专题09 一次函数（讲义）（解析版）

专题09一次函数核心知识点精讲理解一次函数的概念定义，理解一次函数是线性函数的特殊形式，并能够识别和判断一个函数是否为一次函数。掌握一次函数的表达式y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。要掌握如何确定函数的斜率（k值）和截距（b值）。掌握了解一次函数图像的特点，掌握如何绘制一次函数的图像，并能够根据图像分析函数的特点、与坐标轴的交点等性质。掌握一次函数的与其他数学知识的联系：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式等的关系，并能够进行相互转化。能够利用一次函数解决实际问题，如路程、时间、速度问题，以及与其他数学知识的综合应用。考点1一次函数的概念1.一次函数概念：一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。2.正比例函数：当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。考点2一次函数的图象与性质1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线。2.一次函数的图象特征：（1）一次函数的图象是经过点（0，b）的直线；（2）特别的，正比例函数的图象是经过原点（0，0）和（1，k）的直线。3.一次函数的图象与性质k的符号b的符号函数图象图象特征k>0b>0图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K<0b>0图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。考点3正比例函数和一次函数解析式的确定1.确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法，它的步骤通常是：（1）设一次函数的解析式为：；（2）用图象上的点A（x1，y1），B（x2，y2）的横、纵坐标分别去替代函数解析式中的x和y，得到二元一次方程组{（3）解这个方程组，求出k，b的值；（4）求k，b的值带入所设的解析式中，即可得到索要其的一次函数的解析式。2.一次函数图象的平移一次函数的平移若一次函数的解析式为y=kx+b，向左平移m个单位后解析式为y=k(x+m)+b，规律为“左加”；向右平移m个单位后解析式为y=k(x-m)+b，规律为“右减”；向上平移m个单位后解析式为y=kx+b+m，规律为“上加”；向下平移m个单位后解析式为y=kx+b-m，规律为“下减”；考点4一次函数与方程（组）、不等式的关系一次函数与方程（组）、不等式的关系与一元一次方程的关系方程kx+b=0的解x=-是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标；与二元一次方程组关系联立两个一次函数关系式得出的解是两个一次函数的交点坐标；与一元一次不等式的关系①从“数”上看：kx+b>0的解集是y=kx+b中，y>0时x的取值范围；kx+b<0的解集是y=kx+b中，y<0时x的取值范围；②从“形”上看：kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应点的横坐标；kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方部分对应点的横坐标；考点5根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．考点6一次函数的实际应用1.解一次函数的实际应用的一般步骤：2.集中常见题型及及其解法（1）文字性应用题：从体感中提取两组有关量（自变量和因变量）作为一次函数图像上的两点，应用待定系数法求出解析式，对于阶梯收费问题注意选取的关系量应是同一标准的；（2）表格型应用题：分析表格中数据，从表格中提取两组量应用待定系数法求函数解析式；（3）图象型应用题：从函数图象上找出两点，找到其坐标带入解析式；若函数图象为分段函数，注意要取通断函数图像上的两点，一次方法分别求隔断函数的解析式，最后记得加上对应自变量的取值范围。（4）方案选取问题：①根据解析式分类讨论，比较两个发难在不同取值下的最有结果；②根据题意列不等式求出自变量的取值范围，然后选取符合题意的自变量的取值范围，分别代入两个一次函数解析式中比较，设计或选择最优的方案即可。【题型1：一次函数的概念】【典例1】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为A． B． C． D．【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【解答】解；、是正比例函数，故错误；、是反比例函数，故错误；、是一次函数，故正确；、是反比例函数，故错误；故选：．1．（2023•霞山区一模）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y=−5x D．y【答案】C【分析】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．【解答】解：A、y＝4x+1，不符合正比例函数的定义，故本选项错误；B、y＝2x2，自变量次数不为1，故本选项错误；C、y=−5xD、y=x故选：C．2．关于函数，都是不等于0的常数），下列说法，正确的是A．与成正比例B．与成正比例 C．与成正比例D．与成正比例【分析】根据一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，直接将原式变形进而得出与的关系．【解答】解：关于函数，都是不等于0的常数），，与成正比例．故选：．【题型2：一次函数的图象与性质】【典例2】（2023•蓬江区校级一模）一次函数y＝x﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数y＝ax+b中的a、b的符号来判定其图象所经过的象限．【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2中的x的系数为1，1＞0，∴该函数图象经过第一、三象限．又∵﹣2＜0，∴该函数图象与y轴交于负半轴，综上所述，该函数图象经过第一、三、四象限．故选：C．