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中考各省压轴之面积类问题(10考点34题)
一.动点问题的函数图象(共1小题)1.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点B,D(F),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止,设点D、F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与x之间函数关系的图象是()A. B. C. D.二.一次函数综合题(共2小题)2.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),点C为线段AB的中点.(1)求点B的坐标;(2)点P为直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线,与直线OC交于点Q,设点P的横坐标为m,△OPQ的面积为S,求S与m的函数解析式;(3)当点P在直线AB上运动时,在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以O,B,P,N为顶点的四边形为矩形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:x=﹣2相交于点D,点A是直线l2上的动点,过点A作AB⊥l1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.设点A的纵坐标为t,△ABC的面积为s.(1)当t=2时,请直接写出点B的坐标;(2)s关于t的函数解析式为s=,其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值;(3)在l2上是否存在点A,使得△ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和△ABC的面积;若不存在,请说明理由.三.反比例函数综合题(共3小题)4.如图,点A是反比例函数在第二象限内图象上一点,点B是反比例函数在第一象限内图象上一点,直线AB与y轴交于点C,且AC=BC,连接OA、OB,则△AOB的面积是()A.2 B.2.5 C.3 D.3.55.如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(﹣2,0)、B(0,﹣4),反比例函数y=的图象经过顶点C,AD边交y轴于点E,若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍,则k的值等于.6.如图,在矩形OABC中,OA=4,OC=6,分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,D是边CB上的一个动点(不与C、B重合),反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E,连接DE.(1)连接OE,若△EOA的面积为3,则k=;(2)连接CA,DE与CA是否平行?请说明理由;本号资料全部#来源于:(3)是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.四.二次函数综合题(共19小题)7.如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点,D是抛物线的顶点,O为坐标原点.A、B两点的横坐标分别是方程x2﹣4x﹣12=0的两根,且cos∠DAB=.(1)求抛物线的函数解析式;(2)作AC⊥AD,AC交抛物线于点C,求点C的坐标及直线AC的函数解析式;(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,使△APC的面积最大?如果存在,请求出点P的坐标和△APC的最大面积;如果不存在,请说明理由.8.定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如,点(﹣1,﹣1)是函数y=2x+1的图象的“等值点”.(1)分别判断函数y=x+2,y=x2﹣x的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数(x>0),y=﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.当△ABC的面积为3时,求b的值;(3)若函数y=x2﹣2(x≥m)的图象记为W1,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2,当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,请直接写出m的取值范围.9.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,作MN∥x轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧),交抛物线的对称轴于点H,且PH=1,则称△PMN为该抛物线的顶端三角形.(1)求抛物线的顶端三角形的面积;(2)下列说法正确的有;(填序号)①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形;②当a<0时,若点P的纵坐标为k,则点H的纵坐标为k+1;③当a>0时,若点P的纵坐标为k,则点H的纵坐标为k+1.(3)抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为;(4)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶端△PMN面积为2,且点K(1,1)在△PMN的内部(含边界),求a的值及b、c的取值范围.10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其中A(﹣,0),tan∠ACO=.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D为直线BC上方抛物线上一点,连接AD、BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求的最大值;(3)如图2,将抛物线沿射线CB方向平移,点C平移至C′处,且OC′=OC,动点M在平移后抛物线的对称轴上,当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时,请直接写出点M的坐标.11.二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B(﹣3,0),交y轴于点C(0,﹣3).(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,点E为抛物线的顶点,点T(0,t)为y轴负半轴上的一点,将抛物线绕点T旋转180°,得到新的抛物线,其中B,E旋转后的对应点分别记为B',E',当四边形BEB'E'的面积为12时,求t的值;(3)如图2,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D.点M是直线CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点P.是否存在点M使△PBC为直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.本号资料全部来源于微信公众#号:12.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<3),过点E作直线ME⊥x轴,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)当m=1时,点D是直线ME上的点且在第一象限内,若△ACD是以CA为斜边的直角三角形,求点D的坐标;(3)如图2,连接BC,BC与ME交于点F,连接AF,△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2,当S1=4S2时,求点E坐标.13.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.