2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编-轴对称（含答案解析）

第1页（共1页）2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——轴对称参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022秋•西城区期末）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022秋•平谷区期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（）A．绿色食品 B．循环回收 C．节能 D．节水【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：下四个标志中，是轴对称图形的是绿色食品标志，故选：A．【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．3．（2022秋•怀柔区期末）下列图标是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（2022秋•密云区期末）《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称解答即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（2022秋•东城区期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．6．（2022秋•门头沟区期末）下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、两个全等三角形组合是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案、轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置．7．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（﹣1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，6） D．（﹣6，1）（﹣6，1）【分析】根据平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行求解即可．【解答】解：点M（1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（﹣1，﹣6）．故选：A．【点评】本题考查关于x，y轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规律是解题关键．8．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．【解答】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，∴点C在第三象限，∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9．（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．10．（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．11．（2022秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（）A．∠DEF＝2x﹣3α B．∠DEF＝2α C．∠DEF＝2α﹣x D．∠DEF＝180°﹣3α【分析】由等腰三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可求∠PAB，∠DEP，由平角定义即可求出∠DEF．【解答】解：∵EC＝EP，∴∠ECP＝∠EPC＝x，∴∠CEP＝180°﹣2x，∵∠APC＝∠B+∠PAB，∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，∴∠PAB＝x﹣α，∵ED＝EA，∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣α，∴∠DEP＝∠EAD+∠EDA＝2x﹣2α，∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2α）＝2α．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．12．（2022秋•密云区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A，B，C三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形．【解答】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD是等腰三角形，②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形，交AB于点F'，△BCF'是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形，此情形点H与点I重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．综上所述，最多有4个等腰三角形．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．13．（2022秋•平谷区期末）如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等边三角形的性质易证△ABE≌△DBC，可判断①选项；根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判断④选项；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，进一步可得BF平分∠AFC，可判断②选项；在AE上截取AI＝DF，连接BI，易证△ABI≌△DBF（SAS），再证明△BFI是等边三角形，得FI＝BF，进一步可判断③选项．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正确；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，如图所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD•BG＝AE•BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴点B在∠AFC的平分线上，∴BF平分∠AFC，故②正确；在AE上截取AI＝DF，连接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等边三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正确，故选：D．【点评】本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等积法，添加合适的辅助线是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．14．（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，∴S△ADC＝S△AD′C．∵点D′为AB的中点，∴AD′＝D′B．∵等底同高的两个三角形的面积相等，∴S△AD′C＝S△BCD′，∴，∴．∴．故选：B．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．二．填空题（共11小题）15．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，3）．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【解答】解：A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．16．（2022秋•密云区期末）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为9．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．则第三边应是9．故答案为：9．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．17．（2022秋•平谷区期末）命题“等边对等角”是命题（填“真”或“假”），它的逆命题是真．【分析】先写出其逆命题，再判定即可．【解答】解：“等边对等角”的逆命题是”等角对等边“，在同一个三角形内成立，故是真命题．【点评】要根据逆命题的定义，写出逆命题，结合三角形的性质来判断命题的真假．18．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，且∠DAC＝100°，则∠C＝50°．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性质可得∠DAC＝∠B+∠C＝100°，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，∴∠B＝∠C＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19．（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是54°．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于点D求得∠ADB的度数，利用三角形的内角和求得∠ADB的度数即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∵点E为AB的中点，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，故答案为：54°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．20．（2022秋•门头沟区期末）等腰三角形的一个内角的度数是40°，则其余两个内角的度数是70°，70°或40°，100°．【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为40°时；当等腰三角形的一个底角为40°时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的顶角为40°时，∴等腰三角形的两个底角＝×（180°﹣40°）＝70°；当等腰三角形的一个底角为40°时，则另一个底角也是40°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×40°＝100°；综上所述：等腰三角形的其余两个内角的度数为70°，70°或40°，100°，故答案为：70°，70°或40°，100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．21．（2022秋•密云区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为4cm2．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，∴AP＝PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，∴．故答案为：4．【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．22．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为（0，2）．【分析】根据对称性，作出点A关于y轴的对称点A'，连接BA'与y轴交于点P，根据两点之间线段最短即可得结论．【解答】解：如图所示，作出点A关于点y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，此时PA+PB＝P′A+PB＝A′B，根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．23．