苏教版（2019）选择性必修第一册《3.1 椭圆》同步练习卷

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.1椭圆》2023年同步练习卷一、选择题1．椭圆上任一点P到点Q（1，0）的距离的最小值为（）A． B． C．2 D．2．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．3．椭圆+＝1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）4．已知椭圆上一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则满足条件的点P有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个5．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为（）A．2﹣ B．﹣1 C．+1 D．2+6．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣7．如图所示，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2＝b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．8．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A、B，点C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，在△ABC中，若＞3，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，）二、多选题（多选）9．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2 B．a1﹣c1＝a2﹣c2 C．c1a2＞a1c2 D．（多选）10．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是（）A．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0 B．直线AB与OM垂直 C．若直线方程为y＝x+2，则 D．若直线方程为y＝x+1，则点M坐标为（多选）11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是圆x2+y2＝a2上且不在x轴上的一点，△PF1F2的面积为b2，设C的离心率为e，∠F1PF2＝θ，则（）A．|PF1|+|PF2|＞2a B． C． D．tanθ＝2三、填空题12．已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A、B，点P椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是．13．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则C的离心率为．四、解答题14．已知椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长，短轴长、焦点坐标及顶点坐标．15．已知点A（0，﹣2），椭圆的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A（0，﹣2）的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆的方程是x2+y2＝a2+b2，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线l1与l2，求证：l1⊥l2．17．已知椭圆，过F（2，0）的直线l交椭圆于A，B两点，点C在直线x＝3上，若△ABC为正三角形，求△ABC的面积．

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.1椭圆》2023年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】设出P的坐标，利用点在椭圆上，结合两点间距离公式以及二次函数的性质求解最小值即可．【解答】解：设点P的坐标为（m，n），有，＝．故选：B．2．【分析】由四边形AF2BF1是正方形且面积为4可得b，c的值，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的面积．【解答】解：由AF2BF1是正方形可得b＝c，再由AF2BF1的面积为4可得•2c•2b＝4，即bc＝2，又a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程为：+＝1；故选：A．3．【分析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出+＜F1代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．【解答】解：如图，设P（x，y），则F1（﹣，0），F2（，0），且∠F1PF2是钝角⇔＜⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以﹣＜x＜．故选：C．4．【分析】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选：C．5．【分析】可设|PF1|＝t，|QF1|＝2|PF1|＝2t，运用椭圆的定义可得|PF2|＝2a﹣t，|QF2|＝2a﹣2t，结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值．【解答】解：可设|PF1|＝t，|QF1|＝2|PF1|＝2t，在直角三角形F1PQ中，sin∠PQF1＝＝，可得∠PQF1＝30°，由椭圆的定义可得|PF2|＝2a﹣t，|QF2|＝2a﹣2t，|PQ|＝4a﹣3t，由|PQ|2+|PF1|2＝|QF1|2，即（4a﹣3t）2+t2＝4t2，即有4a﹣3t＝t，解得t＝a，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为＝＝＝2+，（或△PF1F2与△QF1F2的面积之比为＝＝＝2+）故选：D．6．【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算k1k2的值．【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为y﹣0＝k1（x+2），代入椭圆的方程化简得（2+1）x2+8x+8﹣2＝0，∴x1+x2＝，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1（x1+2）＝，即点P（，），直线OP的斜率k2＝，∴k1k2＝﹣．故选：D．7．