2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-10.2-事件的相互独立性-作业

四十二事件的相互独立性【根底全面练】(25分钟50分)一、选择题(每题5分，共20分)1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，那么A1和A2是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立的事件【解析】选D.因为P(A1)＝eq\f(3,5)，假设A1发生了，P(A2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)；假设A1不发生，P(A2)＝eq\f(3,4)，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．【加固训练】(多项选择题)以下事件中，A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面〞，B＝“第二次为反面〞B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球〞，B＝“第二次摸到白球〞C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数〞，B＝“出现点数为3或4”D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数〞，B＝“出现点数为偶数〞【解析】选AC.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1，3，5点，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，事件AB为出现3点，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件．2．某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮时机，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，那么其中一名同学得2分的概率为()A．0.5B．0.48C【解析】选B.设事件A＝“第一次投进球〞，B＝“第二次投进球〞，那么得2分的概率P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4＝0.48.3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．假设两队每局获胜的概率相同，那么甲队获得冠军的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】选A.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).4.一个电路如下图，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，那么灯亮的概率是()A．eq\f(1,64)B．eq\f(55,64)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,16)【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F中至少有一个不闭合的事件为R，那么P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝eq\f(55,64).二、填空题(每题5分，共10分)5．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，那么三处都不停车的概率为________．【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在这个道路上匀速行驶，那么三处都不停车的概率为eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)6．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，那么预估做对第二道题的概率是________．【解析】设“做对第一道题〞为事件A，“做对第二道题〞为事件B，那么P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.三、解答题(每题10分，共20分)7．一个家庭中有假设干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个根本领件，由等可能性知概率都为eq\f(1,4).这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个根本领件的概率均为eq\f(1,8)，这时A中含有6个根本领件，B中含有4个根本领件，AB中含有3个根本领件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，显然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．8．某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求以下事件的概率：(1)第3次拨号才接通；(2)拨号不超过3次而接通．【解析】设Ai＝{第i次拨号接通}，i＝1，2，3.(1)第3次才接通可表示为eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，于是所求概率为P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,10)；(2)拨号不超过3次而接通可表示为A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，由于事件A1，eq\x\to(A)1A2，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3两两互斥，于是所求概率为P(A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＋eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(3,10).【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每题5分，共10分)1.某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如下图)，假设该电路为通路的概率为eq\f(65,81)，那么p＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】选B.因为该电路为通路的概率为eq\f(65,81)，所以该电路为不通路的概率为1－eq\f(65,81)，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－eq\f(65,81)＝(1－p)4，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去).2．(多项选择题)某商场推出二次开奖活动，凡购置一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，那么两次抽奖中()【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码〞为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码〞为事件B，那么“两次抽奖都抽到某一指定号码〞就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.0025.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码〞的概率P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.95×0.95＝0.9025；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码〞可以用(Aeq\x\to(B))U(eq\x\to(A)B)表示．由于事件Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码〞可用(AB)U(Aeq\x\to(B))U(eq\x\to(A)B)表示．由于事件AB，Aeq\x\to(B)和eq\x\to(A)B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.0025＋0.095＝0.0975.二、填空题(每题5分，共10分)3．同学甲参加某科普知识竞赛，需答复三个问题，竞赛规那么规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，那么同学甲得分不低于300分的概率是________．【解析】设“同学甲答对第i个题〞为事件Ai(i＝1，2，3)，那么P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.4．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，那么P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________．【解析】因为P(ABeq\x\to(C))＝P(AB)P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,6)P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，所以P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,4)，即P(C)＝eq\f(1,4).又P(eq\x\to(B)C)＝P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2).又P(AB)＝eq\f(1,6)，那么P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,3)三、解答题(每题10分，共20分)5．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用假设干试验组进行比照试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，假设在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为eq\f(2,3)，服用B有效的概率为eq\f(1,2).(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．【解析】(1)设Aii表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只〞，i＝0，1，2.据题意有：P(A0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(A1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(B0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B1)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