a时，y随x的增大而⑤，简记左减右增时，y随x的增大而⑦减小，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点3二次函数的图象与字母系数的关系字母或代数式字母的符号图象的特征|a|越大开口越⑩小aa＞0开口向⑧向上开口向⑨向下a＜0bcb=0ab＞0(b与a同号)ab＜0(b与a异号)c=0对称轴为⑪y对称轴在y⑫对称轴在y⑬轴左侧右侧经过⑭原点c＞0与y⑮正半轴相交与y⑯负半轴相交c＜0b2-4acb2-4ac=0与x17一个交点(顶点)○b2-4ac＞0-4ac＜0与x18两个不同交点○b2与x轴19没有○特殊关系当x=1时，20a+b+c当x=-1时，21a-b+c若a+b+c0，即当x=1时，22＞0若a+b+c0，即当x=1时，23＜0考点4确定二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式○若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为24y=ax+bx+c.2顶点式交点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值最小值)，可设所求二次函数为25y=ax-h）2+k.若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x，0)(x，，可设所求的二次函数为12○y=ax-xx-x）2612【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求二次函数解析式最后要化成一般式.考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系二次函数与一元二次方程○○二次函数y=ax2＋＋c的图象与27x轴的交点的28横坐标是一元二次方程ax＋bxc=02的根.二次函数与不等抛物线y=ax2bxc在xx的所有值就是不等式2式○＋bxc29＞0x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax＋＋30＜0的解集.2二次函数y=(x-h)2标加减上下移”的方法进行.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.第14讲二次函数的实际应用考点1实物抛物线步骤①待定系数法实际问题.常见类型桥梁、隧道、体育运动等【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.考点2二次函数在销售问题中的应用步骤等量关系③图象，解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.考点3二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的④面积；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的解析式，解决问题.考点4灵活选用适当的函数模型步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥函数类型；③由⑦待定系数法确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题.防止出现错解.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.专题4图形的初步认识与三角形第15讲线段、角、相交线与平行线考点1直线、射线、线段直线公理经过两点，有且只有①一条直线.线段公理两点之间，线段最②短.两点间的距离考点2角连接两点间的线段的③，叫做两点间的距离.角的概念定义1有公共端点的两条④组成的图形叫做角.定义定义一条⑤绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.如果两个角的和等于⑥，则这两个角互余.互为余角性质同角或等角)的余角⑦.互为补角定义性质如果两个角的和等于⑧180°，则这两个角互补.同角或等角)的补角⑨.考点3相交线对顶角对顶角相等.性质1过一点有且只有⑩一条条直线与已知直线垂直.垂直性质2直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，⑪垂线段最短.直线外一点到这条直线的⑫垂线段的长度，叫做点到直线的距离.点到直线的距离考点4角的平分线与线段的垂直平分线角的平分线线段的垂直平分线（中垂线）性质角的平分线上的点到角两边的距离⑬相等.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离⑭.判定角的内部到角的两边距离相等的点在⑮角的平分线上.与一条线段两个端点⑯垂直平分线上.考点5平行线平行线的概念平行公理○在同一平面内，17没有交点的两条直线叫做平行线.经过直线外一点有且只有18一条直线与已知直线平行.平行公理的推论○如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也19互相平行.同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.平行线的判定平行线的性质平行线间的距离定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，20垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.○性质○两条平行线间的距离处处21相等.考点6命题命题的概念判断一件事情的句子叫做命题.命题的分类命题分为22真命题和23假○命题.命题的组成○○命题由24已知和25结论两个部分组成.(−)nn1若某条直线上有n个点，则线段的总条数为条(n为大于或等于2的整数)；在角的内部从角2(+)(+)n1n2的顶点引n条射线，可以得到个角.2.第16讲三角形的基本知识及全等三角形考点1三角形的概念及其分类概念：由不在同一直线上的三条线段①首尾顺次连接而成的封闭图形叫做三角形.②三角形按角③三角形分类④钝角三角形分类不等边三角形等腰三角形按边分类底与腰不相等的三角形⑤三角形考点2与三角形有关的线段高⑥⑦直角顶点三角形的三条高的延长线相交于三角形的外部.中线三角形的三条中线相交于⑧三角形内一点⑨.角平分线三角形的三条角平分线相交于⑩三角形内一点⑪离⑫.三边关系稳定性三角形的两边之和⑬第三边，三角形的两边之差⑭小于第三边.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.三角形的中位线定义性质连接三角形两边⑮的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线⑯第三边，并且等于第三边的17一半.○考点3与三角形有关的角定理○三角形三个内角的和等于18180°.推论○直角三角形的两个锐角19互余.○三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的20和.考点4全等三角形的性质与判定性质判定○○全等三角形的对应边21相等，对应角22.判定：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)；判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“SAS”)；判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等简写成“角边角”或“ASA”);判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”或“HL”).SSA”和“AAA”不能判定三角形全等.