2022新教材苏教版高中数学必修第二册第12章复数 课时练习题及章末综合检测含答案解析

第12章复数

12.1复数的概念................................................................1

12.2复数的运算................................................................4

12.3复数的几何意义............................................................7

12.4*复数的三角形式........................................................11

第12章测评...................................................................14

12.1复数的概念

1.若复数2-bi（b£R）的实部与虚部互为相反数，则6的值为（）

22

A.2B.-C.--D.-2

33

S］A

丽|复数2-bi的实部为2,虚部为也由题意知2=-（4）,所以b=2.

2.若复数z=/n2-l+（/n2-/??-2）i为实数，则实数m的值为（）

A.-1B.2

C.lD.-1或2

制D

|解析|因为复数2=病-1+（/_6-2）［为实数，所以m2.m_2=0,解得m=-\或m=2.

3.（2021天津高一下）若复数z=（n2-\）+（n-l）i为纯虚数,则实数n的值为（）

A.-1B.0

C.lD.-1或1

嬴A

|解析［由复数z=（n2-l）+（H-l）i为纯虚数，可得:#「（）°'所以•故选A.

4.（多选）己知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）

A.若存0,则d\是纯虚数

B,虚部为的虚数有无数个

C•实数集是复数集的真子集

D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

客第BCD

|解析|对于A,若a=i,则出与2=-1,不是纯虚数，故A错误;对于B,虚部为-a的虚数可以表

示为陆鱼i(m£R),有无数个，故B正确;根据复数的分类，判断C正确;两个复数相等一定

能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成

立，故D正确.

5.设〃力仁R,i是虚数单位，则、力=0”是“复数a-b\为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B,必要不充分条件

C,充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

瓯B

丽|“加?=0”则67=0或Z?=0,“复数a-b\为纯虚数”则«=0且屏0,那么“"二0”是“复数a-bi

为纯虚数”的必要不充分条件.

6.若(x-2y)i=2x+l+3i,则实数x,y的值分别为.

1

X+=O=-

所2

以=7

-

4

2

7.若复数z=m+(m-\)i是负实数,则实数m的值为.

答案|-1

|解析|依题意可知nv-\=0且机＜0,因此m=~\.

8.已知关于实数羽y的方程组：

(2x-l)+i=y-(3-y)i,①

(2%4-ay)-(4x-y+b)i=9-8i②

有实数解,求实数ah

网由①式,根据复数相等的充要条件有｛；=＞；；)

_5

解得(*)

y=4.

将(*)代入②式，得5+4a-(6+Z?)i=9・8i,且a,b£R,所以有解得a=\,b=2.

9.以3i-&的虚部为实部，以3i2+V2i的实部为虚部的复数是()

A.3-3iB.3+i

C.-V2+V2iD.A/2+V2i

fgA

解析|3i-夜的虚部为3,3i2+V2i=-3+V2i的实部为.3,故选A.

10.(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是()

A.若£C,则x+yi=l+i的充要关件是x=y=l

B.(q2+i)i(a£R)是纯虚数

C若比4-z：=O,则zi=Z2=0

D.当w=4时，复数1g(加2-2加7)+(阳2+5〃z+6)i是纯虚数

I答案|BD

|解析|取x=i,y=-i,则x+yi=l+i,但不满足x=y=l,故A错误”4£&a2+1>0恒成立,所以

(d2+l)i是纯虚数，故B正确;取zi=i,Z2=l,^>]zi+z/=O,但zi=Z2=0不成立，故C错误;当

/n=4时，复数lg(/n2-2/«-7)+(/n2+5m+6)i=42i是纯虚数，故D正确.

11.已知zi=-3-4i,z2=(/i2-3m-l)+(n2-?n-6)i,m,n^R,Kzi=Z2,则

m=,w=.

宜2±2

廨祠由复数相等的充要条件有2j3第1=；3,解得｛机=2

1------1(.n-m-6=-4,⑦=±2.