【分析】设P（x1，y1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x1的方程，由系数相等可得a，c的关系式，从而求得椭圆C的离心率．【解答】解：设F（﹣c，0），c2＝a2﹣b2，设P（x1，y1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b2+a2＝λ（b2+c2），a＝λc，故c（b2+a2）＝a（b2+c2），即2ca2﹣c3＝a3，即e3﹣2e+1＝0，即（e﹣1）（e2+e﹣1）＝0，又0＜e＜1，∴．故选：D．8．【分析】根据正弦定理及椭圆的几何性质，即可求解．【解答】解：∵椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A、B，又点C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，∴在△ABC中，根据正弦定理及椭圆的几何性质可得：＝＝＞3，∴，∴e＜，又e∈（0，1），∴椭圆离心率的取值范围为（0，），故选：D．二、多选题9．【分析】根据图象可知a1＞a2，c1＞c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1＞a2+c2；进而判断AD不正确；根据a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|可知a1﹣c1＝a2﹣c2，可判断BC正确；【解答】解：如图可知：a1＞a2，c1＞c2，∴a1+c1＞a2+c2，∴A不正确；∵a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，∴a1﹣c1＝a2﹣c2，∴B正确；a1+c2＝a2+c1，可得（a1+c2）2＝（a2+c1）2，﹣+2a1c2＝﹣+2a2c1，即+2a1c2＝+2a2c1，∵b1＞b2，∴c1a2＞a1c2，∴C正确；可得，D不正确；故选：BC．10．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求得OM的斜率，可得AB的斜率，得到直线方程判断A；设M（m，n），将A，B的坐标代入椭圆方程，两式相减，运用平方差公式和中点坐标公式、斜率公式，可判断B；联立直线方程和椭圆方程，运用弦长公式可判断C；联立直线y＝x+1与椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可判断D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（1，1），由，，两式相减可得，①可得kABkOM＝﹣2，且kOM＝1，可得kAB＝﹣2，则直线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故A正确；设M（m，n），由m＝，n＝，代入①式可得kABkOM＝﹣2，故B错误；由，可得3x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则|AB|＝＝，故C正确；由，可得3x2+2x﹣3＝0，得x1+x2＝﹣，则中点M（﹣，），故D错误．故选：AC．11．【分析】由题意画出图形，由椭圆定义及三角形两边之和大于第三边判断A；设出P的参数坐标，利用向量数量积运算判断B；求出三角形PF1F2的面积范围，结合已知列式求得椭圆离心率的范围判断C；由数量积及三角形面积公式求得tanθ判断D．【解答】解：如图所示，连接PF1，PF2，设PF2交椭圆与Q，则|QF1|+|QF2|＝2a，所以|PF1|+|PF2|＝|PF1|+|PQ|+|QF2|＞|QF1|+|QF2|＝2a，故A正确；设P（acosα，asinα），F1（﹣c，0），F2（c，0），所以，，所以＝a2﹣c2＝b2＜ab，故B错误；设P（xP，yP），则⩽ac，又△PF1F2的面积为b2，所以b2≤ac，即a2﹣c2≤ac，所以e2+e﹣1≥0，又0＜e＜1，所以e∈[，1），故C正确；由＝|＝b2，两式作商可得tanθ＝2，故D正确；故选：ACD．三、填空题12．【分析】首先证明结论：设椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则kPA•kPB＝，再由直线PA斜率的取值范围求得直线PB斜率的取值范围．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则，，∴，由P在椭圆上，得，则．由椭圆C：+＝1，得，∵kPA∈[1，2]，∴∈[﹣，﹣]．故答案为：[﹣，﹣]．13．【分析】由题意画出图形，推出，两边平方后结合隐含条件得答案．【解答】解：如图，由题意椭圆C：的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，可得：，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴e＝．故答案为：．四、解答题14．【分析】先求出a，b，c，由e＝，得＝，求出m的值，从而求出椭圆的方程，及椭圆的长轴长，短轴长、焦点坐标及顶点坐标．【解答】解：椭圆方程可化为+＝1，因为m﹣＝＞0，所以m＞，即a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝1，所以a＝1，b＝，椭圆的标准方程为x2+＝1，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为（，0），四个顶点的坐标分别为A1（﹣1，0），A2（1，0），B1（0，﹣），B2（0，）．15．【分析】（1）通过长轴长是短轴长的2倍，得到a、b关系，通过直线AF的斜率为，求出a、c，结合a2＝b2+c2，即可求E的方程；（2）设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入椭圆方程，利用Δ＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知⇒c＝．又a2＝b2+c2，可得b2＝1，a2＝4，∴椭圆E的方程：．（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入椭圆E的方程：．得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即k2．，从而|PQ|＝|x1﹣x2|＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积s△OPQ＝|PQ|＝设＝t，则t＞0，∴．当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．16．【分析】（1）由题意可得：a＝2，b＝c，a2+b2＝c2，解出即可得出．（2）设P（x0，y0），若过点P的切线斜率都存在，设其方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），与椭圆方程联立化为：，根据直线与椭圆相