中考各省压轴之三角形的存在性问题（10考点25题）（老师版）

中考各省压轴之三角形的存在性问题（10考点25题）

一．一次函数综合题（共1小题）1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．（1）求m，n的值；（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；（3）直接写出使函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．（4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m＝2，n＝6；（2）点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6）；（3）x＞2；（4）点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．∴4＝2m，∴m＝2．又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．∴4＝﹣2+n，∴n＝6．（2）一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，∴令y＝0，则0＝﹣x+6∴x＝6，∴点B坐标为（6，0），令x＝0，则y＝6，∴点C坐标为（0，6）；（3）由图象可知：x＞2；（4）∵点A（2，4），∴AB＝＝4，当AB＝BP＝4时，则点P（6+4，0）或（6﹣4，0）；当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0），∵AB＝AP，AE⊥BO，∴PE＝BE＝4，∴点P（﹣2，0）；当PA＝PB时，∴∠PBA＝∠PAB＝45°，∴∠APB＝90°，∴点P（2，0），综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）2．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）反比例函数的解析式为，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2；（2）点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．【解答】解：（1）由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得，k＝1×2＝2，所以反比例函数的解析式为．由函数图象可知，在直线x＝0和x＝1之间的部分及直线x＝2右侧的部分，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方，即y1＞y2．所以x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2．（2）将x＝2代入反比例函数解析式得，y＝1，所以点C的坐标为（2，1）．则OC＝．当OC＝OM时，OM＝，所以点M坐标为（0，）或（0，﹣）．当CM＝CO时，点C在OM的垂直平分线上，又因为点C坐标为（2，1），所以点M坐标为（0，2）．当MO＝MC时，点M在OC的垂直平分线上，过点C作CN⊥y轴于点N，令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1，在Rt△CMN中，CN2+MN2＝MC2，即22+（m﹣1）2＝m2，解得m＝．所以点M的坐标为（0，）．综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．三．二次函数综合题（共10小题）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x﹣1；抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）存在，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）．【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，解得k＝1，∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）存在点M，∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，∴D（3，2），①当∠DAM＝90°时，设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，得﹣1+c＝0，解得c＝1，∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组，得或，∴点M的坐标为（4，﹣3）；②当∠ADM＝90°时，设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，得﹣3+d＝2，解得d＝5，∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，解方程组，解得或，∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，∵PB＝2，∴，∵，∴，又∵∠PBF＝∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴，即PF＝PA，∴PC+PA＝PC+PF≥CF，∴当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，∴CF＝，∴PC+PA的最小值为．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）四边形OCPQ为平行四边形，理由见解答；（3）点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，此时点Q的坐标为（2，﹣2）；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四边形OCPQ为平行四边形；（3）∵D是OC的中点，则点D（0，2），由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x+r，将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点E的坐标为（5，4），设点F的坐标为（0，m），由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．5．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）；（2）；（3）存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，此时x无实数根；综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．（1）填空：m＝3，a＝﹣1，c＝﹣3；（2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；（3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，﹣1，﹣3；（2）n的值为；（3）点P的坐标是（，）或（，）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）或（0，﹣3）或（5，﹣8）（，）或（，）．