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.第17讲等腰三角形与直角三角形考点1等腰三角形与等边三角形概念有两条边①的三角形是等腰三角形.1.等腰三角形是轴对称图形，一般有②一条对称轴.等腰性质2.性质1：等腰三角形的两底角③简写成“等边对④等角”).三角形3.2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的⑤高、底边上的⑥相互重合(简写“三线合一”).判定概念等角对⑦等边.有⑧三条边相等的三角形叫做等边三角形.1.具有一般等腰三角形的所有性质；等边性质判定2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于⑨60°；3.等边三角形是轴对称图形，共有⑩三条对称轴.三角形1.三个角都⑪相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是⑫的等腰三角形是等边三角形.考点2直角三角形概念有一个角是⑬的三角形叫做直角三角形.1.直角三角形的两个锐角⑭互余.性质2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑮一半.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的⑯.4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边、b的17平方等于斜边c的18平方，即19a+b2=c.21.有一个角是20直角21互余的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的22一半，那么这个三角形为直角三角形.判定3.23平方等于第三边的24平方.【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长.1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.第18讲锐角三角函数考点1锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90AB=cBC=a，AC=b，则∠A的正弦余弦正切的对边asinA=cosA=tanA==斜边c∠的邻边b=斜边c的对边a=的邻边b考点2特殊角三角函数值三角函数30°45°60°sinα122322cosα123222tanα3133考点3解直角三角形三边关系a2+b2=c2两锐角关系∠A+B=90°解直角三角形常用的关系：acbab在△ABC中，∠C=90°，则sinA=cosB=cosA=sinB=tanA=c边角关系1.°角的三角板三边比为∶3∶2;含45角板三边比为∶∶2.正、余弦，无斜用切(正切专题5四边形第19讲多边形与平行四边形考点1多边形多边形的定义首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.内角和n边形内角和为②(n-2)180°.外角和任意多边形的外角和为③360°.对角线n边形从一个顶点出发可以画④多边形性质正多边形条对角线，一共可以画⑤n(n-3)2条对角线.定义性质各边⑥，各角也⑦相等多边形叫做正多边形.(−°n360°正n边形的每一个内角的度数都是⑧，每一个外角都是⑨.nn考点2平行四边形的性质序号平行四边形的性质1234平行四边形的对边⑩平行且相等.平行四边形的对角⑪.平行四边形的对角线⑫互相平分.平行四边形是⑬中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的⑭交点.考点3平行四边形的判定方法序号平行四边形的判定方法两组对边分别⑮平行的四边形是平行四边形(定义法).两组对边分别⑯相等的四边形是平行四边形.12345两组对角分别17相等的四边形是平行四边形.一组对边18平行且相等的四边形是平行四边形.对角线19互相平分的四边形是平行四边形.第20讲特殊的平行四边形考点1矩形矩形的定义有一个角是①直角的平行四边形叫做矩形.(1)矩形具有平行四边形所有的性质.矩形的性质(2)矩形的四个角都是②直角，对角线互相平分并且③相等.(3)对角线的交点.(1)定义法.矩形的判定(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)⑤有一个直角的平行四边形是矩形.考点2菱形菱形的定义有一组⑥邻边相等的平行四边形叫做菱形.(1)菱形具有平行四边形所有的性质.(2)菱形的四条边⑦相等，对角线互相⑧垂直平分，并且每条对角线平分一组对角.菱形的性质(3)中心就是⑨对角线的交点.(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩一半.(1)定义法.菱形的判定(2)四条边⑪相等的四边形是菱形.(3)对角线⑫互相垂直的平行四边形是菱形.考点3正方形正方形的定义有一组邻边⑬，并且有一个角是⑭直角的平行四边形叫做正方形.(1)正方形的四条边⑮⑯直角17且18相等每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质.(2)194.正方形的性质(1)有一组邻边相等的20矩形是正方形.(2)有一个角是直角的21菱形是正方形.(3)对角线22互相垂直平分且相等的四边形是正方形.正方形的判定专题6圆第21讲圆的基本性质考点1圆的有关概念定义.圆的定义定义：圆是到定点的距离①等于定长的所有点组成的图形.连接圆上任意两点的②叫做弦.弦直径弧直径是经过圆心的③线，是圆内最④长的弦.圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤优劣之分，能够完全重合的弧叫做⑥.能够重合的两个圆叫做等圆.等圆同心圆圆心相同的圆叫做同心圆.考点2圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦的直线.圆是中心对称图形，对称中心为⑧圆心.垂径定理定理推论垂直于弦的直径⑨平分弦，并且平分弦所对的两条⑩弧.平分弦(不是直径)的直径⑪垂直弦，并且⑫弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间关系⑬相等所对应的其余各组量也分别相等.考点3圆周角圆周角的定义圆周角定理推论1顶点在圆上，并且⑭都和圆相交的角叫做圆周角.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮.同弧或等弧所对的圆周角⑯相等.推论2半圆或直径)所对的圆周角是17直角；°的圆周角所对的弦是18直径.圆内接四边形的对角19互补.推论3【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.第22讲与圆有关的位置关系考点1点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.位置关系点在圆内①dr点在圆上点在圆外数量与的大小关系②③dr考点2直线与圆的位置关系设圆的半径为，圆心到直线的距离为位置关系公共点个数公共点的名称数量关系相离相切相交20无1切点交点⑥dr④dr⑤d=r考点3圆的切线(1)与圆有⑦公共点的直线是圆的切线定义法).