2023-2024学年天津市南开中学高一（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）A．ac＞bcBC．a2＞b2D．a﹣c＞b﹣c34分）若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的充要条件是A．b≥3B．2＜b≤3C．b＜2D．b≤22n54分）不等式+（x﹣2）≥6（其中x＞2）中等号成立的条件是()A．x＝3B．x=﹣3C．x＝5D．x=﹣564分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣a＜x≤a+4}，若B⊆（A∩B则a的取值范围为()A．{a|﹣2＜a<﹣1}B．{a|a<﹣2}C．{a|a≤﹣1}D．{a|a＞﹣2}74分）正实数a，b满足则2a+b的最小值为()84分）命题“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a＞5D．a≤594分）已知命题p：∀x＞0命题q：彐x∈R，x2+ax+1＝0，若命题p，q都是真命题，则实A．2≤a≤4C．a≤﹣2或2≤a≤4D．a≤﹣2104分）若方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1、x2，集合S＝{x|x＞x1}，T＝{x|x＞x2}，P＝{x|x＜x1}，Q={x|x＜x2}，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集为()AS∪T）∩（P∪Q）BS∩T）∩（P∩Q）CS∪T）∪（P∪Q）DS∩T）∪（P∩Q）二、填空题（每小题4分，共24分）114分）设a，b∈R，若集合，则a2﹣b=.124分）试用列举法表示集合：A＝{x|3x﹣1≤11，x∈N}=.134分）不等式的解集为.144分）已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为.154分）若两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，且不等式有解，则实数m的取值范围三、解答题（每小题12分，共36分）1712分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.（1）求A∪BCRA）∩BCRA）∩（CRB（2）若A∩C=∅,求实数a的取值范围.1812分）解关于x的不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＞0.1912分）已知a＞0，b＞0且a2+b2﹣ab＝1，记m为a+b的最大值，记n为ab的最大值.（2）若a≠0，且对任意x∈R，x+1≤ax2+bx+c≤x2﹣nx+m恒成立，求bc+3a的最大值.一、选择题（每小题4分，共40分）【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.故选：C.【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.A．ac＞bcBC．a2＞b2D．a﹣c＞b﹣c【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确.c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a=﹣1，b=﹣2，C不正确.故选：D.【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.34分）若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的充要条件是A．b≥3B．2＜b≤3C．b＜2D．b≤2【分析】利用两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，故选：D.【点评】此题考查了充分必要条件，考查了集合思想，属于基础题.2n【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2＞2n，故选：A.【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.54分）不等式+（x﹣2）≥6（其中x＞2）中等号成立的条件是()A．x＝3B．x=﹣3C．x＝5D．x=﹣5【分析】结合基本不等式应用的应用条件可得为＝x﹣2，解方程可求.【解答】解：由均值不等式知等号成立的条件为＝x﹣2，即x＝5（x=﹣1舍去）.故选：C.【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题.64分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣a＜x≤a+4}，若B⊆（A∩B则a的取值范围为()A．{a|﹣2＜a<﹣1}B．{a|a<﹣2}C．{a|a≤﹣1}D．{a|a＞﹣2}【分析】由B⊆（A∩B）可以得到B⊆A，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：∵已知B⊆（A∩B又因为A∩B⊆B，①当B=∅时，满足B⊆A，此时﹣a≥a+4，解得a≤﹣2；综上所述，a的取值范围为{x|a≤﹣1}.故选：C.【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题.74分）正实数a，b满足则2a+b的最小值为()【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解.【解答】解：因为正实数a，b满足则2a+b2a+b3+＝3+2，当且仅当b＝2a且，即ab＝2时取等号.故选：A.【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.84分）命题“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a＞5D．a≤5【分析】求出命题“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由x2﹣a≤0可得a≥x2，当x∈[1，2]时x2）max＝4，所以a≥4，所以命题“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，所以命题“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是C.故选：C.【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.94分）已知命题p：∀x＞0命题q：∃x∈R，x2+ax+1＝0，若命题p，q都是真命题，则实A．