2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式单元测试卷一课一练含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1其次章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a<b<0,则下列不等式成立的是()。A.1a>1b B.|a|<|C.ab<1 D.a2<b答案：A解析：若a<b<0,不妨设a=-2,b=-1代入各个选项,错误的是B,C,D,故选A。2.若a<b<0,c>d>0,则肯定有()。A.ad>bc B.aC.ad<bc D.a答案：C解析：因为c>d>0,所以0<1c<1d,又因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以-ad>-bc。所以ad3.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有(A.最大值64 B.最小值1C.最小值12 D.最小值答案：D解析：因为x>0,y>0,且2x+8y=1,所以1=2x+8y≥22x·8y=814.设集合A={x|(x+4)(x-4)>0},B={x|-2<x≤6},则A∩B等于()。A.(-2,4) B.(-4,-2)C.(-4,6) D.(4,6]答案：D解析：因为A={x|(x+4)(x-4)>0}={x|x>4或x<-4},则A∩B=(4,6],故选D。5.若a,b∈R*,则下列结论:①2aba+b≤a+b2;②ab≤a+b2;③a2+b22<A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：①a>0,b>0,∴a+b≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,∴2aba+b≤a+b2,所以①正确;②a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴ab≤a+b2,所以②正确;③∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴a+b2≤a2+b22,所以③错误;④ba+ab-a6.关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞),关于x的不等式(ax+b)(x-3)<0解集是()。A.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-2,3)C.(2,3) D.(-∞,2)∪(3,+∞)答案：A解析：∵关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞),∴a<0,且ba=2,则b=2a,∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)<0,可化为(ax+2a)(x-3)<0,∵a<0,即(x+2)(x-3)>0,解得x>3或x<-2,∴所求不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞)。故选A7.“ab<a2+b22”是“a>b>0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,∴ab<a2+b22⇒a≠b,a,b∈R,∴充分性不成立,又a>b>0⇒a2+b2>2ab,8.不等式x2+2x<ab+16ba对随意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是(A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-∞,-4)∪(2,+∞) D.(-4,2)答案：D解析：对随意a,b∈(0,+∞),ab+16ba≥216=8。∴ab+16ba的最小值为8,因此x29.甲、乙两人同时从家去学校且同时到达学校,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步,若两人步行,跑步的速度一样,则家离学校较近的是()。A.甲 B.乙C.远近一样 D.无法确定答案：A解析：设步行的速度为v1,跑步的速度为v2,甲家离学校的距离为s1,乙家离学校的距离为s2,甲乙所用时间均为t,则s12v1+s12v即s1=2v1v2tv所以s1s2=2因为v1≠v2,∴4v1v2<(v1+v2)2,所以s1s2<1,即s1<s10.若1a<1b<0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2;⑤a2>b2其中正确的不等式个数是A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：∵1a<1b<0,∴b<a<0,∴③错误;a+b<0,ab>0,∴①正确;∵b<a<0,∴|a|<|b|,a2<b2,∴②⑤错误;∵a+b<0,∴(a-b)2=a2+b2-2ab>0,∴a2+b2>2ab,∴b2+a2ab>2,ba+ab=11.若两个正实数x,y满意1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值范围是(A.(-1,4) B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)答案：C解析：1x+4yx+y4=2+y4x+4xy≥2+2y4x·4xy=4(当且仅当y=4x时取等号),则x+y4≥4,则不等式x+y4<m12.已知随意非零实数x,y满意3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的最小值为()。A.4 B.5 C.115 D.答案：A解析：依题意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]≤4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立)。因此有3x2+4xyx2+y2≤4,当且仅当x=2y时等号成立,即3x2+4xyx2+y2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上)13.有下列不等式:①已知a>0,b>0,则(a+b)1a+②a2+b2+3>2a+2b;③已知m>0,则ba<b④3+7<25。其中恒成立的是。(把全部成立不等式的序号都填上)

答案：①②④14.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x-2<x<-14,答案：-13解析：因为不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2<x<14,所以-2与-14是ax2+bx-2=0的两个根,所以-15.已知a>0,b>0,且满意a+b=3,则1a+4b的最小值为答案：3解析：1a+4b=131a+4b(a+b)=135+4ab+16.当x>0时,x+ax+1(a>0)的最小值为3,则实数a的值为答案：4解析：因为当x>0时,x+ax+1=x+1+ax+1-1≥2a-1,x+ax+1(a>0)的最小值为3,所以2a-1=3,三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题10分)解不等式0<x2-x-2<4。答案：解:原不等式等价于x2-x-2<x<-1或2<x<3,所以原不等式的解集为{x|-2<x<-1或2<x<3}。18.(本题12分)设全集U=R,集合A={x|x2-4x-12<0},B={x|(x-a)(x-2a)<0}。(1)当a=1时,求集合A∩∁UB;答案：当a=1时,B=(1,2),所以∁UB=(-∞,1]∪[2,+∞),而A=(-2,6),故A∩∁UB=(-2,1]∪[2,6)。(2)B⊆A,求实数a的取值范围。答案：当a=0时,B=⌀,符合题意;当a≠0时,因为B⊆A,所以-2≤a≤6,-2≤2a≤6解得-1≤a≤3且a≠19.(本题12分)做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸盒。(1)若用x表示长方体底面一边的长,S表示长方体的表面积,试写出S关于x的函数关系式;答案：由题意知,该长方形的底面积为322=16(m2),故它的底面另一边长为16x∴S=22x+2×16x+2×16=4x+64(2)当x取什么值时,做一个这样的长方体纸盒用纸最少?最少用纸多少m2?答案：要运用纸最少,只需使长方体的表面积最小即可,也就是求S的最小值。∵S=4x+64x+32≥24x·64x+32=64,当且仅当4x=64x,即x=4时等号成立,此时Smin=64。故当x取4时,20.(本题12分)已知命题p:“方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根”,且命题p是真命题。(1)求实数m的取值集合M;答案：命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根为真命题,∴Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2。∴M={m|m<-2或m>2}。(2)设不等式(x-a)(x-a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的充分条件,求a的取值范围。答案：因为x∈N是x∈M的充分条件,所以N⊆M,又N={x|a<x<a+2},∴a+2≤-2,a≥2。综上,a≤-4或a≥2。21.(本题12分)某学校校办工厂有毁坏的房屋一座,留有一面14m的旧墙,现打算利用这面墙的一段为一面墙,建立平面图形为矩形且面积为126m2的厂房(不管墙高),工程的造价是:(1)修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%;(2)用拆去1m旧墙所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%。问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低?答案：解:设保留旧墙xm,且拆去旧墙(14-x)m修新墙,设建1m新墙费用为a元,则修旧墙的费用y1=25%·ax=14ax(元);拆除旧墙建新墙的费用为y2=(14-x)·50%a=12a(14-x)(建新墙的费用为y3=x+2×126x-(14-x)于是,所需的总费用为y=y1+y2+y3=74x+252x-7当且仅当74x=252x,即x=12时“故保留12m的旧墙且折去2m的旧墙修新墙能使建墙的时总费用最低。22.(本题12分)a>0,b>0且1a+1b=(1)求证:a4+b4≥8;答案：证明:a>