(2)到圆心的距离等于⑧半径的直线是圆的切线.(3)过半径外端点且⑨半径的直线是圆的切线.(1)切线与圆只有⑩一个公共点.切线的判定切线的性质切线长(2)切线到圆心的距离等于圆的⑪半径.(3)切线垂直于经过切点的⑫.过圆外一点作圆的切线，这点和⑬之间的线段长叫做这点到圆的切线长.切线长定理圆外一点可以引圆的⑭条切线，它们的切线长⑮相等⑯平分两条切线的夹角.考点4三角形与圆确定圆的条件三角形的外心○不在17同一直线的三个点确定一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，18外接圆的圆心叫做三角形的19外心，这个○○三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形20三个顶点的距离相等.与三角形各边都相切的圆叫三角形的21内切圆22内心三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形23三边距离相等.三角形的内心判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径.[来源:Z+xx+k.Com]直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：c若a,b是△ABC的两条直角边，c为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R=；2a+b−c②直角三角形的内切圆半径r=.2第23讲圆的有关计算考点1正多边形与圆180°边长a=2Rsinn如果正多边形的边数为，外接圆半径为，那么180°周长C=2nRsinn180°边心距rn=Rcosn考点2圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是，那么π弧长公式nR弧长180扇形面积公式πR21S=扇=lR3602考点3圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高，r是底面半径；(2)l是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的①；(3)圆锥的侧面展开图是半径等于②母线长，弧长等于圆锥底面③圆周长的扇形.S侧=④π圆锥的侧面积圆锥的全面积S全=⑤πrl+πr2牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解.圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题.专题7图形变换第24讲图形的平移、对称与旋转考点1图形的平移定义在平面内，将一个图形沿某个①移动一定的②距离，这样的图形运动称为平移.性质1.对应线段③平行(或共线)且相等，对应点连线④相等且平行或共线)；2.平移前后的图形形状和大小都没有发生变化(即两个图形⑤全等).考点2轴对称与轴对称图形轴对称轴对称图形⑥完全重合够完全⑧线就是⑦对称轴，两个图形的对应点叫做对称点.图形，这条直线叫做这个图形的⑨对称轴.定义区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.1.对称点的连线被对称轴⑩；轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形.轴对称性质2.对应线段⑪相等；3.对应线段或延长线段的交点在⑫对称轴上；4.成轴对称的两个图形⑬全等.考点3图形的旋转定义性质在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.1.对应点到旋转中心的距离⑭；2.任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑮旋转角；3.旋转前后的图形⑯.【易错提示】在旋转过程中，相等的角有对应角和旋转角，不要把两者混淆.考点4中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形把一个图形绕着一点旋转17180°把一个图形绕着某点旋转18180°后，能定义中心，旋转前后重合的点叫做对称点.○形，这个点叫做19对称中心.区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形.中心对称性质○○1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过20对称中心，而且被对称中心21平分；2.成中心对称的两个图形22全等.线段的长短不变.第25讲图形的相似考点1相似图形的有关概念相似图形相似多边形相等③成比例.相似比相似多边形对应④边的比叫做相似比.①相同的图形称为相似图形.相似三角形两个三角形的三个角分别⑤相等，三条边成比例，则这两个三角形相似当相似比等于1时，这两个三角形⑦全等.考点2比例线段定义.基本性质ac若=，则ad=bc.比例线段黄金分割bd当b=c时，b2=ad，那么b是ad的比例中项.点CAB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，若是线段和的比例中项，ACBC51−且==≈0.618，那么点C叫做线段的黄金分割点.ABAC2【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.考点3平行线分线段成比例基本事实推论两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑧成比例.⑨平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.考点4相似三角形的判定判定1判定2判定3判定4⑩于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.三边⑪对应成比例的两个三角形相似.两边⑫对应成比例且夹角⑬的两个三角形相似.两角分别⑭相等的两个三角形相似.判定5满足斜边和一条直角边⑮对应成比例的两个直角三角形相似.考点5相似三角形的性质性质1性质2○相似三角形的对应角⑯相等，对应边17成比例.○相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于18相似比.性质3○相似三角形面积的比等于相似比的19平方.考点6位似如果两个图形不仅是20相似21一点.这个点叫做位似22中心，这时相似比又称为23位似比.定义性质1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比位似比).2.24○|k|.【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(或再找夹边成比例用判定3).(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.第26讲视图与投影考点1投影平行投影由①平行光线形成的投影叫做平行投影.投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影.中心投影由同一点点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.考点2三视图主视图在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.三视图俯