05中考数学几何辅助线：巧作辅助线 妙证几何题

巧作辅助线妙证几何题作辅助线是证明平面几何题的重要手段．本文结合今年部分中考题，说明几种常见的作辅助线的方法．一、构造平行四边形例1如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝，BC＝4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为()(A) (B) (C) (D)2 分析如图1，延长AE交BC于F，根据角平分线的定义，可得∠BAF＝∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF＝∠AFB，然后求出∠BAF＝∠AFB．再根据等角对等边求出AB＝BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解延长AE交BC于F∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠DAF．∵AE∥CD，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF．∵AB＝，BC＝4，∴CF＝4－＝．∵AD//BC，AE//CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD＝CF＝，故选B．点评梯形中构造平行四边形是常用方法．二、构造相似三角形例2如图2，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP＋BP＝_______．分析延长BQ交射线EF于点M．根据三角形的中位线平行于第三边，可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM．根据等角对等边，可得BP＝PM，求出EP＋BP＝EM，再根据CQ＝CE求出EQ＝2CQ．然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解如图2，延长BQ交射线EF于点M．∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM．∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM．∴∠M＝∴PBM，∴BP＝PM，∴EP＋BP＝EP＋PM＝EM．∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ．由EF∥BC，得△MEQ∽△BCQ， ∴＝2．∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP＋BP＝12．故答案为12．点评延长BQ构造出相似三角形，求出EP＋BP＝EM，并得到相似三角形，是解题的关键，也是本题的难点．三、取中点，构造中位线例3某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示．其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是_______．①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；∠DAB＝∠DMB．数学思考在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向AABC的外侧作等腰直角三角形，如图4所示．M是BC的中点，连结MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．类比探索在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图5所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MED的形状．解操作发现答案：①②③④；数学思考答案：(1)MD＝ME，证明如下：如图6，分别取AB，AC的中点F，G，连结DF，MF，MG，EG．∵M是BC的中点，∴MF//AC，MF＝AC．又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，∴EG⊥AC，且FG＝AC，∴MF＝EG，同理可证DF＝MG．∵MF∥CG，∴∠MFA＋∠BAC＝180°．同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°，∴∠MFA＝∠MGA．又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°．同理可得∠DFA＝90°，∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA，即∠DFM＝∠MEG．又MF＝EG，DF＝MG，∴△DFM≌△MGE，∴MD＝ME．(2)MD⊥ME，证明如下：∵MG∥AB，∴∠MFA＋∠FMG＝180°．又∵△DFM≌△MGE．∴∠MEG＝∠MDF，∴∠MFA＋∠FMD＋∠DME＋∠MDF＝180°，其中∠MFA＋∠FMD＋∠MDF＝90°．∴∠DME＝90°，即MD⊥ME，类比探究答案：等腰直角三角形．点评本题取中点是解题关键，既构造了中位线，又可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质等．四、旋转变换例4如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由．(1)思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°'∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据_______，易证△AFG≌_______，得EF＝BE＋DF．(2)类比引申如图8，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_______时，仍有EF＝BE＋DF．(3)联想拓展如图9，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．解(1)SAS、△AFE；(2)互补；(3)BD2＋EC2＝DE2，理由如下：如图9，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF，连EF．由旋转性质知△ACF≌△ABD，∴CF＝BD，AF＝AD．又AE＝AE、∠DAE＝∠FAE．∴△ADE≌AAFE，∴EF＝DE