【高考数学】【圆锥曲线专项】2025年高考数学圆锥曲线10类大题梳理 （完美解析版）

万物皆数——毕达哥拉斯 2=数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)4xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)42(，联立{EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),y)+1得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,y/=x，:y-y1=(x-x1(，即y=x-.所以|DE|=|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1x2=2k2+1.EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up21(1x),2x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up18(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up18(k),1):y-y1=(x-x1(，即l1:2x1x-4y-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)=0因为xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)=4y1,xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)=4y0，(x1-x0(2所以d1=x0-4y0-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)||2x1x0-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2(x1-x0(2所以d1====2xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)+44xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)+164xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),12xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)+4同理可得d2=(x2-x0(2，2xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)+4(-4-4kx0+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(2[x1x2-(-4-4kx0+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(2[x1x2-x0(x1+x2(+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)[2(x2-x0(2==4xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)+44xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)+4(xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)(+162xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)+42+1kx0-|4kx0-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)+4|=4k2+1k2kx0-|4kx0-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)+4|=4k2+1k2+1d1dd1d2=(-4-4kx0+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(2⋅16(k2+1(=k2+1≥12+1(4kx0-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)+4(222数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯 (1)+y2=1；(2)(0,2[(,S(1,-(,S(1,-|t|设|t|(EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up11(x),4)(x2+8ktx+4(t2-1(EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(8),k)(|Δ=(8kt(2-4EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(8),k)2+1|x1x2=42+12=t2-1>0,∴t2>1,4(t2-1(3(t2-1(t2(4t2-3(2,|RS|=(1+k2([(x1+4(t2-1(3(t2-1(t2(4t2-3(2,令μ=4t2-3,(μ>1(，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯 3(μ+3((μ-1(μ2=31+-=3-3-2+， l：x=4AB过的定点即得.EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(k),4)-t)-1消去x并整理得y2-4ky+4kt+4=0①,于是Δ=16k2-16kt-16=0，不妨令切线PA的方程为x=k0(y-t)-1，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)2k0EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(2k2),k0)(x-kEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(2),0))，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯 (3)若k>0，设直线AM、AN分别交y轴于点S、EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(→),S)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),P)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),T)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),N)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),S)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)T(0,-3μ-3(，由kAS=kAM得λ=-1-，同理得μ=-1-，可得λ+μ的表达式，结合2=92=5Δ=1620k2-720>0，即k<-或k>，x1+x2=，x1x2=，—→—→则(x1-3((x2-3(+y1y2>0，又y1=kx1-3，y2=kx2-3，可得(1+k2(x1x2-(3k+3((x1+x2(+18>0，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯(3)设S(0,m(，T(0,n(，A(-3,0(，P(0,-3(，由PEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),S)=λOEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)，可得m=-3λ-3，即S(0,-3λ-3(，同理可得，T(0,-3μ-3(，同理可得μ=-1-，∴λ+μ=-2--=-2-∴λ+μ=-2-1212=×-∴λ+μ=-2-1212=×-2，x1x2+3(x1+x2(+99k+1又k>，∴-2<λ+μ<-.