12.下列说法:

①若〃£R,则m+l)i是纯虚数;②若(f-D+W+Bx+ZUaER)是纯虚数，则产±1;③两个虚

数不能比较大小.

其中说法正确的序号是.

蘸③

|解析|当a--\时,(a+l)i=0,故①错误;若(x2-l)+(f+3x+2)i是纯虚数，则2H0

即工二1,故②错误;两个虚数不能比较大小，故③正确.

13.已知复数z=\/3淳T-x+Q2Yx+B)>。,求实数冗的值.

阿•.,2>0,，2£1^.・,・/-4工+3=0,解得工=1或x=3.

z>0,；・1-x>0.对于不等式，3%・1-x>0/=1适合u=3不适合,.■・x=l.

14.已知关于x的方程/+(加+2i)x+2+2i=0(/〃£R)有实根〃，且z=m+〃i,则复数z=()

A.3+iB.3-i

C.-3-iD.-3+i

|解析|由题意，知n2+(/n+2i)n+2+2i=0,

即/i2+wn+2+(2n+2)i=0.

所以片1詈22=0,解得产=+所以z=3.i.

(2n+2=0,m=-1.

12.2复数的运算

1.设zi=2+biS£R),z2=a+i(〃£R),当zi+z2=0时，复数a+b\为()

A.l+iB.2+i

C.3D.-2-i

■D

|解析|因为zi+z2=(2+/?i)+(a+i)=(2+a)+S+l)i=0,所以1：；］,于是｛f=:'故。+4=2

i.

2.复数zi=o+4i,Z2=-3+bi,若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a,b的值为()

A.£7=-3,Z?=-4B.a=-3,Z?=4

C.a=3,b=-4D.〃=3,b=4

薪A

6+4=0,

|解析［由题意可知zi+z2=(a-3)+(Z?+4)i是实数,zi-z2=(a+3)+(4功)i是纯虚数，故a+3=0,

4-b丰0,

解得〃二・3力二4

3.(2021全国甲卷)已知(l・i)2z=3+2i,则z=()

A.-l--iB.-l+-i

22

33

C.--+iD.---i

22

答案|B

画由题意得z-=苧=-1+，

------(1-1)-2l2

4.若z=l+2i,则2=()

A.1B.-lC.iD.-i

瓯C

4i

二i，故选C.

----'ZZ-1(l+2i)(l-2i)-l

5.(2021江苏宿迁沐阳期中)已知复数z=(1-i)-/w(l+i)是纯虚数,则实数m=.

宣］

|解析［由z=(11+i)=(1-m)-(1+m)i是纯虚数，则1-/n=0JLl+*0,解得/n=L

6.已知复数z=Y(i是虚数单位)，则z2=.

轴2i

解析|z二上=(1'l)^1)=-1-i,/.z2=(-1-i)2=2i.

7.设m£R,复数zi=巴」0+(m-15)i,Z2=-2+〃7(/〃-3)i.若zi+z2是虚数，求rn的取值范围.

m+2

网**z,=：：+(»15)i,Z2=-2+/n(w-3)i,

；・zi+Z2=(勺等-2)+[(，〃-15))]i

m

="4+(加2.2加.]5)1

m+2

•:zi+z2为虚数,工序-2加15#0,且W,

解得制5,，*-3,且*-2(〃z£R).所以m的取值范围为(-8,-3)U(-3,-2)U(-2,5)U

(5,+8).

8.计算：

⑴(彳+学)Q・i)(3+i)；

(V24-V2i)z(4+5i)

I)~(5-4iXl-i)-'

卧)([+争)(2-i)(3+i)=(q+争)(7・i)岑+卓i.

(四+鱼i)2(4+5i)4i(4+5i)-20+161-4(5-4i)(l+9i)-4(41+41i)-f

(2)：=-2-21.