【典例3】（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定【答案】A【分析】k＝2＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜3，可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣1＜3，∴y1＜y2．故选：A．1.（2023•惠城区校级开学）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选：B．2．（2023•广东模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0），且y随x的增大而减小，则直线y＝﹣2x+k的图象是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx，且y随x的增大而减小，∴k＜0，在直线y＝﹣2x+k中，∵﹣2＜0，k＜0，∴函数图象经过二、三、四象限．故选：C．3．（2023•茂南区二模）若直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，则直线y2＝bx+a不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到直线y2＝bx+a经过哪个象限，不经过哪个象限．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴直线y2＝bx+a经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．【题型3：正比例函数和一次函数解析式的确定】【典例3】（2023•潮南区模拟）如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为（﹣4，0）．【答案】（﹣4，0）．【分析】连接AB交x轴于点C，此时=AB值最大，求出直线AB的解析式，令y＝0，即可找到点C坐标．【解答】解：如图所示，连接AB交x轴于点C，此时=AB值最大，即点C为所求的点．设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（2，3），B（0，2），得2k+b=3b=2，解得：k=故直线AB解析式为y=12令y=12x+2中y＝0，则得x＝﹣4，故点故答案为：（﹣4，0）．1．（2022•增城区一模）如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、A．y=−13x+2 B．y=−15x+2 C．y=−【答案】B【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC＝AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM＝OA，AM＝OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．【解答】解：对于直线y=23x+2，令x＝0，得到y＝2，即B（0，2），令y＝0，得到x＝﹣3，即A（﹣3，0），OA＝3，过C作CM⊥x轴，可得∠AMC＝∠BOA＝90°，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°，AC＝BA，∴∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ACM＝∠BAO，在△CAM和△ABO中，∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAO∴△CAM≌△ABO（AAS），∴AM＝OB＝2，CM＝OA＝3，即OM＝OA+AM＝3+2＝5，∴C（﹣5，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（0，2），∴b=2−5k+b=3解得k=−1∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=−15故选：B．2．（2023•中山市三模）若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为y＝2x．【答案】y＝2x．【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx，然后将点（3，6）代入到该解析式并列出关于系数k的方程，通过解方程即可求出k值，从而求出这个函数解析式．【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，∵这个正比例函数的图象经过点（3，6），∴6＝3k，∴k＝2．故答案为：y＝2x．【题型4：一次函数与方程（组）、不等式的关系】【典例5】（2023•丰顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3【答案】B【分析】根据直线y＝ax+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b＞0的解集．【解答】解：∵直线y＝ax+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2．故选：B．【典例6】（2023•东莞市校级三模）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）【答案】D【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．【解答】解：∵二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12故选：D．1．（2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【答案】A【分析】根据图象经过点（3，0），即把（3，0）代入函数解析式成立，即方程成立，据此即可判断．【解答】解：根据题意当x＝3时，y＝0，即方程ax+2＝0成立，则方程的解是x＝3．故选：A．2．（2023•英德市二模）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2【答案】A【分析】根据函数图象即可直接得出结论．【解答】解：由函数图象可知，当x＞2时，y＜0，所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．故选：A．3．