所以λ+μ的取值范围为(-2,-. EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),D)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),B),从而求解.2=(2)设A(x1,y1(，B(x2,y2(，则D(mx2,my2(.∴OEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),D)=AEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),E)，E(x1+mx2,y1+my2(.(y=kx+1,4(x2+18kx-27=0. 题目2(2024·江西南昌·高三江西师大附中校考开学考试)已知抛物线C：y2=2px(0<p<5l2l3围.(1)y2=2x；(2)(0,1((1)结合抛物线定义即可;与抛物线方程y2=2x联立可得y2=2my+2，2-2my-2=0，Δ=4m2+8>01+y2=2m，y1y2=-2.2=2x=±1=，∴过点A作C的切线l1方程为y=(x-x1(+y1=x+，.(y1y1y=x+(x==-1y=y2x+2Lyy=x+(x==-1y=y2x+2Ly=2=m则D到直线lAB的距离dD-AB=|-1-m则D到直线lAB的距离dD-AB=.m2+1m2+1l直线l3的方程为y=-y1x+x1y1+y1=-y1x++y1，34的方程为y=-y2x+y2σ+y2，3=y=-y1x++y1(x=y1σ2+y2σ2+y1y2+1y=-y2xy=-y1x++y1(x=y1σ2+y2σ2+y1y2+1关注公众号：邦达数学万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(2m),2m)1m2+1=.|2m2+2-m⋅2m-1|则E到直线lAB的距离dE-1m2+1=.m2+1EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(1),2)=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(1),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(1),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(+),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)22y2 22m2+122y2 22m2+1y2y1y2y112m2+12=，得λ=<1， -S2|为定值.万物皆数——毕达哥拉斯 -S2=23-y0-66-x0+3=2-S2=23-y0-66-x0+3=23y0-3、6-1=26xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)+9yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)-18、6y0-6、6x0y0+36x0+54x0y0+3y0-6x0-3、6EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)0y0+36x0+5416xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)+9yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)-180y0+36x0+5416xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)+9yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),0)-186y0-6、6则= 108-18、6y0-6、6x0y0+36x0x0y0+3y0-、6x0-3、6=36. (2)若直线AP和AQ分别与直线x=-4交于点M和N，证明：M—EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),H)⋅N—EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),H)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),H)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),H)—→—→2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(16),4)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),b)设直线l方程为x=4+my，联立C:-=1得(3m2-4(y2+24my+36=0，2-4y1+直线AP:y=(x+2(，令x=-4得yM=，-4,，则MEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(—→),H)⋅NEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(—→),H)==64+=64+ =64+3m2-4=64-1=63.—→—→=2px(p>0)的焦点为F=2px(p>0)的焦点为F，y2μ为定值.2=2px的准线x=-，万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(y),4)+1消去x并整理得y2-4ty-4=0，1+y2=4t,y1y2=-4，+AEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),F)=(1-x1,-y1)，NEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),B)=(x2,y2+BEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),F)=(1-x2,-y2)，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(→),A)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(—→),F),y1+=λ(1-x1,-y1)，即y1+=-λy1，解得λ=-1-，由NB=μBF，同理得μ=-1-ty2因此λ+μ=-2-+=-2-⋅=-2-⋅-=-1为定值， 过定点.