''--(5--4riX~l~-i-)=5--4-9i-=-l-9-i-=---82--=--8-2-

9.已知Z=1+i是方程，+反+C=0的一个根S,C为实数).

⑴求"C的值；

⑵试判断Z=l-i是否为方程的根.

假(1)因为1+i是方程z2+bz+c=0的根，所以(1+i)2+b(1+i)+c=o,即(b+c)+(2+%)i=0,于是

2解得产=故b的值为2c的值为2.

(2)由(1)方程可化为^-22+2=0,

把z=l-i代入方程左边得/-Zz+ZKl-iANl-D+ZuO,显然方程成立，所以z=l-i也是

方程的根.

10.已知/(z+i)=3z-2i,则/(i)=.

霹-2i

|解析[设z=a+/?i(。力WR),贝”/[a+3+l)i]=3(a+/?i)-2i=3a+(3Z?-2)i,令。=0力=0,贝4/(i)=-2i.

11.若复数z=乎为纯虚数R,i为虚数单位)，则复数z+1+i的虚部为()

2T

A.2iB.2C.3iD.3

廨薪|・.•绰=(：+2?(2+i)=空+竺竺!为纯虚数.♦.上工=0且匕羯0,解得〃.・"，・•・

'«2-1(2-1)(2+1)5555

z+l+i=l+2i,其虚部为2.故选B.

12.(2021全国乙卷)设2(z+7)+3(z-7)=4+6i,贝I」z=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

踊C

|解析|设z=x+yi(xj£R),则5=x-yi,2(z+乃+3(z-乃=4x+6yi=4+6i,得x=l,y=l,故z=l+i.

13.关于x的方程3f-%-l=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于.

客剽11或？

设方程的实数根为尸犯则原方程可变为3623n-1=(10-m-2M2人

“，3根2-2什1=071

所以｛2'解得〃=11或

(10-m-2m2=o,5

14.设z是虚数M=Z+Z是实数，且・1<口<2.

Z

⑴求Z的实部的取值范围；

⑵设〃二产，证明〃为纯虚数.

l+z

⑴解因为Z是虚数，所以可设z=x+yi/,y£R且归0.所以

,1,•,1,­,x-yi,x.(y

co=z+-=x+yi+--r=x+yi+——=x+——+y--~~7)1.

zJx+yix2+y72x2+y72\x2+y2/

因为s是实数且归0,所以yT4=°，

所以f+V=l.此时co=2x.

因为-1<①<2,所以-1<2X<2,从而有微4<1,即z的实部的取值范围是G，l).

(2悔碉设z=x+yi“j£R,且j#0,

由⑴知炉+产=1,

・_l-z_l-(x+yi)_(1-%-yiXl+x-yi)

•・~l+z~l+(x+yi)~(l+x)24-y2

二字孝学二-六i.因为所以J-刈,所以〃为纯虚数.

(1+xr+y21+xk2/'1+x

123复数的几何意义

1.在平行四边形48co中,对角线AC与3。相交于点O,若向量5Z而对应的复数分别

是3+i,-l+3i,则前对应的复数是（）

A.2+4iB.-2+4i

C.-4+2iD.4-2i

制D

庭明依题意有而=瓦？=初一而，而（3+i）-（-l+3i）=4-2i,即而对应的复数为4-2i,故选

D.

2.若zi=2+i,Z2=3+〃i（Q£R）,且zi+z2所对应的点在实轴上，则a的值为（）

A.3B.2C.lD.-1

答案|D

解析由于+z2=2+i+3+〃i=(2+3)+(l+〃)i=5+(l+〃)i.因为NI+Z2所对应的点在实轴上，所

鼠1+。=0,故a=-\.

3.(多选)给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的是［)

A.(3,l)B.(-2,0)

C.(0,4)D.(-l,-5)

|答案|ACD

除丽易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i"-5iE此A,C,D中的点对应

的复数为虚数.

4.已知复数f-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围

是.

疆(1,2)

而由已知，得俨+5<°，解得l<x<2.

