专题08 函数基础及平面直角坐标系（讲义）（原卷版）

专题08函数基础及平面直角坐标系核心知识点精讲理解平面直角坐标系的概念、点的坐标的概念；掌握不同位置的点的坐标特征；掌握点的坐标规律并能进行运用；理解掌握变量和常量的关系；掌握函数解析式及表示方法；掌握函数图象的画法。考点1平面直角坐标系1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。2.点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点2不同位置的点的坐标的特征1.各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限2.坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5.关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6.P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于考点3点的坐标规律（1）理解平面直角坐标系和点坐标的意义；（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律；（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．考点4变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。考点5函数解析式及表示方法1.函数的解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。2..函数的三种表示法及其优缺点（1）解析式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。考点6由函数解析式画其图象的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。【题型1：实数的有概念】【典例1】（2023•蓬江区校级三模）若点A（n，n+2）在x轴上，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．21．（2023•韶关一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023•顺德区校级一模）已知点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，那么Q点的坐标为（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）3．（2023•金平区三模）已知点A（2，1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则点C的坐标为（）A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）【题型2：不同位置的点的坐标的特征】【典例2】（2023•广东模拟）已知点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．31．（2022•濠江区一模）若点A（m+1，﹣2）、点B（3，m﹣1），且AB∥x轴，则AB的值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022•香洲区校级一模）（−1A．﹣5 B．15 C．5 D．3．（2023•南沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A（﹣2，1），AB＝5，且∠AOB＝90°．那么点B到x轴的距离是（）A．2 B．4 C．25 D．【题型3：点的坐标规律应用】【典例4】（2023•中山市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣1，0）．过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…，按此规律继续作下去，则点A2022的坐标为．1．（2023•东莞市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）2．（2023•东莞市一模）如图，直线l为y=3x，过点作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心．OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴．交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；……按此作法进行下去，点An坐标为3．（2023•惠东县二模）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A8的坐标是．【题型4：常量与变量】【典例4】（2023•惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（）A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量 C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量1．（2023•英德市三模）球的体积是V，球的半径为R，则V=43πRA．变量是V，R；常量是43，πB．变量是R，π；常量是43C．变量是V，R，π；常量是43D．变量是V，R3；常量是π2．（2023•蓬江区校级三模）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB自由转动至AB′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（）A．∠BAC的度数 B．AB的长度 C．BC的长度 D．△ABC的面积【题型5：函数的解析式及表示方法】【典例5】（2023•花都区一模）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系：用电量x（千瓦时）12345…应缴电费y（元）0.551.11.652.22.75…以下说法错误的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时1．（2022•河源一模）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：x﹣101y321则y与x之间的关系式可能是（）A．y＝x B．y=3x C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣2．（2021•佛山校级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是．（填一个符合题意的答案）x﹣2134y﹣362▲3．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．x025y151925（1）求y与x的函数关系式；（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．【题型6：平方根、算术平方根和立方根】【典例6】（2023•东莞市校级一模）如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象大致为（）A． B． C． D．.1.（2023•香洲区二模）一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的图象如图所示．下列说法错误的是（）A．小球的初始速度为6m/s B．小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动 C．当3≤t≤6时，小球的速度每秒增加2m/s D．小球在整个滚动过程中，当t＝3时，到达斜坡的最低处2．（2023•龙华区二模）如图是小杰同学家中的一个30min沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时30min止，上面玻璃球内的含沙量Q（cm3）与时间t（min）之间的函数关系图象大致为（）A． B． C． D．3．（2022•赤坎区二模）工程队铺设某段公路效率是v（单位：km/天）和铺设时间t（单位：天）之间函数图象是（）A． B． C． D．一．选择题（共5小题）1．（2023•高要区二模）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）2．（2022•东莞市校级一模）点C在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣5，3）3．（2023•鹤山市模拟）如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A．① B．④ C．①或③ D．②或④4．（2023•南海区校级三模）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（）x…﹣2013…y…﹣6464…A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点 C．函数的最大值大于6 D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤65．（2023•福田区模拟）函数y=1x−1中自变量A．x≥0 B．x＞1 C．x≥1 D．x≠0二．填空题（共4小题）6．（2023•惠阳区二模）在平面直角坐标系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，则x的取值范围是．7．（2022•越秀区校级二模）若P（a+2，a﹣1）在y轴上，则点P的坐标是．8．（2023•金平区二模）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是9．（2023•越秀区校级二模）在函数y=2x+9x−5中，自变量x的取值范围是一．选择题（共8小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2020的横坐标为（）A．﹣21009 B．21009 C．﹣21010 D．210102．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（55，0），顶点D的坐标为（0，255），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A₂，作正方形A2B2C2A．（32）2020 B．（32）C．4×（32）2020 D．4×（323．若点N的坐标为（a，2a﹣1），则点N一定不在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．5．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（）A． B． C． D．6．如图是边长为2的菱形ABCD，∠DAB＝60°，过点A作直线l⊥AB，将直线l沿线段AB方向匀速向右平移，直至l经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线l左边的部分面积为y，则y与直线l平移的距离x之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．7．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，23） B．（4，