（2023•南山区模拟）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+5的图象相交于点A（a，2），则不等式﹣2x≤kx+5的解集为（）A．x≤2 B．x≥﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1【答案】B【分析】先求出a的横坐标，根据图象即可确定不等式﹣2x≤kx+5的解集．【解答】解：∵函数y＝﹣2x和y＝kx+5的图象相交于点A（a，2），∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，2），根据图象可知，不等式﹣2x≤kx+5的解集为x≥﹣1，故选：B．4．（2023•曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组x+y=3−mx+y=nA．x=1y=3 B．x=3y=1 C．x=1y=2【答案】C【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，得y＝﹣1+3＝2，∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），∴关于x、y的二元一次方程组x+y=3−mx+y=n的解为x=1故选：C．5.（2023•金平区二模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点P(23，83)，则关于x的不等式x+b≥kx【答案】x≥2【分析】写出直线y＝x+b在直线y＝kx+4上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：关于x的不等式x+b≥kx+4的解集是x≥2故答案为：x≥26．（2023•江门校级三模）如图，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则方程组2x−y=−bkx−y=3的解是x=4y=−6【答案】见试题解答内容【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．【解答】解：∵点P（4，﹣6）为函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象的交点，∴方程组2x−y=−bkx−y=3的解为x=4故答案为x=4y=−6【题型5：根据实际问题列一次函数关系式】【典例7】（2023•天河区二模）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为y＝0.3x+6．【答案】见试题解答内容【分析】弹簧总长＝挂上xkg的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．【解答】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长0.3xcm，∴弹簧总长y＝0.3x+6．故答案为：y＝0.3x+6．1．（2023•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）A．y＝20x B．y＝40﹣2x C．y=40x D．y＝x（40﹣2【答案】B【分析】由木栏的总长，可得出2x+y＝40，变形后，即可得出结论．【解答】解：∵木栏总长为40m，∴2x+y＝40，∴y＝40﹣2x．故选：B．2．（2023春•澄海区期末）一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）（0≤t≤5）之间的关系是h＝﹣5t+25．【答案】h＝﹣5t+25．【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度+剩余的高度＝25cm，根据等量关系列出函数关系式即可．【解答】解：由题意得：5t+h＝25，整理得：h＝﹣5t+25，故答案为：h＝﹣5t+25．【题型6：一次函数的实际应用】【典例8】（2023•蓬江区校级三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（直线）．（1）轮船的速度是20千米/时，快艇的速度是40千米/时；（2）分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；（3）快艇出发多长时间赶上轮船？【答案】（1）20，40；（2）轮船行驶过程的函数式为y＝20x，快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x﹣80；（3）快艇出发2小时后赶上轮船．【分析】（1）可根据轮船与快艇到乙港时用的时间和走的路程，根据速度＝路程÷时间，求出速度是多少．（2）可根据图中给出的信息，用待定系数法分别求出轮船与快艇的函数关系式．（3）当快艇追上轮船时两者走的路程相同，根据（1）求出的函数式，让两者的路程相等，即可得出时间的值．【解答】解：（1）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米．快艇在4小时内行驶了160千米．故轮船在途中的行驶速度为160÷8＝20（千米/时），快艇在途中行驶的速度为160÷4＝40（千米/时）；故答案为：20，40；（2）设表示轮船行驶过程的函数式为y＝kx．由图象知：当x＝8时，y＝160．∴8k＝160，解得：k＝20，∴表示轮船行驶过程的函数式为y＝20x．设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax+b．由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160，∴2a+b=06a+b=160解得a=40b=−80因此表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x﹣80；（3）设轮船出发x小时后快艇追上轮船．20x＝40x﹣80，x＝4，则x﹣2＝2．答：快艇出发2小时后赶上轮船．1．（2023•龙岗区校级一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（）A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元【答案】D【分析】n分别取1、2、5、6、10，求得相应的y值；然后根据选项进行相应的解答．