1------1(x-2<0,

5.已知i为虚数单位,设复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于原点对称，若zi=2-3i,则

Z2=.

霹-2+3i

解析|在复平面内，复数z=a+bi(a,0£R)与点伍力)一一对应.因为点(",/?)关于原点对称的点

为则复数z2=・2+3i.

6.若复数z=(m2-9)+(/w2+2w-3)i是纯虚数，其中，则|z|二,z=.

|答案|12-12i

|解析|由条件知｛：2g=”所以机=3,因此z=12i,故|z|=12,5=42i.

7.设z£C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？

国方法一由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量被的模等于5,即点Z到原点的距离等于5.

因此,满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆.

方法二设z=x+yi(xjeR),则Izp^+y2.

因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得f+)?=25,故点Z的集合是以原点为圆心，以5为

半径的圆.

8.(2019全国I)设复数z满足|z・i|=l,z在复平面内对应的点为。,),则()

A.(X+i产+产iB.(X・iy+产i

Cf+0・1/=1Dd+(y+1)2=1

瓯C

|解析［设z=x+yi(xj£R).因为z-i=x+(y-l)i,所以|z-i|=J/+(yj)2=］，则f+。，1)2=］故选

C

9.若|z|+z=3+i,贝Uz=()

▲«4・4・

A.1—iB.1v+-1

33

C.2+iD.--+i

33

奉c

|解析|设复数z=x+yi(x,y£R),依题意有/^T5^+x+yi=3+i,因此卜十"一'解得

4

W故Z=K

ly=1,3

10.(2020天津检测)设zWC,且|z+U-|z-i|=O,则|z+i|的最小值为()

A.0B.lC.—D.-

22

踊C

障附由|z+l|=|z-i|知，在复平面内，复数Z对应的点的轨迹是以(-1。)和(0,1)为端点的线段

的垂直平分线，即直线产-x,而|z+i|表示直线产-x上的点到点(0,-1)的距离，其最小值等于

点(0,-1)到直线y=-x的距离即为

11.(多选)设复数z满足z=・l-2i,i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.|z|=V5

B.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共枕复数为-l+2i

D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上

SMIAC

解树z|二J(-l)2+(-2)2=V5,A正确;复数Z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三

象限,B不正确;z的共貌复数为-l+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线

y=-2x_L,D不正确.

12.(多选)设z=(2/24-5/-3)+(/2+2z+2)iR,i为虚数单位，则以下结论正确的是()

A.z对应的点在第一象限

B.z一定不为纯虚数

C.z一定不为实数

D.5对应的点在实轴的下方

^M|CD

丽|因为2产+5b3=26+3-荒247+2-2=(什1)2+1>0,所以，复数z对应的点在实

轴上方，故A错误;当信即-3或4时,z为纯虚数，故B错误;因为

尸+2什2>0恒成立，所以z一定不为实数，故C正确;由选项A的分析知,z对应的点在实轴

的上方，所以5对应的点在实轴的下方，故D正确.

13.在复平面内，已知则复数z=m2Q+4)-m2-24+2)i所对应的点在第儿象限?复数z

明对应的点的轨迹是什么？

廨•:+4=(。・1)2+323,

-(cr-2a+2)=-(a-1)2-1-1,

・・・z的实部为正数，虚部为负数，

・,・复数z所对应的点在第四象限.

设z=x+W(“GR),喉髭祟),

消去〃2_2〃,得y=-x+2(x23),・,・复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y=-

x+2(x23).

14.复平面内三点A,8,C分别对应复数l,2i,5+2i,则由A,仇。所构成的三角形是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C,锐角三角形D.钝角三角形

踊A

随附|AB|=|2i-l|=J^|4C|=|4+2i|=两，@C|=5,・・・|BC[2=|AB|2+|AQ2.故选A.

12.4*复数的三角形式

1.将复数z=3[cos(-1)+isin(-/化成代数形式为;|z|=.