【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c得，，解得，∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x﹣3，y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝3或1，∴B（3，0），∴m＝3，故答案为：3，﹣1，﹣3；（2）连接PC，∵C（0，﹣3），CD∥x轴交抛物线于点D，∴点D的纵坐标为﹣3，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝0或4，∴D（4，﹣3），∵点P的横坐标为n，∴P（n，﹣n2+4n﹣3），∴S四边形OCDP＝S△COP+S△PCD，＝×3n+×4（﹣n2+4n﹣3+3）＝﹣2n2+n，＝﹣2（n﹣）2+，∵﹣2＜0，∴当n＝时，S四边形OCDP有最大值，∴n的值为；（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点Q的横坐标为2，分三种情况：①当P为直角顶点时，PQ＝PD，如图2，过P作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，∴∠PMQ＝∠DNP＝90°，∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°，∴∠MPQ+∠PQM＝∠MPQ+∠DPN＝90°，∴∠PQM＝∠DPN，∴△PQM≌△DPN（AAS），∴QM＝PN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，∴PN＝QM＝|2﹣n|，∴3﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3，解得n＝或或∴点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；②当D为直角顶点时，DQ＝PD，如图3，过D作MN∥y轴，过P作PM⊥MN于M，过Q作QN⊥MN于N，同理△PDM≌△DQN（AAS），∴DM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，∴DM＝QN＝4﹣2＝2，∴3﹣2＝n2﹣4n+3，解得n＝2+或2﹣，∴点P的坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；如图5，同理△PDM≌△DQN（AAS），∴PM＝DN，DM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，∴DM＝QN＝4﹣2＝2，∴2＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝2+或2﹣，∴点P的坐标为（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）；③当Q为直角顶点时，DQ＝PQ，如图4，过P作PM⊥l于M，过D作DN⊥l于N，同理△PQM≌△QDN（AAS），∴QM＝DN，PM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，∴DN＝QM＝4﹣2＝2，PM＝QN＝|2﹣n|，∴MN＝QM﹣QN＝2﹣|2﹣n|，∴2﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝0或5或3，∴点P的坐标为（0，﹣3）或（5，﹣8）或（3，0）；综上所述，点P的坐标是（，）或（，）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）或（0，﹣3）或（5，﹣8）或（3，0）．7．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．（1）求抛物线的解析式和b值；（2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，点A在x的负半轴上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G，则G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中点，∴H（﹣，0），∴点P的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8，∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，∵直线EF的解析式为y＝﹣x，设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2②，联立①②化简得，x2+x﹣2﹣m＝0，∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，∴m＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，在Rt△OP'M中，OP'＝＝，∴PH最大＝．（3）①当∠CMB＝90°时，如图2，∴BM是⊙O的切线，∵⊙C半径为1，B（1，0），∴BM2∥y轴，∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），∴BM2＝2，∵BM1与BM2是⊙C的切线，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD＝，∴BD＝，∴DM1＝过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝，∴OQ＝+＝，∴M1（﹣，﹣），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC＝＝2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m＝，∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，∴M3（﹣，﹣2），而点M4与M3关于点C对称，∴M4（，﹣﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），则PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠DBA，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③当DN＝DM时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）最大值为，此时P（，﹣）；（3）存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设P（0＜m＜4），则，∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，﹣）；（3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，∴n＝6，∴M1（1，6），∴直线BM1解析式为y＝﹣2x+8，∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2），∴直线AM2解析式为y＝﹣2x﹣2，∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，∴M2（1，﹣4），综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．11．