【解答】解：当n＝1时，y＝1.4﹣0.5＝0.9，当n＝2时，y＝1.4×2﹣0.5＝2.3，当n＝3时，y＝1.4×3﹣0.5＝3.7，当n＝4时，y＝1.4×4﹣0.5＝5.1，当n＝5时，y＝1.4×5﹣0.5＝6.5，当n＝6时，y＝1.4×6﹣0.5＝7.9，当n＝10时，y＝1.4×10﹣0.5＝13.5，A、2.3﹣0.9﹣0.9＝0.5，第2年比第1年的检修费用比上一年增加0.5万元，不符合题意；B、3.7﹣2.3＝1.4，应该是“从第3年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元”，不符合题意；C、15D、15故选：D．2．（2023•惠州校级模拟）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0（计算结果保留一位小数）．根据图中信息分析，下列结论正确的是（）A．青海湖水深16.4m处的压强为189.36cmHg B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h≥0 D．P与h的函数解析式为P＝9.8×105h+76【答案】A【分析】由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，68）和（32.8，309.2）．由此可得出k和P0的值，进而可判断B，D；根据实际情况可得出h的取值范围，进而可判断C；将h＝16.4代入解析式，可求出P的值，进而可判断A．【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，68）和（32.8，309.2），∴P0解得k≈7.4P∴直线解析式为：P＝7.4h+68．故D错误，不符合题意；∴青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B错误，不符合题意；根据实际意义，0≤h≤32.8，故C错误，不符合题意；将h＝16.4代入解析式，∴P＝7.4×16.4+68＝189.36，即青海湖水深16.4m处的压强为189.36cmHg，故A正确，符合题意．故选：A．3．（2023•金平区一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是①②③．（填序号）【答案】①②③．【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，故①正确；③设乙出发x分钟后追上甲，则有：1028−18解得x＝6，故③正确；②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×1028−18=6故②正确．所以正确的结论有三个：①②③，故答案为：①②③．4．（2023•龙岗区校级一模）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？为期末加油！2B涂卡铅笔4元/支0.5mm黑色水笔2.5元/支【答案】（1）每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元；（2）该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．【分析】（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支0.5mm黑色水笔的进价，再将其代入（x+1）中即可求出每支2B涂卡铅笔的进价；（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（2m+60）支0.5mm黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过360支，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每支笔的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，依题意得：600x+1解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，∴x+1＝2+1＝3．答：每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元．（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（2m+60）支0.5mm黑色水笔，依题意得：m+2m+60≤360，解得：m≤100．设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（4﹣3）m+（2.5﹣2）（2m+60）＝2m+30，∵2＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝2×100+30＝230，此时2m+60＝2×100+60＝260．答：该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．5．（2023•龙川县三模）春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．（1）请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？（2）现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得1辆A型与1辆B型大巴车各有几座；（2）根据题意，可以求得x的取值范围，再根据x为整数，即可得到有多少种租车方案，再写出w与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到哪种租车方案最省钱，并求出最低费用．【解答】解：（1）设每辆A型客车有x个座位，每辆B型客车有y个座位，2x+3y=1953x+2y=180解得，x=30y=45答：每辆A型客车有30个座位，每辆B型客车有45个座位；（2）根据题意，得580x+700(50−x)≤3200030x+45(50−x)≥1600解得，25≤x≤4313∵x为整数，∴25≤x≤43，∵43﹣25+1＝19，∴有19种租车方案，w＝580x+700（50﹣x）＝﹣120x+35000，∴当x＝43时，w取得最小值，此时w＝﹣120×43+35000＝29840，50﹣x＝7，答：共有19种租车方案，租A型客车43辆，B型客车7辆最省钱，最低费用为29840元．一．选择题（共7小题）1．