霞-3i3

|解析|z=3(0-i)二・3i,|z|=3.

2.将复数z=-2V3+2i化成三角形式是.

|答案|4(COS|TT+isin')

,------(叵

丽|模长|z|二(・28产+22=4,设辐角为"所以]cos0一=故辐角主值为为所以

7(sin0=1,6

z=4^cos|n+isin/).

3.[2(cos60°+isin60°)]3=.

彝-8

解稠原式=23[cos(60。x3)+isin(60°x3)]

=8(cos180°+isin180°)=-8.

4.计算:4(cos800+isin80°)-r[2(cos320°+isin320°)].

黝(cos800+isin80°)-r[2(cos320°+isin320°)]

=2[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]

=2[cos(-240°)+isin(-240°)]

=2(-/争)=-1+圾.

5.己知zi=Vcos7+isin",Z2=6(cos；+isin；),计算zizz,并说明其几何意义.

2\33/66

颐|ZIZ2二31COS停+£)+isin(；+£，]

二3(cos]+isin/)=3i.

首先作复数Z]对应的向量西，然后将西绕点。按逆时针方向旋转E,再将其长度

伸长为原来的6倍，得到的向量即为Z1Z2所对应的向量.

6.己知复数z=r(cose+isin。),依，求工的三角形式.

Z

隧='黑SO：：；*)=3cos(0。劭+isin(O°劭]W[cos(-®)+isin(-。)].

7.莱昂哈德・欧拉发现并证明了欧拉公式e^=cos夕+isin。，从而建立了三角函数和指数函

数的关系.若将其中的。取作兀就得到了欧拉恒等式已加+1=0,它是数学里令人着迷的一

个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率兀),

两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式/=cos6+isin。，解决以下

问题：

⑴试将复数e学写成〃+砥〃/wR,i是虚数单位)的形式；

⑵试求复数爵+；的模.

解1)根据欧拉公式可得国=cosg+isi吗=1+争.

(2)由题意可知e学+-=-+-\+-=\+—\,

22222

因此产+4=5+(3=当

8.复数Z=-l+(詈)2。2T的辐角主值为

廨丽为岩，所以(皆)2021402』

所以z=-1+i=>/2(cos—+isin—),

44

所以复数z的辐角主值为生.

4

9G争）"的二-------,

葬-A：

)]二[cos(一手)+isin用]」3(

9+isin(-联3^cos-+isin-

22

cos^+isin?]=(cos手+isin,)4-[3(cos-j+isin^)]=11-cos(^"-2)+'s^n(^"

10.已知复数z的模为2,实部为次,求复数z的代数形式和三角形式.

网由题意，可设z=V3+/?i(/?eR).V|z|=2,

：«3+82=2,解得Z?=±l,/.2=V3+i或z=V3-i.

化为三角形式，得z=2(cos：+isin：)或z=21cos(-+isin^-J.

11.计算下列各式的值：

(D(-；十^i)x12(cosAisin?];

(2)3(cos63°+isin63°)x2(cos99°+isin99°)x5(cos108°+isin108°).

§(l)(-1+yi)x12(cosAisinp]

(2n..2nJIXn..TtJ

=''Cos——+isin—，xL2'cos—+isin—，J

3333

=2(cos兀+isinn)=-2.

(2)3(cos63°+isin63°)x2(cos99°+isin99°)x5(cos108°-isin108°)=30(cos

2700+isin270°)=-30i.

]2求证.(cos3e+isin38)3(cos28+isin26)

=cos仇isin0.

(cos40+isin40)6

场左边_(cos90+isin90)(cosl40+isinl40)

(cos240+isin240)

_(cos236+isin236)二cos(-0)+isin(-0)二cos仇isin0=右边.

(cos240+isin240)

13.已知女是实数⑷是非零复数,且满足argco=^,(1+a))2+(1+i)2=1+kco.