（2022秋•平谷区期末）等腰三角形的一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．【解答】解：分两种情况：当80°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣80°×2＝20°；当80°的角是顶角时，则顶角为80°．故答案为：20°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．24．（2022秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：①AF＝BF②∠AFD+∠FBC＝90°③DF⊥AB④∠BAF＝∠CAF所有正确结论的序号是：①②③．【分析】由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，∴FA＝FB，DF⊥AB，故①，③正确，∴∠AFD＝∠BFD，∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，∴∠AFD+∠FBC＝90°，故②正确，由作图不能得到④，故答案为：①②③．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．25．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接MF，BF，CE．（1）图中与MF相等的线段是CE；（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝95°．【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解．【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，∴AC＝MC，∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，∴AD∥CM，∠MCB＝90°，∴∠MCA＝∠CAD＝40°，∵CF＝AE，∴△CMF≌△ACE（SAS），∴MF＝CE，故答案为：CE；（2）∵MF＝CE，∴BF+CE＝BF+MF，∴当MF和BF共线时，和最小，如图，此时MB与AC交于点F′，∵MC＝BC，∠BCM＝90°，∴∠CMB＝45°，∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，故答案为：95．【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键．三．解答题（共19小题）26．（2022秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的长．【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；（2）利用角平分线的性质先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．【解答】（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．27．（2022秋•平谷区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．小明发现，延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，构造△BDH，通过证明△BDH与△ACD全等，△BEH为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．【分析】延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，可证明△BDH≌△CDA（SAS），则BH＝AC，∠CAD＝∠H，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠H＝∠BEH，即可得出AC＝BE．【解答】证明：延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（SAS），∴BH＝AC，∠CAD＝∠H，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEH＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEH，∴∠H＝∠BEH，∴BH＝BE，∴AC＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．（2022秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）求AE的长．【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，设AE＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理可得x2﹣32＝（4﹣x）2，再解即可．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，又∵42+32＝52，即AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）证明：连接BE．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝EB，设AE＝x，则EC＝4﹣x．∴x2﹣32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的长是．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．29．（2022秋•东城区期末）课堂上，老师提出问题：如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．步骤2作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．步骤3证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且点P在∠MON的平分线上（填写条件），∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）．∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填写理由）．∴点P为所求作的点．【分析】利用角平分线的性质，可得出PF＝PG，利用线段垂直平分线的性质，可得出PA＝PB，进而可得出点P为所求作的点．【解答】证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且点P在∠MON的平分线上，∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．故答案为：点P在∠MON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．30．（2022秋•怀柔区期末）已知：如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，D为边AC上一点，△ABD是等边三角形，且AC＝DE．求证：△ABC≌△DBE．【分析】根据等边三角形的性质可以得到AB＝DB，再根据∠ABC＝∠DBE＝90°，可知△ABC和△DBE均为直角三角形，然后根据HL即可证明结论成立．【解答】证明：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△ABC和△DBE均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．【点评】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．（2022秋•密云区期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：DE＝DC；（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根据角平分线的性质得到DE＝DC；（2）判定△EBC是等边三角形，即可求出周长．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°∴BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴，∵DE是AB边的垂直平分线，∴，∴BC＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴△EBC的周长为9．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．32．（2022秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．（1）求证：△BEC是等腰三角形；（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC＝∠C，进而得出EB＝EC，即可得出结论；（2）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再证明△AFD≅△ACD，根据全等三角形的性质得出AF＝AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD＝AC．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝40°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：AB+BD＝AC，证明：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，∴∠F＝∠BDF，∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，∴2∠F＝80°，∴∠F＝40°，∵∠C＝40°，∴∠F＝∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△AFD≅△ACD（ASA），∴AF＝AC，∴AB+BF＝AC，即：AB+BD＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．33．（2022秋•平谷区期末）用直尺和圆规作一个45°的角．作法：①作直线l，在直线l上任取一点O；②以O为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于MN两点；③分别以M，N为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的上方交于点P，作直线OP；④作∠PON的角平分线OA；所以∠AON即为所求作的45°角．（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PM，PN，∵PM＝PN，∴点P在线段MN的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．∵OM＝ON，∴点O在线段MN的垂直平分线上．∴直线OP是线段MN的垂直平分线．∴OP⊥MN．∴∠PON＝90°．∵OA平分∠PON，∴．【分析】（1）根据作法作图即可；（2）由垂直平分线的判定可得答案．【解答】解：（1）如图：∠AON即为所求；（2）证明：连接PM，PN，∵PM＝PN，∴点P在线段MN的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．∵OM＝ON，∴点O在线段MN的垂直平分线上．∴直线OP是线段MN的垂直平分线．∴OP⊥MN．∴∠PON＝90°．∵OA平分∠PON，∴．、故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作角平分线的方法．34．