=a2-c2=a2=3,∴a2=4，∴C的方程(y=kx+t由+=1得(3+4k2(x2+8ktx+4t2-12=0，Δ=64k2t2-4(3+4k2((4t2-12(=48(4k2-t2+3(>0，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯1+x2=-8kt=2kx1x2+(t-2k((x1+x2(-4t=2k⋅-(t-2k(⋅-4t=-12(2k+t(=-3x1x2-2(x1+x2(+4++44(2k+t)22k+t，令-=3，解得t=-1-2k. k2+1数学是打开科学大门的银匙——培根(y=x-1由-=1得：x2-8x+16=(x-4(2=0，解得：x=4，∴直线PA,PB斜率均存在，则k1=kPA=tanα,k2=kPB=tanβ,∵α+β=，∴tanα=tan-β(==-，k2-1(=1+k2，∴k1k2=k1+k2+1；B(x22((y=kx+t由-=1得：(3-4k2(x2-8ktx-(4t2+12(=0，≠0且Δ=48(3-4k2+t2(>0，3-4k2，3-4k2，1+x2=8ktx3-4k2，3-4k2，x1-4x2-4x1x2-4(x1+x2(+16，∴kk=y1x1-4x2-4x1x2-4(x1+x2(+16，k1+k2=+=，k2=k1+k2+1得：y1y2-3(y1+y2(+9=(y1-3((x2-4(+(y2-3((x1-4(+x1x2-4(x1+x2(∴(kx1+t((kx2+t(-3[k(x1+x2(+2t[+9=(kx1+t-3((x2-4(+(kx2+t-3((x1-4(+x1x2-4(x1+x2(+16，2k-1(x1x2+(kt+k-t+7((x1+x2(+t2+2t-31=0，2k-1((-4t2-12(+8kt(kt+k-t+7(+(t2+2t-31((3-4k2(=0，整理可得：7(4k+t(2+6(4k+t(-81=0，即[7(4k+t(+27[[(4k+t(-3[=0，∴t=-4k-或t=3-4k，当t=-4k-时，满足Δ>0，此时直线l:y=kx-4k-=k(x-4(-恒过点(4,-；万物皆数——毕达哥拉斯 2=2+4=(x-2(2+y2⇒y2=4x，2=4x设直线AB、CD分别为x=m1y+1、x=m2y+1，有m1m2=-1，A(x1,2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(4),m)y+1，消去x可得y2-4m1y-4=0,Δ=16mEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)+16>0，故y1+y2=4m1、y1y2=-4，则x1+x2=m1y1+1+m1y2+1=m1(y1+y2(+2=4mEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+2，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),1)同理可得N(2mEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)+1,2m2(，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),2)-2mEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),1)-1(+2m1，即y=(x-2mEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),1)-1(+2m1=-+2m1(m2+m1(=x-2mEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(2),1)+1-2m1m2-2mEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(2),1)=x-1-2m1m2m2+m1m2+m1m2+m1m2+m1m2+m1，由m1m2=-1，即y=-=(x-3(，故x=3时，有y=(3-3(=0，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)B(x2x1<x2.万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(4),m)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),y)故y1+y2=4m,y1y2=-4,=2m,==2m2+1.同理可得N+1,-.若m≠1，则直线MN:y=(x-2m2-1(+2m=(x-3(,MN过点(3,0(. xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)所以xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)=，代入∗式得kPA⋅kPB==-=-，2=42=9，由+=1,消去y得(4+9k2)x2由+=1,消去y得(4+9k2)x2+18kx-数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯所以x1+所以直线AP的方程为y=x+2，直线BQ的方程为y=x-2，y0=x0+2y0=x2x0-2，y0=x0+2y0=x2x0-2，-2(①,可得-=-=-=-9×k2x1x2+3k(x1+x2(+9=-9×-+3k·+9=-9×4x1x24-4 =3-27k2-54k2 =3 数学是打开科学大门的银匙——培根又因为点M，N在直线x=2的两侧，y=kx+m联立-y2=1，可得(2k2-1(x2+4kmx+2m2+y=kx+m2k2-12k2-1.故x1+x2=-4km，x2k2-12k2-1.化简得2kx1x2+(m-1-2k((x1+x2(-4(m-1(=0，故-+(m-1-2k((--(m-1(=0，即(k+1((m+2k-1(=0，而直线l不过P点，故k=-1.所以点R恒在直线y=-x上. 2=4x的焦点为F，直线l1：y=k1(x+2(与直线l2:y=k2(x+2(与抛物线C分别交于点P,Q和点R,S.1=万物皆数——毕达哥拉斯-8y+8=0.故yP+yQ=8,yPyQ=8，故|PQ|=1+|yP-yQ|=1+⋅、(yP+yQ(2-4yPyQ=、1+4×·64-32=410，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(k1),4)3y4=8.则直线PS:y-y1=x-，化简得，4x-(y1+y4(y+y1y4=0⋯①,同理可得，直线RQ:4x-(y2+y3(y+y2y3=0⋯②,x====2,故点A在直线x=2上.A2F相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程.万物皆数——毕达哥拉斯(2)由(1)知A1(-3,0(，A2(3,0(，设M(x1,y1((x1,y1≠0(，F(x2,y2(，则E(-x1,-y1(，设直线MF的方程为x=my+n(m≠0,n≠0(，(x=my+n,(x=my+n,∴Δ=(-10mn(2-4×(5m2+9((5n2-45(=180(5m2-n2+9(>0，=2m+(n-3(+=2m+(n-3(=2m-(n-3(=，∴点N的轨迹方程为x=-3(y≠0(.求解动点P(x,y(的轨迹方程的常见方法：得到点P的轨迹方程；万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),0)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(2),2)联立x+、2y-2·2=0与C:-=1得-3y2+16y-20=0，-2(x2+2kmx+m2-4=0，又xP===，yP=k⋅+m==，过点P且与l垂直的直线方程为y-=-x-，即y=-x+，令x=0得y=，令y=0得x=，代入2k2+m2=4中得2+=4， 2=2px(p>0(的焦点为F，且A，B，C三数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯,s1(,B(t2,s2(,C(t3,s3(，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(y2),8x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(2p),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(t),s)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(3),3)-，2=,y1直线AB的方程为y-y1=化简得(y1+y2(y-y1y2=4x.4-y3y3=直线AC的方程为y-y1=x-，化简得(y1+y3(y-y1y3=4x，2(y1+y3(代入，得(y-2((y1+y3(=4x，(0,2(，2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(m),-k)数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯tan(∠MFO-∠PFO(=tan∠NFO⇔=-kFN⇔kFM+kFN=kFP(1-kFMkFN(，分别求(y=kx+mx2-=1，整理得(3-k2(x2-2kmx-(m2+3(=0.