3.1.2第2课时　直线与椭圆的位置关系 练习册答案

第2课时直线与椭圆的位置关系1.A[解析]直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为129+124=1336<1,所以点(1,1)在椭圆内部,2.C[解析]由y=kx+2,x23+y22=1,消去y得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3.D[解析]设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1),(x2,y2),由x216+y24=1,x+2y-4=0,得y2-2y=0,∴y1+y2=2,∴x4.C[解析]由题可得,竞技场的总面积为π×1882×1562=7332π(平方米),表演区的面积为π×862×542=1161π(平方米),故观众区的面积为7332π-1161π=6171π(平方米),故观众区每个座位所占面积为6171π90000=6171×3.145.B[解析]因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n2>2,所以m2+n2<4,则m29+n24≤m24+n24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)6.C[解析]由题可得,a2=16,b2=8,则a=4,b=22,令x=2,得2216+y28=1,可得|y|=6>1,所以M在椭圆内.当直线l的斜率不存在,即直线l:x=2时,A(2,6),B(2,-6)或A(2,-6),B(2,6),M不是线段AB的中点,所以直线l的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y128=1,x2216+y228=1,两式相减并化简得-816=y1+y2x1+x2·7.A[解析]由已知得c=1,F1(-1,0),F2(1,0),由14+y23=1,得y=±32,∴A1,32.设直线AB的方程为y-32=k(x-1),由y-32=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-12,∴直线AB的方程为y-32=-12(x-1),即y=-12x+2.易得直线BF8.AC[解析]根据题意,因为焦点在y轴上,所以m2-2=4,则m2=6,故选项A正确;椭圆C的离心率e=ca=26=63,故选项B不正确;不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则x122+y126=1,x222+y226=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)2=-(y1+y2)(y1-y2)6,变形得y1-y2x1-x2=-3×x1+x2y1+y2,又点P12,12为线段MN的中点,所以x1+x2y1+y2=x1+x22y1+y22=xPyP=129.ABC[解析]对于A,由a1=2a2,c1=a2+c2>2c2,得a1+c1>2(a2+c2),所以选项A正确;对于B,由a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,得a1-c1=a2-c2,所以选项B正确;对于C,由a1=2a2,c1=a2+c2,得c1a1=a2+c22a2=1+c2a22,即e1=e2+12,所以选项C正确;对于D,根据选项C知,2e1=e2+1>2e2,所以e10.3[解析]根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,因为窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.因为三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,所以当x=1时,y=±32,所以最短竖直窗棂的长度为311.6105[解析]方法一:由直线l的方程与椭圆的方程可知,直线l与椭圆相离.设直线m平行于直线l且与椭圆相切,则直线m的方程可设为x+2y+k=0.由x+2y+k=0,x2+4y2=4,消去y,得2x2+2kx+k2-4=0,令Δ=0,得4k2-4×2×(k2-4)=0,解得k=22或k=-22,易知当k=22时,直线m与椭圆的切点到直线l的距离最远,此时直线m的方程为x+2y+22=0,直线m方法二:设椭圆E:x24+y2=1上的点P(2cosθ,sinθ)(0≤θ<2π),则点P到直线l:x+2y-42=0的距离d=|2cos21052-sinθ+π4,显然当θ+π4=3π2,即θ=5π4时,dmax=6105,所以椭圆E:x2+4y2=12.-32,0[解析]设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,由已知得F(-c,0),A(0,b),设B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心为F,所以x1+x2+0=-3c,y1+y2+b=0,所以x1+x2=-3c,y1+y2=-b.由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,得(x13.解:(1)由题意得2b=2c=2,得b=c=1,则a2=b2+c2=2,所以M的方程为y22+x2=(2)由y=2x+m,2x2+y2=2,得4x2+22mx+m2-2=0,因为l与M没有公共点,所以Δ=(22m)2-4×4(m2-2)即m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).14.解:(1)依题意设椭圆方程为x2a2+y2因为椭圆过点P1,32,所以1a2又|PF1|+|PF2|=4,所以a=2,代入上式可得b2=3,所以椭圆的方程为x24+y2(2)假设存在满足题意的直线l,设M(x1,y1),N(x2,y2)将点M,N的坐标代入椭圆方程得,x124+y123=1,x224+所以(x1-x又x1+x2=2,y1+y2=1,可得直线l的斜率为y1-y2x1-x2=-32,所以直线l的方程为y-12=-32又因为点1,12在椭圆内部,所以该直线与椭圆有两个交点,符合题意.故存在满足题意的直线l,且直线l的方程为3x+2y-415.ABC[解析]对于A,椭圆C:x25+y24=1的蒙日圆的半径为5+4=3,其方程为x2+y2=9,所以A正确;对于B,由题意可知正方形G是圆x2+y2=9的内接正方形,设正方形G的边长为n,可得n2+n2=(2×3)2,可得n=32,即正方形G的边长为32,所以B正确;对于C,若圆(x-4)2+(y-m)2=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则圆(x-4)2+(y-m)2=4与圆x2+y2=9有且仅有一个公共点,即这两个圆外切或内切,于是(0-4)2+(0-m)2=|3+2|或(0-4)2+(0-m)2=|3-2|,解得m=±3,所以C正确;对于D,过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,当∠MPN为直角时,点P在椭圆C的蒙日圆上,即为直线l:x+2y-3=0与圆x2+y2=9的交点,由x+2y16.解:(1)以AB所在直线为y轴,OD所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设椭圆的方程为x2a2+y2由题意可知,b=2,e=ca=5又a2=b2+c2,∴a=5,c=1,∴椭圆的方程为x25+y2易知xG=2,由225+yM24=1,解得yM=255或∴S△PMN=12×1×455(2)由题意可知E(0,3),kEF=-1tan∠OEF=-12,∴直线EF的方程为x+2y-6=0.设平行于直线EF且与椭圆相切的直线为l:x+2y+m=0(m≠-6)