已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【答案】C【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．【解答】解：∵点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，∴2＝﹣3k﹣4，解得：k＝﹣2．故选：C．2．下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y=x+2 B．y＝5﹣3x C．y=2x D．y【答案】B【分析】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可．【解答】解：A．y=xB．y＝5﹣3x是一次函数，符合题意；C．y=2D．y＝﹣6x2+4不是一次函数，不符合题意．故选：B．3．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】B【分析】本题考查一次函数的系数k，b对图象的影响．一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．故答案为B．4．若直线y＝2x+b与x轴交于点A（﹣3，0），则方程2x+b＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝6 D．x=−【答案】A【分析】由于直线y＝2x+b与x轴交于点（﹣3，0），那么就说明，当x＝﹣3时，y＝0，即2x+b＝0．【解答】解：∵直线y＝2x+b与x轴交于点（﹣3，0），∴当x＝﹣3时，y＝0，故方程2x+b＝0的解是x＝﹣3．故选：A．5．把直线y＝x+2向上平移n个单位后，与直线y＝﹣2x+5的交点在第二象限，则n的取值范围是（）A．1＜n＜7 B．n＜5 C．2＜n＜5 D．n＞3【答案】D【分析】直线y＝x+2向上平移n个单位后可得：y＝x+2+n，求出直线y＝x+2+n与直线y＝﹣2x+5的交点，再由此点在第二象限可得出n的取值范围．【解答】解：直线y＝x+2向上平移n个单位后可得：y＝x+2+n，联立两直线解析式得：y=x+2+ny=−2x+5解得：x=3−n即交点坐标为（3−n3，9+2n∵交点在第二象限，∴3−n3解得：n＞3．故选：D．6．下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝x﹣1【答案】A【分析】由正比例函数的性质可得出：当k＜0，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限；由一次函数的图象与系数的关系可得出：当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：当k＜0，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．故选：A．7．直线y＝x﹣1的图象与x轴的交点坐标为（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【答案】A【分析】代入y＝0求出x的值，进而可得出直线y＝x﹣1的图象与x轴的交点坐标（1，0）．【解答】解：当y＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1，∴直线y＝x﹣1的图象与x轴的交点坐标（1，0）．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=12x+3上的一个动点，将Q绕点P（0，1）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为【答案】5．【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：过点Q作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N在△PQM和△Q′PN中，∠QPM=∠PQ′N∠PMQ=∠PNQ′=90°∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，设Q（m，12m∴PM=12m+3﹣1=12m+2，∴PN＝m，Q′N=12∴Q′（12m+2，1﹣m∴OQ′2＝（12m+2）2+（1﹣m）2=54当m＝0时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为5，故答案为：5．9．在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到新直线的函数关系式为y＝2x．【答案】y＝2x．【分析】利用一次函数图象的平移规律“左加右减”即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝2x+4沿x轴向右平移2个单位长度，∴y＝2（x﹣2）+4＝2x，即y＝2x，故答案为：y＝2x．10．如果正比例函数y＝（m﹣2）x的图象y随x的增大而减小，那么m的取值范围是m＜2．【答案】m＜2．【分析】根据正比例函数性质得5m﹣3＜0，然后解不等式即可．【解答】解：当m﹣2＜0时，y随着x的增大而减小，解得m＜2．故答案为：m＜2．11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．（1）直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2．（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是2≤b≤18．【答案】（1）y＝2x﹣2；（2）2≤b≤18．【分析】（1）设直线方程并利用待定系数法求得解析式即可；（2）求出当直线过点A时和直线过点B时b的值，即可求得答案．【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+m，∴k+m=05k+m=8解得k=2m=−2∴直线AB的表达式为y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2；（2）当线段CD经过A点时，﹣2+b＝0，解得b＝2；当线段CD经过B点时，﹣10+b＝8，解得b＝18，∴当2≤b≤18时，直线CD就会发红光．故答案为：2≤b≤18．12．若点P（a，b）在直线y＝2x+3上，则4a﹣2b的值为﹣6．