（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求证：AC⊥AB；（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CBA＝∠ACB＝45°，然后利用三角形内角和定理求出∠CAB＝90°，即可解答；（2）过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC＝AD＝CD＝8，从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC＝60°，从而利用平角定义可得∠DAE＝30°，最后在Rt△DEA中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE＝4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，由题意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面积为16．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．35．（2022秋•顺义区期末）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使其经过点P．作法：如图，①任取一点Q，使点Q与点P在直线l两侧；②以P为圆心，PQ长为半径作弧交直线l于A，B两点；③分别以A，B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l下方交于点C；④作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．根据晓东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，AC，BC，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．∵CA＝CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上．∴直线PC为线段AB的垂直平分线．即PC⊥l．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点P、点C都在线段AB的垂直平分线上，则PC垂直平分AB，所以PC⊥l．【解答】（1）解：如图，PC为所作；（2）证明：连接PA，PB，AC，BC．如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵CA＝CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上．∴PC垂直平分AB，∴PC⊥l．故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；CA＝CB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．36．（2022秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．（1）求点A到BC的距离；（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1），即可求点A到BC的距离；（2）根据题意即可补全图形，进而求△ABE的面积即可；（3）根据题意可得点P与点E重合，此时∠BPC＝90°，进而可以写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．∴点A到BC的距离为5；（2）如图即为补全的图形，∵△ABE的面积＝△ABC的面积﹣△BEC的面积＝8×5﹣8×4＝4；（3）由（2）可知：位于x轴上方的点P与点E重合，因为DE＝DC＝DB＝4，所以△BDE和△CDE是等腰直角三角形，所以此时∠BEC＝∠BPC＝90°，所以点P的坐标为（﹣1，5）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形面积，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．37．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜90°），AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AC于E，交AD于点F，作∠ABE的角平分线AD于M，交AC于N．（1）①补全图形1；②求∠CBE的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠α＝45°，猜想AF与BM的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，证出∠ADB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；（2）连接MC，证出∠MBC＝45°，证明△AEF≌△BEC（ASA），由全等三角形的性质得出AF＝BC，证出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出BC＝BM，则可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形如下：②∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CBE＝∠DAC＝α；（2）BM．证明：连接MC，∵∠BAC＝45°，∠AEB＝90°，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∴AE＝EB，∵BN平分∠ABE，∴∠NBE＝∠ABE＝22.5°，∵∠DAC＝∠BAC＝22.5°，∴∠EBC＝∠DAC＝∠NBE＝22.5°，∴∠MBC＝45°，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BM＝MC，∵∠MBC＝45°，∴△BMC是等腰直角三角形，∴BC＝BM，∴AF＝BM．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段中垂线的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．38．（2022秋•东城区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；（2）求∠BEC的度数．【分析】（1）根据尺规作图法即可作∠MCA的平分线；（2）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝20°，∠MCE＝∠DCE＝70°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，CE即为所求；（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝20°，∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE＝∠DCE＝70°，∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．39．（2022秋•怀柔区期末）请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题．已知：如图△ABC．求作：△ABC边AB上的高CD．小怀设计的尺规作图过程如下：作法：①以点A为圆心，AC长为半径作弧；②以点B为圆心，BC长为半径作弧，两孤交于点E；③连接CE，交AB于点D．所以线段CD就是所求作的高线．（1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）；（2）分别连接AE，BE，再将该作图证明过程补充完整：由①可得：AC＝AE．∴点A在线段CE的垂直平分线上．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（填推理的依据）由②可得：BC＝BE∴点B在线段CE的垂直平分线上∴AB垂直平分线段CE．∴CD⊥AB即CD是△ABC边AB上的高线．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）由①可得：AC＝AE．∴点A在线段CE的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），由②可得：BC＝BE，∴点B在线段CE的垂直平分线上，∴AB垂直平分线段CE．∴CD⊥AB即CD是△ABC边AB上的高线．故答案为：AC，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，BE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．40．（2022秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．（1）求证：△ABD≌△ECD；（2）若AD＝1，求AC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出DB＝DC，根据等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C，然后证明△ABD≌△ECD（AAS）即可；（2）结合（1）利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠A＝90°，∵∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠C，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS）；（2）解：∵AD＝1，∴BD＝2AD＝2，∴CD＝BD＝2，∴AC＝AD+CD＝1+2＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键．41．（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）依题意补全图形；（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，进而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出结论；（3）如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，先判断出△BEF是等边三角形，得出BF＝BE，∠EBF＝60°，再判断出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；（3）EA＝EB+EC，证明：如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，∴∠ACD+∠CAE＝120°，∴∠AEC＝60°，由折叠知，∠AEB＝∠AEC＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∠EBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，由（2）知，∠BAP＝∠BCE，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE，∴EA＝EF+AF＝EB+CE．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．42．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．（1）作图与探究：①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝36°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：小明的证明：在△ABE与△DAC中，，可得△ABE≌△DAC．（ASA）请你判断小明的证明是否正确并说明理由；（2）证明与拓展：①借助小明画出的图2证明BE＝DE；②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量关系并加以证明．【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，证明△ABC≌△ABE（ASA），即可的结论成立；②小明证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；（2）①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；②根据题意即可补全图形；过点B作BG⊥EF于点G，如图4，证明△ABE≌△CAF（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠DAC＝36°，∴∠ABE＝∠ABC