新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略（学生版）

新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】 1【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 11【考点三新定义型二次函数——衍生抛物线】 19【考点四新定义型二次函数——旋转函数】 25【考点五新定义型二次函数——孔像抛物线】 29【考点六新定义型二次函数——反碟长抛物线】 34【考点七新定义型二次函数——月牙线抛物线】 41【考点八新定义型二次函数——系列平移抛物线】 46【典型例题】【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】例题：如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．【变式训练】1．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标；2．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（）②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（）③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（）(2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式；(3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长．3．如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线．(1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______；(2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；本号资料全部来源于微信公#众号：数学(3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______．【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】例题：．定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”．（1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式；（2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”；（3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围．【变式训练】1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③的“友好对称二次函数”为．④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．①若，且四边形为正方形，求m的值；②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．2．定义：若两条抛物线的对称轴相同，则称这两条抛物线为同轴抛物线．若抛物线与抛物线：为同轴抛物线，将抛物线上的部分与抛物线上的部分合起来记作图象G．（1）①_____（用含m的式子表示）；②若点在图象G上，求m的值；（2）若，当时，求图象G所对应的函数值y的取值范围；（3）正方形的中心为原点O，点A的坐标为，当图象G与正方形有3个交点时，求m的取值范围（直接写出结果）．【考点三新定义型二次函数——衍生抛物线】例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线．①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．【变式训练】1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（1）已知抛物线经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；（2）已知抛物线关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；（3）已知抛物线（a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数），直接写出AnAn+1的长_________（用含n的式子表示）．【考点四新定义型二次函数——旋转函数】例题：（2023·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．【变式训练】1．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试证明经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．【考点五新定义型二次函数——孔像抛物线】例题：二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．【变式训练】1．二次函数的图象交x轴于原点O及点A，感知特例．…A(___,___)………(1)当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为，，，，，如表：①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”．则此时点A的坐标为A（____,_____）探究问题(2)①求二次函数的“孔像抛物线”的解析式（含参数m）；本号资料全部来源于#：数学②当时，若抛物线L于它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，求x的取值范围．【考点六新定义型二次函数——反碟长抛物线】例题：定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；A．15；B．16；C．24；D．25③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．【变式训练】1．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=x2对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为；（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽有端点横坐标为2；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．【考点七新定义型二次函数——月牙线抛物线】例题：定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．本号资料全部来*源于微信*公众号：数学

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．

(1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”．本号资料*全部来源于：*数学(2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．①求的长和的值；②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离．【考点八新定义型二次函数——系列平移抛物线】例题：【特例感知】（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；