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣4），本号#资料全部来源#于：数学∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）△ABD是直角三角形，理由：∵B（﹣2，m）在y＝x2﹣x﹣4，∴B（﹣2，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝x，由，解得（即点B）或，∴D（8，4），∵A（4，﹣4），∴AB＝＝3，AD＝＝4，BD＝＝5，∴BD2＝AB2+AD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是直角三角形．（3）结论AG＝BD．理由：如图1中，连接AG，交EF于H．∵四边形AEGF是矩形，∴AH＝HG，EH＝FH，∵EF∥BD，∴＝＝1，∴AE＝BE，∴E（1，﹣），∵＝＝，EH＝FH，∴BG＝GD，∵∠BAD＝90°，∴AG＝BD．（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK．∵E（1，﹣），F（6，0），∴K（，﹣），EF＝＝，∵∠EPF＝90°，∴点P在以EF为直径的⊙K上运动，∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°，∴∠QHP＝45°，∵抛物线的顶点H（2，﹣5），∴直线PH的解析式为y＝x﹣7，∵PK＝EF，∴（x﹣）2+（y+）2＝（）2，（y+7﹣）2+（y+）2＝（）2，解得y＝﹣4或﹣，∴Q（2，﹣4）或（2，﹣）．12．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB＝﹣1，∴kBE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得kBE•kAE＝﹣1，即，，，（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；（3）∵y1≤y2，∴﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，则Q（﹣），S1＝QM•|yF﹣yA|＝设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝PN•|xA﹣xB|＝2﹣S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．四．等腰三角形的判定（共1小题）13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆时针方向）．（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①由∠BAC＝90°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝45°．由∠BAD+∠ADB＝135°，∠ADB+∠EDC＝135°得到∠BAD＝∠EDC．推出△ABD∽△DCE．②分三种情况：（ⅰ）当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°时，得到∠DAE＝90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE＝AC＝2．（ⅱ）当AD＝DE时，由①知△ABD∽△DCE，又AD＝DE，知△ABD≌△DCE．所以AB＝CD＝2，故BD＝CE＝2，所以AE＝AC﹣CE＝4﹣2．（ⅲ）当AE＝DE时，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．所以DE＝AE＝AC＝1．（2）①存在（只有一种情况）．由∠ACB＝45°推出∠CAD+∠ADC＝45°．由∠ADE＝45°推出∠DAC+∠DE′A＝45°．从而推出∠ADC＝∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．本号资料全部来源于微信公众#号：数学所以，又AD＝DE′，所以DC＝AC＝2．②不存在．因为D和B不重合，所以∠AED＜45°，∠ADE＝45°，∠DAE＞90度．所以AD≠AE，同理可得：AE≠DE．五．三角形综合题（共2小题）14．如图1，B、D分别是x轴和y轴的正半轴上的点，AD∥x轴，AB∥y轴（AD＞AB），点P从C点出发，以3cm/s的速度沿C﹣D﹣A﹣B匀速运动，运动到B点时终止；点Q从B点出发，以2cm/s的速度，沿B﹣C﹣D匀速运动，运动到D点时终止．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（s），△PCQ的面积为S（cm2），S与t之间的函数关系由图2中的曲线段OE，线段EF、FG表示．（1）求A、D点的坐标；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）是否存在这样的时间t，使得△PCQ为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设AD＝BC＝a，由图象可知CD＝AB＝3，点Q到达点C时，点P到达点A，∴＝，∴a＝6，∴点A坐标（6，3），点D坐标（0，3）．（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，∴S＝•OQ•6＝3OQ＝3（2t﹣6）＝6t﹣18（3≤t≤4.5）．（3）①Q在BC上，P在CD上时，由CP＝CQ得6﹣2t＝3t，解得t＝（不合题意舍弃，＞1），②Q在BC上，P在AD上时，由CP＝CQ得6﹣2t＝，整理得5t2+6t﹣18＝0，t＝或（舍弃）．由PQ＝CQ，如图1中，作PK⊥OB于K，则DP＝OK＝3t﹣3，KQ＝6﹣2t﹣（3t﹣3）＝9﹣5t，∴PQ＝＝∴＝6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18＝0，Δ＜0，无解．当PC＝PQ．如图2中，作PK⊥OB于K，则OK＝KQ＝DP，∴OQ＝2DP，∴6﹣2t＝2（3t﹣3），解得t＝，③Q在CD上，P在AB上时，由CP＝PQ，如图3中，作PK⊥OD于K，则KQ＝OK＝PB，∴2PB＝OQ，∴2（12﹣3t）＝2t﹣6，解得t＝，综上所述t＝s或s或s时，△PCQ为等腰三角形是等腰三角形．15．如图1，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为acm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）．连接PQ，设P的运动的时间为t（单位：s）．设CQ＝y，运动时间为（s），y与t的函数关系如图②所示，解答下列问题：（1）a的值2；当t＝时，PQ∥BC；（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某一时刻使得△AQP为等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，连接BQ、CP交于点E，求当∠CPQ＝∠CBQ时，t的值．【答案】（1）2，．（2）t＝时，S有最大值，最大值为．（3）t的值为或或．（4）t的值为．【解答】解：（1）由题意y＝CQ＝8﹣at，当t＝2时，y＝4，∴4＝8﹣2a，∴a＝2，当PQ∥BC时，∵AP：AB＝AQ：AC，∴＝，∴t＝，故答案为：2，．（2）如图1中，过点P作PH⊥AC于H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠C＝90°，∴∠AHP＝∠C＝90°，∴PH∥BC，∴＝，∴＝，∴PH＝（10﹣2t），∴S＝×2t×（10﹣2t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，0＜t≤4，∴t＝时，S有最大值，最大值为．