高中数学 第一章立体几何初步综合测试A 新人教B版必修2

【成才之路】-学年高中数学第一章立体几何初步综合测试A新人教B版必修2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(·广西南宁高一期末测试)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是()A．A∈l，l⊄α B．A∈l，l∉αC．A⊂l，l∉α D．A⊂l，l⊄α[答案]A[解析]点在直线上用“∈”表示，直线在平面外用“⊄”表示，故选A.2．(·河北邢台一中高一月考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交[答案]C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l平行的直线．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是()[答案]A[解析]因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必为矩形．4．(·湖南永州市东安天成实验中学高一月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cmA．4cm3 B．8cm3C.eq\f(112,72)cm3 D．3eq\r(3)cm3[答案]D[解析]设正方体的棱长为acm，则3a2＝9，∴a＝eq\r(3).则正方体的体积V＝(eq\r(3))3＝3eq\r(3)(cm3)．5．(·山东菏泽高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．2π B．4πC．π D．8π[答案]C[解析]由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半，其体积V＝eq\f(1,2)×π×12×2＝π.6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2) D.eq\f(4π,3)[答案]A[解析]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，球的直径应等于正方体的棱长，故球的半径为R＝eq\f(1,2)，∴球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\f(1,2))3＝eq\f(π,6).7．设α表示平面，a、b、l表示直线，给出下列命题，①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥l,b⊥l,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α,b⊂α,a⊥b))⇒a⊥α；④直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.其中正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①错，缺a与b相交的条件；②错，在a∥α，a⊥b条件下，b⊂α，b∥α，b与α斜交，b⊥α都有可能；③错，只有当b是平面α内任意一条直线时，才能得出a⊥α，对于特定直线b⊂α，错误；④错，l只要与α内一条直线m垂直，则平面内与m平行的所有直线就都与l垂直，又l垂直于平面内的一条直线是得不出l⊥α的．8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()[答案]B[解析](可用排除法)由正视图可把A，C排除，而由左视图把D排除，故选B.9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是13，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．13 B．1(eq\r(3)－1)C．19D.eq\r(3)2[答案]B[解析]如图由题意可知，⊙O1与⊙O2面积之比为13，∴半径O1A1与OA之比为1eq\r(3)，∴eq\f(PA1,PA)＝eq\f(1,\r(3))，∴eq\f(PA1,AA1)＝eq\f(1,\r(3)－1).10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F，则以下结论中错误的是()A．四边形BFD′E一定是平行四边形B．四边形BFD′E有可能是正方形C．四边形BFD′E有可能是菱形D．四边形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案]B[解析]平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线BF∥D′E，同理BE∥D′F，故A正确．特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时，BE＝ED′＝BF＝FD′，则四边形为菱形，其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD，∴选B.11．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点HA．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部[答案]B[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1＝B))⇒AC⊥平面ABC1)),,,AC⊂平面ABC))⇒平面ABC1⊥平面ABC，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC1∩平面ABC＝AB,C1H⊥平面ABC))⇒H在AB上．12．如图1，在透明密封的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内已灌进一些水，固定容器底面一边BC①有水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不会改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当点E、F分别在棱BA、BB1上移动时(如图2)，BE·BF是定值．其中正确命题的序号是()A．①②③ B．①③④C．③④ D．①②[答案]B[解析]由于BC固定于水平地面上，∴由左右两个侧面BEF∥CGH，可知①正确；又∵A1D1∥BC∥FG∥EH，∴③正确；水的总量保持不变，总体积V＝eq\f(1,2)BE·BF·BC，∵BC一定，∴BE·BF为定值，故④正确；水面四边形随着倾斜程度不同，面积随时发生变化，∴②错．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．用斜二测画法，画得正方形的直观图面积为18eq\r(2)，则原正方形的面积为________．[答案]72[解析]由S直＝eq\f(\r(2),4)S原，得S原＝2eq\r(2)S直＝2eq\r(2)×18eq\r(2)＝72.14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．