可得Δ=(-2km(2+4(3-k2((m2+3(=0，则k2-m2=3，即为参数k，m满足的关系式.所以k，m的关系式满足k2-m2=3(k>、3,m<0(.m3-k 3m3-k3-kEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),3)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(+),x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(y),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(+m),3x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up13(x),y)m3-k 3m3-k3-k结合k2-m2=3，且由(3-k2(x2-2kmx-(m2+3(=0式可变形为m2x2+2kmx+k2=0，解得x=-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(k),m)，可得P(-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(k),m),-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(3),m)(.即证tan(∠MFO-∠PFO(=tan∠NFO，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(-kFP),FMkF)由kFM+kFN=kFP(1-kFMkFN(，得kEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(1),F)M+kEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(1),F)N=kFP(kFEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(1),M)kFN-1(.23+m-2k23-m+2kk-2m根据直线的斜率公式，kFM23+m-2k23-m+2kk-2mkFM+kFN=3m+3m=3m=m，则kFM+kFN=3m+3m=3m=m， 1-1=kFMkFN23+m-2k3m23-m+2k3m-1=-1(23+m-2k((23-m+2k(-1=-1==-1===万物皆数——毕达哥拉斯4(k-2m(因此，+=kFP-1(. x2+y2-4x-32=0内切.+2(2+y2=4，(x-2(2+y2=36，当⊙E与⊙O2相内切时，有|O2E|=6-R.②所以动圆圆心E的轨迹方程为+=1.(x=my-8+=1，得(4+3m2)y2-48my+144=0，2>4，y1+y2=，y1y2=0-x1,y0-y1)=(x2-x0,y2-y0)，所以y0==，x0=my0-8=-2，所以点N在直线x=-2上，所以∠ANC=∠AMN+∠MAN=2∠AMC. 参考公式：(ad-bc)2+(ac+bd)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),Q)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),Q)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),Q)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),Q)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),P)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)=(4-x0(2+(7-y0(2.因为(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2((c2+d2(，所以(4-x0(2+(7-y0(2=(4-x0(2+(14-2y0(2EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(Γ),L)|(1+4(≥(18-x0-2y0(2，又(x0+2y0(2≤(3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)+4yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(+1(=64，故-8≤x0+2y0≤8，故|AEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(—→),P)|2≥(18-8(2=20，==.万物皆数——毕达哥拉斯线.(1)抛物线C的准线为x=-.=8x.EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(m),8)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),x)则直线BD的方程为y-y2=-(x-x2(，即y-y2=(x-x2(=x-.令y=0，得x=-y2⋅==2.数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯 2=设PQ:x=my+1，P(x1,y1),Q(x2,y2),M(4,y3)，而A1(-2,0(,A2(2,0(，(x=my+16my-9=(x=my+13m2+4,y1y2=-3m2+4,3m2+4,y1y2=-3m2+4,3=万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(2),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(y2),x2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(1),2)=3y1(my2-1)-y2(my1+3)=2my1y2-3(y1+y2)=-2m×-3(-=03(x1+2)(x2-2)3(x1+2)(x2-2)3(x1+2)(x2-2)，F三点共线.y=x-2或y=-x+2，恒过点F，即可得出证明.2+y2+2、2x-10=0，得(x+2(2+y2=12，/3>22设椭圆方程为+=1(a>b>0(，则a所以椭圆方程为+y2=1；2+y2=1(x>0(，表示右半圆，=1(x>0(相切可得=1(x>0(相切可得y2k2+1y=kx+m+y2=1可得(1+3k2(x2+6kmx+3m2-y=kx+mΔ=(6km(2-4(1+3k2((3m2-3(=36k2-12m2+12=24k2>0，1+3k2，1+3k2，所以x1+x2=-6kmx1+3k2，1+3k2， /24k21+3k2=1+k2⋅/24k21+3k2=1+k2⋅=/3，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯即可得M,N,F三点共线. (a2-b2=4(a2-b2=4(x=my-6EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up2147483647(x),8)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),4)2(y2-26my-2=0，y2=-2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(1),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(2m),m)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(+),2) 