（3）如图4﹣1中，当AQ＝PQ时，过点Q作QT⊥AP于T．∵QA＝QP，QT⊥AP，∴AT＝PT，∵cosA＝＝∴＝，∴t＝．当AP＝AQ时，10﹣2t＝2t，∴t＝，如图4﹣2中，当PA＝PQ时，过点P作PJ⊥AQ于J，则AJ＝JQ．由cosA＝＝，可得＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或．（4）如图3中，∵∠CPQ＝∠CBQ，∠PEQ＝∠BEC，∴△PEQ∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠PEB＝∠QEC，∴△PEB∽△QEC，∴∠EPB＝∠CQE，∵∠CBQ+∠CQB＝90°，∴∠BPQ＝∠CPQ+∠BPE＝90°，∴cosA＝＝，∴＝，∴t＝，当∠CPQ＝∠CBQ时，t的值为．六．四边形综合题（共2小题）16．如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．（1）求线段AE的长；（2）求证四边形DGFC为菱形；（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．本号资料全部来源于：#数学【答案】（1）AE＝3；（2）证明过程详见解答；（3）DN＝或2．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，∴BF＝6，∴AF＝AB﹣BF＝4，设AE＝x，则EF＝DE＝8﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2﹣AE2＝AF2，∴（8﹣x）2﹣x2＝42，∴x＝3，∴AE＝3；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△AGE∽△DCE，∴，由（1）得：AE＝3，∴DE＝8﹣3＝5，∴，∴AG＝6，∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，∴FG＝CD，∴四边形DGFC是平行四边形，∵CD＝CF，∴▱DGFC是菱形；（3）解：∵四边形FGDC是菱形，∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC＝，DG＝CD＝10，本号资料全部来源于微信公众#号：数学在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，∴tan∠FGC＝，CG＝＝＝8，∴sin∠FCG＝＝，如图1，当∠MDN＝90°时，在Rt△GDM中，DM＝DG•tan∠DGM＝10•tan∠FGC＝10×＝5，在Rt△DMN中，DN＝DM•tan∠DMN，∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，∴DN＝DM•tan∠FGC＝5×＝，如图2，当∠MND＝90°时，∠DMN+∠GDM＝90°，∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，∴∠DGM+∠GDM＝90°，本号资料全部来源于：数学第六*感∴∠DMG＝90°，∴DM＝DG•sin∠DGM＝10×＝2，在Rt△DMN中，DN＝DM•sin∠DMN＝DM•sin∠FGC＝2×＝2，综上所述：DN＝或2．17．如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1中，本号资料全部来#源于：数学∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．∴t＝PB＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时，本号资料#全部*来源于：数学在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB′中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABP′为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2或6或2．（2）如图3﹣1中，∵∠PAM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB′＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠PAB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B′AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠PAB＝∠PAB′＝90°﹣x，∴∠DAB′＝∠PAB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB′＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．七．切线的性质（共1小题）18．已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点G的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1所示，连接AC，则AC＝，在Rt△AOC中，AC＝，OA＝1，则OC＝2，∴点C的坐标为（0，2）；设切线BC的解析式为y＝kx+b，它过点C（0，2），B（﹣4，0），则有，解之得；∴．（4分）（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH＝a，GH＝c＝a+2，（5分）连接AP，AG；因为AC＝AP，AG＝AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），所以∠AGC＝×120°＝60°，*本号资料全部来源于#：数学在Rt△ACG中，∠AGC＝60°，AC＝，∴sin60°＝，∴AG＝；（6分）在Rt△AGH中，AH＝OH﹣OA＝a﹣1，GH＝a+2，∵AH2+GH2＝AG2，∴（a﹣1）2+＝，解之得：a1＝，a2＝﹣（舍去）；（7分）∴点G的坐标为（，+2）．（8分）（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）要使△AEF为直角三角形，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF＝90°；当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，在Rt△AEF中，AE＝AF＝，则EF＝，AM＝EF＝；在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，则BC＝2，∵∠BOC＝∠BMA＝90°，∠OBC＝∠OBM，∴△BOC∽△BMA，∴＝，∴AB＝，∴OA＝OB﹣AB＝4﹣，∴点A的坐标为（﹣4+，0）；（11分）当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：△A′M′B≌△AMB，A′B＝AB＝，∴OA′＝OB+A′B＝4+，∴点A′的坐标为（﹣4﹣，0）；综上所述，点A的坐标为（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）．（13分）八．圆的综合题（共1小题）19．