2≤a≤4C．a≤﹣2或2≤a≤4D．a≤﹣2【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由Δ≥0即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：∵命题p：为真命题，∴Δ=a2﹣4≥0，∴a≤﹣2或a≥2，∵命题p，q都是真命题，∴a≤﹣2或2≤a≤4.故选：C.【点评】本题主要考查全称量词命题和特称量词命题，属于基础题.104分）若方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1、x2，集合S＝{x|x＞x1}，T＝{x|x＞x2}，P＝{x|x＜x1}，Q={x|x＜x2}，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集为()AS∪T）∩（P∪Q）BS∩T）∩（P∩Q）CS∪T）∪（P∪Q）DS∩T）∪（P∩Q）【分析】根据一元二次不等式的解法可知不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合运算与解集比较可得结论.【解答】解：不妨设x1＞x2，因不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集在两根之外所以不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集为{x|x＜x2或x＞x1}而S∩T＝{x|x＞x1}，P∩Q＝{x|x＜x2}∴{x|x＜x2或x＞x1}S∩T）∪（P∩Q）故选：D.【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题.二、填空题（每小题4分，共24分）【分析】利用集合相等以及a≠0，可得a+b＝0，即，代入原式可得a，b的值，进而求出答案.【解答】解：由题意可知：a≠0，故答案为：0.【点评】本题考查集合相等相关概念，属于基础题.【分析】根据3x﹣1≤1及x∈N即可得出x的值，然后用列举法表示集合A即可.【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，元素与集合的关系，是基础题.134分）不等式的解集为.【分析】把分式不等式转化为二次不等式，可求.【解答】解：原不等式可转化为，解得﹣故答案为：.【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.144分）已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为4.【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即【解答】解：根据题意可得，,因a＞b＞0，所以a﹣b＞0，a+2b＞0，当且仅当时等号成立，故答案为：4.【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.【分析】由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，所以，当且仅当即x＝1，y＝4时，等号成立.因为有解，所以，即m2﹣m﹣2＞0，【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了由不等式有解求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题.164分）若函数f（xx2+（m﹣2）x+|x2m+2）x+2|的最小值为0，则m的取值范围为(﹣∞, 【分析】讨论m＝0，求得x＝1时，取得最小值0；去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当m＝0时，f（xx2﹣2x+|x2﹣2x+2|x﹣1）2﹣1+|（x﹣1）2+1|＝2（x﹣1）2，当x=1时，f（x）取得最小值0；当x＝1时，f（1）＝1+m﹣2+|1﹣m﹣2+2|＝m﹣1+|m﹣1|，当m≤1时，可得f（1）＝m﹣1+1﹣m＝0，当m＞1时，f（1）＝2（m﹣1）＞0；f（x）＝（x﹣1）2﹣1+mx+|（x﹣1）2+1﹣mx|，当（x﹣1）2≥mx﹣1时，f（x）＝2（x﹣1）2≥0，当x=1时，取得最小值0，此时m≤1；当（x﹣1）2＜mx﹣1时，f（x2（mx﹣1由题意可得2（mx﹣1）≥0恒成立.【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值的意义，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题（每小题12分，共36分）1712分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.（1）求A∪BCRA）∩BCRA）∩（CRB（2）若A∩C=∅,求实数a的取值范围.【分析】（1）结合集合的交集，并集及补集运算即可求解；（2）结合交集运算对C是否为空集进行分类讨论可求.【解答】解1）因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.所以A∪B＝{x|2＜x＜7}；（CRA）∩B＝{x|2＜x＜3}；（CRA）∩（CRB）＝CR（A∪B）＝{x|x≤2或x≥7}；（2）若A∩C=∅,当C=∅,则a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2，当C≠∅,则，解得a≥8或﹣2＜a≤1，【点评】本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题.1812分）解关于x的不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＞0.【分析】讨论m＝0、m＞0以及m＜0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可.【解答】解：当m＝0时，不等式化为﹣2x﹣2＞0，解得x<﹣1；当m＞0时，不等式化为（mx﹣2x+10，解得x<﹣1，或x当﹣2＜m＜0时，<﹣1，不等式化为（x﹣)（x+1）＜0，解得＜x<﹣1；当m=﹣2时，不等式化为（x+1）2＜0，此时无解；当m<﹣2时1，不等式化为（x﹣)（x+10，解得﹣1＜x<;综上，m＝0时，不等式的解集是{x|x<﹣1}；m＞0时，不等式的解集是{x|x<﹣1，或x＞}；﹣2＜m＜0时，不等式的解集是{x|＜x<﹣1}；m=﹣2时，不等式无解；m<﹣2时，不等式的解集是{x|﹣1＜x＜}.【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目.1912分）已知a＞0，b＞0且a2+b2﹣ab＝1，记m为a+b