⑴求U

⑵设z=cos6+isin[0,2兀)，若|Z-G|=1+&,求0的值.

网(l)argco=当可设co=a-ai(a^R\

将其代入(1+石产+(]+j)2=]+心,

化简可得2。+2。(1+a)i+2i=〃a-〃ai,

*fa)+2=-3解得k=2,

a=-1,

.\(o=-l+i.

(2)|z-(y|=|(cosJ+l)+(sin。-l)i|

J(cos0+l)2+(sin0-l)2

=J3+2(cos8-sin6)

=j3+2V^cos(9+》

V\z-co\=1+V2,AJ3+2V2cos(6+力1+/,

化简得cos(6+g=L

・^^外%2兀+}.・外尸2私即叙停

第12章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分.共40分在每小题给出的四个选项中.只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=2+i,则zz=()

A.V3B.V5C.3D.5

踊D

I,z=2+i,・,・z=2-i..*.zz=(2+i)(2-i)=5.故选D.

2.(2021河南郑州一模)复数z=。,在复平面内复数z的共轨复数对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析:z=3=苦立-=l+i,，・Z=的共轮复数在复平面内对应的点的坐标为

1-1+

位于第四象限.故选D.

3.设行磊则|z|二()

A.2B.A/3C.V2D.l

弱C

朝・；=旦,・..z=0娱二二i,

IIl+2f(l+2i)(l-2i)55'

***'z'==/♦故选c.

4.(2021四川成都郸都期中)复数i+i12+i3+-+i202,=()

A.i-1B.i

C.-lD.O

踊B

|解析|Vi+i2+i34-i4=0,i202l=(i4)505*i=i,/.i+i2+i3+***+i2⑼=505x0+i=i,故选B.

5.(2021甘肃白银靖远模拟)设复数z满足匠2i|=3,复数z在复平面内对应的点为(x,y),则

()

A.(x-2)2+y2=9B.(x+2)2+y2=9

Cf+(y-2)2=9D.f+(y+2)2=9

函D

解析因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以5=x-)”，故5-2i=x+(-y-2)i,因为|z-2i|=3,所以

卜+(y+2)2=3,化简可得f+(>+2)2=9.故选D.

6.己知复数zi=cos23°+isin23°和复数Z2=cos37°+isin37°,则2底2为()

1.V3.V3,1.

AA-H----1BD.——FT

2222

1V3.^V31.

2222

■A

|解析|ZIZ2=COS(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=14-^i.

7.已知z是复数，且p:z=1+当i;g:z+}eR.则p是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C,充要条件

D.既不充分也不必要条件

宜A

健丽显然，当z=i+尊时,z+工=；+孚+七=；+,+争=16R,但当z+如R时，若令

1------122Z22221Z

22

z=Q+bi(〃,/?£R),则a+bi+、^=(d+)+(b-i,所以有Z;=0或42+〃=］不一定有

a+biUaz+b2a2J+b2J

z=|+争.故〃是q的充分不必要条件，选A.

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是()

A.3+4iB.4+3i

C—+3iD.3+—i

33

I解析I设z=x+yi(xj£R),则有J/+y2+2x+2yi=13+6i,于是-Jx-y+2x—13,解得

(2y=6,

广::'或产=三'因为13-2x20,故后身，所以x=竺不符合要求，故z=4+3i.

(、=J(y=3,23

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的选项中.有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2021湖南模拟)已知复数z=(l+2i)(2-i*为z的共辗复数，则下列结论正确的是()

A.z的虚部为3i

B.|z|=5

C.z-4为纯虚数

D.5在复平面内对应的点在第四象限

|答案|BCD

画因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以Z的虚部为3,选项A错误;因为因二|z|="TP=5,所

鼠选项B正确;因为z-4=3i为纯虚数，所以选项C正确;因为5=4-3i在复平面内对应的点

(4,-3)在第四象限，所以选项D正确.故选BCD.