[答案]312[解析]设球半径为a，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa2·2a，eq\f(1,3)πa2·2a，eq\f(4,3)πa3.所以体积之比2πa3eq\f(2,3)πa3eq\f(4,3)πa3＝2eq\f(2,3)eq\f(4,3)＝312.15．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件其构成真命题(其中l、m为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,l∥m,))⇒l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))⇒l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))⇒l∥α.[答案]l⊄α[解析]①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”，即“l⊄α”．它同样适合②③，故填l⊄α.16．一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.[答案]eq\f(\r(15),3)π[解析]据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r，则2πr＝eq\f(π,2)·4⇒r＝1(cm)，故圆锥的高为h＝eq\r(42－1)＝eq\r(15)(cm)，故其体积V＝eq\f(1,3)π·12eq\r(15)＝eq\f(\r(15)π,3)(cm3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析]圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x和3x，截得圆台的圆锥顶点为S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又轴截面积为S＝eq\f(1,2)(2x＋6x)·2x＝392，∴x＝7，∴高OO1＝14，母线长l＝eq\r(2)OO1＝14eq\r(2)，∴圆台高为14cm，母线长为14eq\r(2)cm，两底半径分别为7cm18．(本题满分12分)(·陕西汉中市南联中学高一期末测试)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1(1)求四棱锥E－ABCD的体积；(2)求证：B1D1⊥AE；(3)求证：AC∥平面B1DE.[解析](1)VE－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).(2)∵BD⊥AC，BD⊥CE，CE∩AC＝C，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE1，又∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥AE.(3)如图，取BB1的中点F，连接AF、CF、EF.则EF綊AD，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF∥DE.又CF∥B1E，AF∩CF＝F，DE∩B1E＝E，∴平面AFC∥平面B1DE，∴AC∥平面B1DE.19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD.[解析](1)如图，设AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．△PAC中，EO是中位线．∴PA∥EO，而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.由PD＝DC知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC①又由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE⊂面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.20．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC(1)求证：MN∥平面BCD1A1(2)求证：MN⊥C1D；(3)求VD－MNC1.[解析](1)连接A1C，在△AA1C中，M、N分别是AA1、∴MN∥A1C又∵MN⊄平面BCA1D1且A1C⊂平面BCD1A∴MN∥平面BCD1A1(2)∵BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C∴BC⊥C1D.又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C∴C1D⊥平面BCD1A1又∵A1C⊂平面BCD1A1，∴C1D⊥A又∵MN∥A1C，∴MN⊥C1D(3)∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥又∵DN⊥AC，∴DN⊥平面ACC1A1∴DN⊥平面MNC1.∵DC＝2，∴DN＝CN＝eq\r(2)，∴NCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)＋CN2＝6，MN2＝MA2＋AN2＝1＋2＝3，MCeq\o\al(2,1)＝A1Ceq\o\al(2,1)＋MAeq\o\al(2,1)＝8＋1＝9，∴MCeq\o\al(2,1)＝MN2＋NCeq\o\al(2,1)，∴∠MNC1＝90°，∴S△MNC1＝eq\f(1,2)MN·NC1＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\f(3\r(2),2)，∴VD－MNC1＝eq\f(1,3)·DN·S△MNC1＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·eq\f(3\r(2),2)＝1.21．(本题满分12分)(·山东文，18)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E、F分别为线段AD、PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.[解析](1)证明：如图所示，连接AC交BE于点O，连接OF.∵E为AD中点，BC＝eq\f(1,2)AD，AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，又F为PC中点，∴OF∥AP.又OF⊂面BEF，AP⊄面BEF，∴AP∥面BEF.(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．∴BE⊥AC.由题意知BC綊eq\f(1,2)AD＝ED，∴四边形BCDE为平行四边形．∴BE∥CD.又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD.∴AP⊥BE.又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥面PAC.22．(本题满分14分)(·广东文，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面AB