【答案】﹣6．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝2a+3，再将其代入4a﹣2b中，即可求出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝2x+3上，∴b＝2a+3，∴4a﹣2b＝4a﹣2（2a+3）＝4a﹣4a﹣6＝﹣6．故答案为：﹣6．三．解答题（共3小题）13．已知一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．（1）求k，b的值．（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞0的解集．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将点A（3，0）、B（0，3）代入一次函数y＝kx+b，利用待定系数法即可求得；（2）两点法即可确定函数的图象．（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．∴3k+b=0b=3解得k=−1b=3（2）函数图象如图：；（3）不等式kx+b＞0的解集为：x＜3．14．已知y是2x+3的正比例函数，且当x＝1时，y＝﹣5．（1）求y与x的函数关系式．（2）若点（a，2）在该函数的图象上，求a的值．【答案】（1）y＝﹣2x﹣3；（2）1．【分析】用待定系数法求出函数的关系式，再把点（a，2）代入即可求得a的值．【解答】解：（1）∵y与2x+3成正比例，∴可设y＝k（2x+3），当x＝1时，y＝﹣5，代入得﹣5＝k（2+3）．解得：k＝﹣1．故y与x的函数关系式为y＝﹣2x﹣3．（2）把点（a，2）代入得：2＝﹣a+3，解得：a＝1．15．如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式−12x+m＞﹣2【答案】（1）m=−34，n=52【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入y=−12x+m可得（2）根据函数图象可直接得到答案．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）．∴﹣2＝﹣2n+3，解得：n=5∴P（52∵y=−12x+m的图象过P（∴﹣2=−12解得：m=−3（2）由函数图象可知：不等式−12x+m＞﹣2x+3的解集为：x一．选择题（共5小题）1．一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组y=kx+by=x+2A．x=2y=4 B．x=1y=4 C．x=2.4y=4【答案】A【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得，m+2＝4，解得m＝2，所以P点坐标为（2，4），所以关于x，y的二元一次方程组y=kx+by=x+2的解是x=2故选：A．2．正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．【解答】解：根据图象知：A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能；B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能；C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能；D、正比例函数的图象不对，所以不可能．故选：B．3．正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax﹣2a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据自变量系数都是a，判断两直线相互平行，根据一次函数解析式判断一次函数y＝ax﹣2a图象过点（2，0），据此判断即可．【解答】解：因为正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax﹣2a的自变量系数都是a，则两直线相互平行．故C、D不合题意；因为一次函数y＝ax﹣2a＝a（x﹣2），则一次函数y＝ax﹣2a图象过点（2，0），故A符合题意，B不合题意；故选：A．4．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知乙先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数是（）①乙的速度为4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点80米；③甲到达终点时，乙距离终点还有80米；④甲、乙两人之间的距离为60米时，甲出发的时间为72秒和82秒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由图象可知，乙3秒钟跑过的路程为12米，即可求出乙的速度，当甲跑了80秒时，甲到达终点，求出甲的速度，再根据路程，速度，时间之间的关系，逐一进行判断即可．【解答】解：由图可知：乙3秒钟跑过的路程为12米，∴乙的速度为：12÷3＝4米/秒；故①正确；甲跑了80秒时，甲到达终点，∴甲的速度为：400÷80＝5米/秒，∴设乙跑了t秒后，两人第一次相遇，则：4t＝5（t﹣3），解得：t＝15秒，∴此时距离起点为4×15＝60米，故②错误；当甲到达终点时，乙跑了83秒，此时乙距离终点还有400﹣4×83＝68米；故③错误；当甲运动t秒时，甲乙两人的距离为60米，分两种情况，①甲到达终点之前，5t﹣4（t+3）＝60，解得：t＝72秒；②当甲到达终点之后，此时乙离终点还有68米，当乙距离终点60米时，还需要的时间为（68﹣60）÷4＝2秒，即当甲运动了80+2＝82秒，时，两人相距60米；故④正确；综上：正确的有2个；故选：B．5．一次函数y＝kx+b的图象经过A（m，1），B（m+4，0）两点，若点M（2，y1）和点N（3，y2）恰好也是该函数图象上的两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定【答案】A【分析】先根据A（m，1），B（m+4，0）两点，求出一次函数的增减性，即可求解．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（m，1），B（m+4，0）两点，∵m+4＞m，0＜1∴y随x的增大而减小，∵点M（2，y1）和点N（3，y2）恰好也是该函数图象上的两点，且2＜3，∴y1＞y2．