6 6EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(4),t)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(t),3)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(4),t)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(4),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(3),t)数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯整理得y1(x2-s(+y2(x1-s(=0，即y1(my2-、6-s(+y2(my1-、6-s(=0，y2-(、6+s((y1+y2(=0， EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(→),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),B)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),A)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),B)=c2-a2=2，数学是打开科学大门的银匙——培根代入-=1得(m2-1(y2+4my+2=0，2(+y2=-，y1y2=，∴PEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(→),A)⋅PEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),B)=(x1-t((x2-t(+y1y2=(my1+2-t((my2+2-t(+y1y2+(2-t(2=(m2+1(y1y2+m(2-t((y1+y2(+(2-t(2=(m2+1(-+(2-t(2(4t-6(m2+2m-(4t-6(m2+2m-1=-2+1=-1 EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),N)0x2=ty+，整理得y2-2tpy-p2=0，Ly=2px则Δ=(-2pt)2+4p2>0，且y1+y2=2tp,y1y2=-p2，可得|y1-y2|=(y1+y2(2-4y1y2=4p2(t2+1(，所以△DAB面积S△DAB=|DF|⋅|y1-y2|=p2、t2+1≥p2，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(5=),4x)万物皆数——毕达哥拉斯3y4=4(2m-5)，因为PEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),M).PEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(—→),N)=(x3-x0((x4-x0(+(y3-y0((y4-y0(=(yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),3)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)((yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(+(y3-y0((y4-y0(，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)(y0+2(m+(yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)-4(=0，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(y0),x0)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(-),1).,y2(x1+x2=x1+x2=数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯由题意知A(0,2(和B(0,-2(．则k则= (y1+2(x2x1(y2-2(=(kx1+3(=(kx2-1(x1==kx1x2+3(x1+x2(==kx1x2-x1k×+-3x1-x1= -x14EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(x),4)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),3)kMAMB=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(3),4)以及整体代换法求得结果；0(EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2147483646(2),0)xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)-a2(2=42=3，万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up10(x),4)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up12(y),3)3EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(-),t)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(t),4)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(3),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(3),t2)=-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(3),2)(y1+y2(，y1y1(x2-2(y1(y2(x1+2(y2(ty1+6(y1+y2(+2y1y1+y2(+6y2=- 三点,-,2,中恰有两点在椭圆E上.(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M(2,0(作直线交椭圆E于P，Q两点(不同于A,B)，线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.