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；（2）过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），则CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l1与⊙Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m＝3；故点Q的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．九．几何变换综合题（共2小题）20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．（2）已知点G为AF的中点．①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∵CD＝CF，∴AD＝CF，∵∠ADC＝∠DCF＝90°，∴AD∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴OD＝OC，∵BD＝2OD．（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，∵DT⊥BC，∴BT＝TC＝7，∵EC＝2，∴TE＝5，∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，∴∠TDE＝∠FEH，∵ED＝EF，∴△DTE≌△EHF（AAS），∴FH＝ET＝5，∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∴∠DBF＝90°，∵∠DBE＝45°，∴∠FBH＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠HBF＝∠HFB＝45°，∴BH＝FH＝5，∴BF＝5，∵∠ADC＝∠ABF＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝．②解：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．∵AD＝6BD，∴BD＝AB＝2，∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，∴DT＝BT＝2，∵△DTE≌△EHF，∴EH＝DT＝2，∴BH＝FH＝12﹣x，∵FH∥AC，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣12x+28＝0，解得x＝6±2．如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．设EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，∴∠DGO＝∠HDE，∴△EHD∽△DOG，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣36x+268＝0，解得x＝18﹣2或18+2（舍弃），如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DT⊥BC于T，FH⊥BC于H，EK⊥CG于K．设EC＝x．∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴D，B，F，E四点共圆，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∵∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵AO＝OB，AG＝GF，∴OG∥BF，∴∠AOG＝∠ABF＝90°，∴OG⊥AB，∵OG垂直平分线段AB，∵CA＝CB，∴O，G，C共线，由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，由△OGD∽△KEG，可得＝，本号资*料全部来源于：数学∴＝，解得x＝2，，综上所述，满足条件的EC的值为6±2或18﹣2或2．21．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2cm，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2÷1＝2s；③当6＜t＜10s时，不存在直角三角形．④如图，当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14cm，∴t＝14÷1＝14s，综上所述：当t＝2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．一十．相似形综合题（共4小题）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10．∵CD⊥AB，∴S△ABC＝BC•AC＝AB•CD．∴CD＝＝＝4.8．∴线段CD的长为4.8；（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP＝t，CQ＝t．则CP＝4.8﹣t．∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°．∴∠CHP＝∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴＝．∴＝．∴PH＝﹣t．∴S△CPQ＝CQ•PH＝t（﹣t）＝﹣t2+t；②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100．∵S△ABC＝×6×8＝24，且S△CPQ：S△ABC＝9：100，∴（﹣t2+t）：24＝9：100．整理得：5t2﹣24t+27＝0．即（5t﹣9）（t﹣3）＝0．解得：t＝或t＝3．∵0≤t≤4.8，∴当t＝秒或t＝3秒时，S△CPQ：S△ABC＝9：100；（3）存在①若CQ＝CP，如图1，则t＝4.8﹣t．解得：t＝2.4．…（7分）②若PQ＝PC，如图2所示．∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝QC＝．∵△CHP∽△BCA．∴＝．∴＝．解得；t＝．③若QC＝QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．同理可得：t＝．综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC＝＝5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，∴＝＝，即＝＝，∴y＝﹣x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴＝＝，即＝＝，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝，∴当x＝时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，（i）当QE＝PE时，5﹣x＝﹣x+3，解得：x＝；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣x，解得：x＝；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：FE＝QE＝（5﹣x）＝，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝＝，∵cos∠AEP＝＝＝，解得：x＝；当点