10.已知复数z=a+bi(〃,b£R),且。+力=1,下列说法正确的是()

A.?不可能为纯虚数

B.若z的共驰复数为5,且z=Z则z是实数

C.若z=|z|,则z是实数

D.|z|可以等于:

|答案|BC

|解析|当〃=0时/=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共艇复数为，，且z=5,则a+bi=a-b\,

所以Z?=O,B正确;由|z|是实数，且z=|z|知,z是实数,C正确;若|z|二；则/+〃=工，又〃+6=1,所

24

鼠84・8。+3=0公=-32<0,无实数解，即\z\不可以等于1,D错误.

11.(2021山东德州二模)已知复数zi=W(i为虚数单位)，下列说法正确的是()

A.zi对应的点在第三象限

B.zi的虚部为-1

C.Zj=4

D.满足|z|=|zi|的复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

矗］AB

龌丽复数z尸二二-丹兴=对应的点(-1,-1)在第三象限，故A正确;zi的虚部为-1,故

B正确;(zl)4二(・l・i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|zl|二/,满足|z|二|zl|的复数z对应的点在以原

点为圆心,半符为血的圆上，故D不E确.故选AB.

12.设/(O)=cosO+isin6(i为虚数单位)，则#(J)=cos2^+isin2®/(®)=cos36+isin3。,…，若

严(。)为实数，则0的值可能等于()

答案|AC

|解析F'SACOS10<9+isin10。,要使严(。)为实数,则sin10e=0,10e=E(Z£Z),故6>=^e

Z),当k=T时,。书,当代2时,。三

三、填空题:本题共4小题,每小题5分.共20分

13.若7-=a+Oi(i为虚数单位，。/£R),则a+b=__________.

1-1

|解析|因为W=2(i+i)=i+i=〃+历所以a=b=l.故a+b=2.

1---------1i-i(1-iXi+i)

14.(2021湖南长沙天心校级期中)己知2i-3是关于x的方程源+*+26=0的一个根，则实

数p=.

踊12

V2i-3是关于x的方程及+「汗+26=0的一个根,J-2i-3是关于x的方程

2r+px+26=0的另一个根，则(2i・3)+(-2i・3)=-(得p=12.

15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+l+i|的最小值是，最大值

是.

重1V5

廨树由

于|z+i|+|z・i|=2,则点Z在以(0,-1)和(0,1)为端点的线段上,|z+l+i|表示点Z到点(/,/)的

距离.由图知最小值为1,最大值为巡.

16已知复数z满足|z+2-4i|=2,则七1|的取值范围是.

霞[3,7]

|解析|设zr+yi(xj£R),

,・•复数z满足|z+24|=2,

・・・J(%+2)2+(y-4)2=2,即(X+2)2+U-4)2=4.

・••在复平面内复数z所对应的点Z表示的是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.

•・・|z-l|表示的是点Z与(1,0)之间的距离，

又圆心与点(1,0)之间的距离d=J(-2-l)2+42=5,

・•・|z-11的范围是[d-rd+r],即[3,7].

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数z满足|z|=l+3i-z,求业笠叨的值.

2z

廨设z=a+b\(a,b£R),V|z|=1+3i-z,

Va2+b2-1・3i+〃+bi=0,

即｛2+a"=°'解得｛;二"

/.z=-4+3i,

22

.(l+i)(3+4i)2i(-7+24i)24+7io,..

・・一五一=’两=F=3+4L

18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时，复数z=尤士+(标・2⑼i符合下列要求?

m

⑴实数.

⑵虚数.

⑶纯虚数.

网⑴若Z为实数，可得敷2?胃=°，解得机=2.

1—1(771H0,

所以当m=2时,Z为实数.

(2)若z为虚数，则虚部/n2-2/n#),JL〃#0,

解得*2,且*0.所以当机的取值范围为(・oo,0)U(0,2)U(2,+8)时修为虚数.

2

m+m-6_n

(3)若Z为纯虚数，则F-='解得m=-3.