①求S关于m的函数表达式;②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(﹣1,0),C(3,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动,动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动,过点E作GE⊥OC,交CB于点F,交抛物线y=ax2+bx+3于点G,连接BG,DF,点D,E从点O同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒(t≥0),在运动过程中,若四边形BDFG为正方形,求t的值;(3)将(2)中的正方形BDFG沿y轴翻折180°,得到正方形BDF′G′,然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移,设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S,平移的距离为m(0≤m≤3),请直接写出S与m之间的函数关系式.本号资#料全#部来源于:数学15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0),C(﹣1,0)与y轴交于点B,已知tan∠BAC=.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点P为抛物线上的点,且点P的横坐标为3,F是抛物线上异于点P的点,连接PA,PB,当S△PAB=S△FAB,求点F的横坐标;(3)如图2,点Q为直线AB上方抛物线上一点,OQ交AB于点D,QE∥BO交AB于点E.记△QDE,△QDB,△BDO的面积分别为S1,S2,S3.求的最大值.16.已知:m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为本号资料全部来源于微信#公众号:数学(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.17.如图,y=﹣x2+mx+3(m>0)与y轴交于点C,与x轴的正半轴交于点K,过点C作CB∥x轴交抛物线于另一点B,点D在x轴的负半轴上,连接BD交y轴于点A,若AB=2AD.(1)用含m的代数式表示BC的长;(2)当m=2时,判断点D是否落在抛物线上,并说明理由;(3)过点B作BE∥y轴交x轴于点F,延长BF至E,使得EF=BC,连接DE交y轴于点G,连接AE交x轴于点M,若△DOG的面积与△MFE的面积相等,求m的值.18.已知直线y=3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B.(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形.①求点D的坐标;②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x﹣3交于点E,若tan∠DPE=,求四边形BDEP的面积.19.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为;(2)如图1,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;本号资料全部来*源于微*信公众号:数学(4)如图3,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标.20.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+b经过点A(,),点B(,﹣),与y轴交于点C.(1)求a,b的值;(2)如图1,点D在该抛物线上,点D的横坐标为﹣2.过点D向y轴作垂线,垂足为点E.点P为y轴负半轴上的一个动点,连接DP,设点P的纵坐标为t,△DEP的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,连接OA,点F在OA上,过点F向y轴作垂线,垂足为点H,连接DF交y轴于点G,点G为DF的中点,过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连接CN,PB,延长PB交AN于点M,点R在PM上,连接RN,若3CP=5GE,∠PMN+∠PDE=2∠CNR,求直线RN的解析式.21.定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如,点(1,1)是函数y=x+的图象的“等值点”.(1)分别判断函数y=x+2,y=x2﹣x的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数y=(x>0),y=﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.当△ABC的面积为3时,求b的值;(3)若函数y=x2﹣2(x≥m)的图象记为W1,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2.当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出m的取值范围.22.如图1,我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知A,B,C,D分别为“果圆”与坐标轴的交点,y=x﹣3与“果圆”中的抛物线y=2+bx+c交于B,C两点.(1)求“果圆”中的抛物线的解析式,并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长.(2)“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB?如果存在请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)如图2,E为直线BC下方“果圆”上一点,连接AE,AB,BE,设AE与BC交于F,△BEF的面积记为S△BEF,△ABF的面积记为S△ABF,求的最小值.23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式;(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.25.锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)(1)△ABC中边BC上高AD=;(2)当x=时,PQ恰好落在边BC上(如图1);(3)当PQ在△ABC外部时(如图2),求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?五.矩形的性质(共1小题)26.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12 D.16六.四边形综合题(共3小题)27.在矩形ABCD中,点E是射线BC上一动点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点G.交直线CD于点F.(1)当矩形ABCD是正方形时,以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH,连接EH.①如图1,若点E在线段BC上,则线段AE与EH之间的数量关系是,位置关系是;②如图2,若点E在线段BC的延长线上,①中的结论还成立吗?如果成立,请给予证明:如果不成立,请说明理由;(2)如图3,若点E在线段BC上,以BE和BF为邻边作▱BEHF,M是BH中点,连接GM,AB=6,BC=4.①则△ECH面积的最大值是多少?②直接写出GM的最小值是.28.如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.29.如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s).△APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出.(1)求点Q运动的速度;(2)求图2中线段FG的函数关系式;(3)问:是否存在这样的t,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.七.扇形面积的计算(共1小题)30.已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1).①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长;(2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上.八.轴对称-最短路线问题(共1小题)31.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点
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