故选：A．二．填空题（共4小题）6．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a﹣b＝12【答案】见试题解答内容【分析】从图1，可见甲的速度为1202=60，从图2可以看出，当x=67时，二人相遇，即：（60+V乙）×67=120，解得：乙的速度【解答】解：从图1，可见甲的速度为1202从图2可以看出，当x=67时，二人相遇，即：（60+V乙）×67∵乙的速度快，从图2看出乙用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，a﹣b=120故答案为127．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（4，3）或（3，4）．【答案】见试题解答内容【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可．【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，即点C（﹣1，0）；①如图，当BD平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，则直线DD′∥AB，设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，设点D′（n，7﹣n），A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则BD′＝BC=1+解得：n＝3，故点D′（3，4）；故答案为：（4，3）或（3，4）．8．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0），过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A'．设OM＝m，折叠后的△A'MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（1）如图，当点A'与顶点B重合时，点M的坐标为（33，0）（2）当S=324时，点M的坐标为（2【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据折叠的性质得出AN＝BN，再由含30度角的直角三角形的性质进行解答即可；（2）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；再把S=3【解答】解：（1）当点A'与顶点B重合时，∴N是AB的中点，∵点A（3，0），点B（O，1），∴AB＝2，∴AN＝1，∵∠OAB＝30°，∴AM=2∴M（33（2）在Rt△ABO中，tan∠OAB=OB∴∠OAB＝30°，由MN⊥AB，可得：∠MNA＝90°，∴在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠OAB=12（3AN＝AN•cos∠OAB=32（3∴S△AMN=12MN•AN=38（3①当点A′落在第一象限或y轴上时，则S＝S△A′MN，令38（3−m）2=324，解得m1=2②如图，当点A′落在第二象限时，记A'M与OB相交于点C，在Rt△COM中，可得CO＝OM•tan∠A'MO=3m∴S△COM=12OM•CO=3∵S△ABO=12OA•OB∴S＝S△ABO﹣S△AMN﹣S△COM=32−38（3−m即S=−538m2+34m令−538m2+34m综上所述，点M的坐标为（23故答案为：（33，0）；（29．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示方式放置，点A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B4的坐标是（15，8），B2020的纵坐标是22019．【答案】（15，8）；22019．【分析】利用一次函数，求得每个点的纵坐标，即可求得横坐标．从而求得点的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点A1的坐标为（0，1），∵四边形A1B1C1O为正方形，∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴点A2的坐标为（1，2），∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0），同理可知，点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），点B5的坐标为（31，16），……，∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），∴点B2020的纵坐标为2n﹣1＝22019．故答案为：（15，8）；22019．三．解答题（共3小题）10．为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图像解答下列问题：（1）求出y与x的函数关系式；（2）若某用户某月用电80度，则应缴电费多少元？（3）若某用户某月应缴电费105元，则该用户用了多少度电？【答案】（1）y=0.65x(0≤x≤100)（2）某用户某月用电80度，则应缴电费为52元；（3）某用户某月应缴电费105元，则该用户用了150度电．【分析】（1）当0≤x≤100时，设y＝kx，将（100，65）代入求出k的值即可；当x＞100时，设y＝ax+b，将（100，65），（130，89）代入求出a、b的值即可，从而得到答案；（2）根据题意得出在y＝0.65x中，当x＝80时，y＝0.65×80＝52，即可得到答案；（3）根据题意得出令0.8x﹣15＝105，求出x的值即可．【解答】解：（1）当0≤x≤100时，设y＝kx，将（100，65）代入得：65＝100k，解得：k＝0.65，∴y＝0.65x；当x＞100时，设y＝ax+b，将（100，65），（130，89）代入得：100a+b=65130a+b=89解得：a=0.8b=−15∴y＝0.8x﹣15；综上所述，y与x的函数关系式为y=0.65x(0≤x≤100)（2）根据题意得：在y＝0.65x中，当x＝80时，y＝0.65×80＝52，∴某用户某月用电80度，则应缴电费为52元；（3）∵105＞65，∴令y＝0.8x﹣15＝105，解得：x＝150，∴某用户某月应缴电费105元，则该用户用了150度电．