高中数学人教A版选修2-1测评模块复习课第2课时圆锥曲线的概念标准方程与简单几何性质

模块复习课第2课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.已知椭圆x29+y2n2=1(n>0)与双曲线x24-y2m2=1(m>A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分 D.圆的一部分解析∵椭圆x29+y2n2=1与双曲线x24-y2m2=1有相同的焦点,∴9n2=4+m2,答案D2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1A.x24-y212=C.x23-y29=解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a答案C3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),MA=4MB,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为()A.2 B.2C.4 D.4解析∵A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),∴直线AB的方程为y=43(x1),与y2=ax联立可得y234aya=∴y1+y2=34a,①y1y2=a,②∵MA=4MB,∴y1=4y2.③由①②③可得a=4.故选D.答案D4.如果过点M(2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是(A.-∞,-2C.-12,解析设过点M(2,0)的直线l的方程为y=k(x+2),联立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)∵过点M(2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,∴Δ=64k44(2k2+1)(8k22)整理得k2≤12解得22≤k≤2∴直线l的斜率k的取值范围是-2故选D.答案D5.已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直A.22,3C.32,1解析设P(m,n),由题意知m∴e2m2=b2,又0<|m|<a,∴0<m2≤a2,即b2e2≤a2,解得22≤e<1答案D6.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|12≤λ≤2,A.0,22C.23,5解析设F1(c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a.①由∠F1PF2=π2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2即为(λ2+1)t2=4c2.②由②÷①2,可得e2=λ2令m=λ+1,可得λ=m1,即有λ2+1(λ由12≤λ≤2,可得32≤m≤3,即则当m=2时,取得最小值12当m=32或m=3时,取得最大值5即有12≤e2≤59,解得22≤e故选B.答案B7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±bax的距离为|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因为a2=c2b2=c234c答案28.抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的点的坐标是.

解析∵抛物线方程为y2=8x,可得2p=8,p2=∴抛物线的焦点为F(2,0),准线为x=2.设抛物线上点P(m,n),到焦点F的距离等于6,根据抛物线的定义,得点P到F的距离等于P到准线的距离,即|PF|=m+2=6,解得m=4,∴n2=8m=32,可得n=±42,因此,点P的坐标为(4,±42).答案(4,±42)9.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F解析如图,由F1A=AB,得又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由F1B·F2B=0,得F1B⊥F2B.则OA⊥F1A,故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.则ba=tan60°=3所以e=ca=1+答案210.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点为F1(3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为267,求直线l解(1)因为椭圆C的焦点为F1(3,0),F2(3,0),可设椭圆C的方程为x2a2+y又点3,12在椭圆所以3a2因此,椭圆C的方程为x24+y2=因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02所以直线l的方程为y=x0y0(xx0)即y=x0y0由x24+y(4x02+y02)x224x0x+364y0因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(24x0)24(4x02+y02)(364y02因为x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.因此,点P的坐标为(2,1).②因为三角形OAB的面积为26所以12AB·OP=267,从而设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y0因为x02所以AB2=16(x02-2)(x0解得x02=52(x02=20舍去综上,直线l的方程为y=5x+32.能力提升1.已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线相交于M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=2∶5,则a=()A.2 B.4 C.6 D.8解析依题意点F的坐标为a4,0,设M由抛物线的定义知|MF|=|MK|,∴|FM|∶|MN|=2∶5,则|KN|∶|KM|=1∶2,kFN=0-1a4-0=4∴4a=2,求得a=2.故选A答案A2.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则A.324 B.322 C.22解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,∵|PO|=|PF|,∴xP=62又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上∴yP=22∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6答案A3.设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴x02解得x0=3或x0=3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).答案(3,15)4.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆解析根据题意可画出下图,其中BD和AC为双曲线的渐近线,ABF2CDF1是正六边形.由题意可知∠BOF2=π3,故双曲线的渐近线BD的方程为y=nmx=3x,故双曲线的离心率e1=m2设AB=x,由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2答案3125.已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为154(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.解(1)由题设可得25-m25=154所以C的方程为x225+(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=1yQ(所以|BP|=yP1+yQ2,因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(5,0)到直线P1Q1的距离为102,故△AP1Q1的面积为|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故△AP2Q2综上,△APQ的面积为526.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为22,且一个焦点坐标为(2,0)(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上,O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为x2a2+∴ca=22,c∴椭圆M的方程为x24+(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立y=kx+m,x2+2y2=4,化为(1+2k2)x2+4kmx+2m24=0,Δ=16k2m24(1+2k2)(2m24)设A(x1,