设P(x1,y1(，Q(x2,y2(，N(x0,y0(，数学是打开科学大门的银匙——培根由(1)可得A(-3,0(，B(3,0(，x0-3my1y2-y1y1+y2(-y1，x2x2定值.,即可求解.Lb=a-cEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(x),4)Lb=a-cEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(x),4)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),3)y=k(x-1)+=1，整理得(4k2+3(x2-8k2x+4k2y=k(x-1)可得Δ=64k4-4(4k2+3((4k2-12(=144(k2+1(>0,x1+x2=,x1x2=，所以xQ==，则yQ=k(xQ-1(=k-1(=，即Q,，则中垂线的方程为y-=-x-，x-1|=|-1|=，又由|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2⋅(x1+x2(2-4x1x2=1+k2⋅2-4⋅= ，设AM方程为y=m(x+2)，BN方程为y=n(x-2)，(2)证明：由(1)知A(-2,0),B(2,0)，设M(x1,y1(,N(x2,y2(，(1)x2-=1；(2)证明过程见解析x=my+23x2-y2=3⇒(3m2-1(y2+12my+x=my+2所以PB的方程为y=(x-x2(+y2，my2+2=+2=-+2，(yy=(yy=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up13(1),1)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(3),4)万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(→),P)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),B)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up3(Γ),L)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(Γ),L)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),N)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)(+2λ(3x4x5-y4y5(=3(1+λ(2，又∵3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)=0，3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)=0，可得3x4x5-y4y5=3+x2=2，y1+y2=6，∴{-=1①,由①-②得xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(2),1)-xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(2),2)-yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(2),1)-yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(2),2)=022-y2=1②2即yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(2),1)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(2),2)=b2∴(y1+y2((y1-y2(=b2xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)a2，(x1+x2((x1-x2(a2，=3a2，2-y=1；-4x-7=0，Δ=16+56=72>0，则x1+x2=2，x1x2=-，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),N)-1,y1(⋅(x2-1,y2(=(x1-1((x2-1(+y1y2=(x1-1((x2-1(+(x1+2((x2+2(=2x1x2+(x1+x2(+5=2×(-+2+5=0，故设直线AB方程为：x=my+n，4(5(，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(—→),B)-x4,y3-y4(=λ(x5-x3,y5-y3(，数学是打开科学大门的银匙——培根万物皆数——毕达哥拉斯EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(x),y)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(3),3)-=1，∴3(x4+λx5(2-(y4+λy5(2=3(1+λ(2，∴(3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)(+λ2(3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),5)(+2λ(3x4x5-y4y5(=3(1+λ(2③,又∵3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),4)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),4)=0，3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),5)-yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),5)=0，-y4y5(=3(1+λ(2，∴3x4x5-y4y5=④,-1(y2+6mny+3n2=0，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(1≠),m)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(0),n)y5<0，2-1<0，由④式得：3(my4+n((my5+n(-y4y5=，-1(y4y5+3mn(y4+y5(+3n2=⑦,+3mn-+3n2=，∴-6n2=3(1+λ(2|EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(Γ),L)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(Γ),L) 数学是打开科学大门的银匙——培根设lMN:y=k(x+1(+2,M(x1,y164(k+2(16(k+2)2-6432(k+2(64(k+2(16(k+2)2-6432(k+2(4k2+8k1+k1+kEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)1+kEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(1+kEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)1+kEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)== (2)直线FA,FB分别交直线y=-2于M,N两点，若|MN|≥16，求k的取值范围.