11．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为y=120（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（3）该校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年总种植成本为28920元？【答案】（1）y=1（2）甲400平方米，乙600平方米，总成本最小w＝42000元；（3）a＝20．【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式；（2）当200≤x≤600时，W=120(x−400)2+42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝﹣10（3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式为y＝kx+b，把（200，20），（600，40）代入得：200k+b=20600k+b=40解得：k=1∴y与x的函数关系式为y=1故答案为：y=1（2）当200≤x≤600时，W=x(1∵120∴抛物线开口向上，∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，∵﹣10＜0，∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，∵42000＜43000，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，设a%＝m，整理得：（1﹣m）2＝0.64，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），∴a%＝20%，∴a＝20，答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，﹣1），直线l的解析式为y＝kx+b，点A，点B关于直线l的对称点分别为点A'，点B′．（1）当k＝1时，①若点A′的坐标为（2，0），则A′B′的长为2，b的值为﹣1，此时AA′与直线l的位置关系是：AA'⊥l；②若AA′=2，求b（2）当b＝0时，若点A'，B'都在直线a上，且直线a经过点C（0，2），直接写出直线l与y轴所夹锐角的度数．【答案】（1）①2，﹣1，AA'⊥l；②b＝﹣1或b＝1．（2）15°或75°．【分析】（1）①求出线段AA′的中点，利用待定系数法求解；②由①可知AA'中点的坐标，则可得出答案；（2）如图，作C关于直线l的对称点C′，连接OC′，OA，OA′．解直角三角形可求出答案．【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（1，﹣1），∴AB＝2，∵AB，A′B′关于直线l对称，∴A′B′＝AB＝2，由题意k＝1，∴y＝x+b，∵A，A′关于直线y＝x+b对称，∴直线y＝x+b经过AA′的中点（32，12），AA'⊥∴12=∴b＝﹣1，故答案为：2，﹣1，AA'⊥l；②由①可知AA′的中点为（32，12）或（12∴12=32∴b＝﹣1或b＝1．（2）如图1中，作C关于直线l的对称点C′，连接OC′，OA，OA′．由题意直线l的解析式为y＝kx，OC＝OC′＝2，∵AB关于直线l的对称线段A′B′在直线l1上，又∵直线l1经过点C，∴点C′在直线AB上，∵A（1，1），B（1，﹣1），∴点C′的横坐标为1，∴C′的纵坐标=2∴C′（1，3），∴tan∠C′OK=C′K∴∠C′OK＝60°，∵OK＝OA＝1，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK＝45°，∴∠C′OA＝∠C′OK﹣∠AOK＝60°﹣45°＝15°，∵A，B，C关于直线l的对称点为A′，B′，C′，∴∠COA′＝∠C′OA＝15°，∴∠COC'＝30°，∴直线l与y轴的夹角为15°．如图2中，当A′B′在y轴的右侧时，同理可求∠COA′＝∠COD+∠A′OD＝105°，∴直线l与y轴的夹角为105°﹣30°＝75°．综上所述，直线l与y轴所夹锐角的度数为15°或75°．一．选择题（共2小题）1．（2022•广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（）A．﹣15 B．15 C．−35 【答案】D【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值．【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，∴﹣5＝3k，解得：k=−5故选：D．2．（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x1+2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，∴y随着x的增大而减小．∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x1+2，∴y3＜y2＜y1，故选：B．二．解答题（共4小题）3．（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．（1）求y1与x之间的函数解析式；（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？【答案】（1）y1与x之间的函数解析式为y1=15x(0≤x≤5)（2）在甲商店购买更多一些．【分析】（1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可；（2）把y＝600分别代入y1，y2解析式，解方程即可．【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），把（5，75）和（10，120）代入解析式得5m+n=7510m+n=120解得m=9n=30∴y1＝9x+30，综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1=15x(0≤x≤5)（2）在甲商店购买：9x+30＝600，解得x＝6313∴在甲商店600元可以购买6313在乙商店购买：10x＝600，解得x＝60，∴在乙商店60