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(Γ),L)=2k-(2++=2k-(2+=0①,EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(-),y)-2kpx+4p=0，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up8(=),4p)+k2=2k-(2+⋅=k(2-=0，x+2，FB:y=k2x+2， -x -x1(k1-k2=y1-2-y2-2=kx1-4-kx2-4=(kx1-4((kx2-4(= 4(x2-x1(k2x1x2-4k(x1+x2)+16，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(=),16)-==-=-=-=≥且k2>1，解得1<k2≤,则-≤k<-1，或1<k≤, ,左顶点A到右焦点F的距离为3.2+y2=(x≠1(2=b2+c2c=1EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(a),b)2=b2+c2c=12((y=kx+m与椭圆方程联立，+=1，得(3+4k2(x2+8kmx+4m2-12=0，得5m2-8km-4k2=0，即(m-2k((5m+2k(=0，所以m=2k或m=-k，AMAN=-，满足条件，因为∠BHF=90，BF=1所以点H的轨迹方程为(x-2+y2=(x≠1(.EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up6(x2),a2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(y),b)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up12(2),2)直线AE与椭圆C交于另一点D.证明：D,G,N三点共线.EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(m),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(n),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(+),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(n),2)n22(2)由题意不妨设M(m,n(,N(m,-n(,A(-2,0(,B(2,0(,O(0,0(，其中+n2=1,(m≠±2(，即4n2=4-则(,G(且直线AE的方程为(x+2(，所以D,G,N三点共线. (2b=23(a=22=b2+c2Lc=1y=k(x-6(联立方程+=1，可得(3+4k2(x2-48k2x+144ky=k(x-6(计算Δ=(-48k2(2-4×(3+4k2((144k2-12(=-48(32k2-3(>0，22EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up19(8),4)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up12(2),2).k(x2-6((x1-+k(x1-6((x2-2-1-2-2x2-6x1+4+x1x2-2x2-1-2x1x2-1+x2(2-1--×+8.2-1-因为-×+8==0，PF+kPE=0，kPF=-kPE.kPF=tan(π-∠OPF(=-tan∠OPF，kPE=tan∠APE， 线AC与直线BD的交点M在定直线上.c=2c=222(化简整理得，(2k2+1(x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(1+2k2(>0恒成立，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up24(x1),x1)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up24(=),2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up29(-),k)y1+2，yMy1+2，yM+2=x1xM (y1+2(x2x1(y2-2(=(kx1+3(=(kx2-1(x1=kx1x2+3(x1+x2(-3=kx1x2-x1所以直线AC与直线BD的交点M在定直线y (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=-2交于点N．求(2)因为椭圆E的方程为=1，所以A(0,2(,C(0,-2(,B(-3,0(,D(3,0(，因为P为第一象限E上的动点，设P(m,n((0<m<3,0<n<2(，则易得kBC=则直线BC的方程为x-2，kPD=则直线PD的方程为(x-3(，PA=则直线PA的方程为x+2，令y=-2，则-2=x+2，解2=9-，8m2=72-18n2， 题目12(2023·全国·统考高考真题)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(2)设直线MN：x=my+n，M(x1,y1(,N(x2,y2(,利用=0，找到m,n的关系，以及(1)设A(xA,yA(,B(xB,yB(，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),y)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(2y),2p)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(+),x)所以|AB|=(xA-xB(2+(yA-yB(2=5|yA-yB|=5×(yA+yB(2-4yAyB=415，设直线MN：x=my+n，M(x1,y1(,N(x2,y2(，由+n可得，y2-4my-4n=0，所以，y1+y2=4m,y1y2=-4n，Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0，因为=0，所以(x1-1((x2-1(+y1y2=0，即(my1+n-1((my2+n-1(+y1y2=0，亦即(m2+1(y1y2+m(n-1((y1+y2(+(n-1(2=0，将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得，4m2=n2-6n+1，4(m2+n(=(n-1(2>0，=1+m24(n2-6n+1(+16n=21+m2|n-1|，万物皆数——毕达哥拉斯|n-1|n-1|=(n-1(|n-1|n-1|=(n-1(2，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(y),a)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up12(2),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(x),b)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up10(2),2)C上.(2)过点(-2,3(的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),9)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(x),4)yM+yN2yM+yN2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(y),9)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),4)55EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up