高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】-学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．sin75°－sin15°的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)[答案]B[解析]sin75°－sin15＝2coseq\f(75°＋15°,2)sineq\f(75°－15°,2)＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).故选B.2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则cos2α－sin2β的值为()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝eq\f(1,3)，∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝eq\f(1,3)，即cos2α－sin2β＝eq\f(1,3).3．化简eq\f(cosα－cos3α,sin3α－sinα)的结果为()A．tanα B．tan2αC．cotα D．cot2α[答案]B[解析]原式＝eq\f(－2sin2αsin－α,2cos2αsinα)＝eq\f(2sin2αsinα,2cos2αsinα)＝tan2α.4．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－m B．mC．－eq\f(m,2) D．eq\f(m,2)[答案]A[解析]sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2αcos2β－cos2α＋cos2αcos2β＝cos2β－cos2α＝－m.5．计算sin105°cos75°的值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)[答案]B[解析]sin105°cos75°＝eq\f(1,2)(sin180°＋sin30°)＝eq\f(1,4).6．eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°·sin55°)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[答案]B[解析]eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°sin55°)＝eq\f(2sin30°cos20°,－\f(1,2)cos90°－cos20°)＝eq\f(\f(1,4)cos20°,\f(1,2)cos20°)＝eq\f(1,2).二、填空题7．(·河北邯郸市馆陶一中高一第二次调研)在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，则此三角形是________三角形．[答案]等腰[解析]sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosA,2)，∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1又－π<A<B<π，∴A－B＝0，∴A＝B.故△ABC是等腰三角形．8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.[答案]eq\f(1,2)[解析]原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20°＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20°＝cos60°＝eq\f(1,2).三、解答题9．求证：sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sin(2α＋β)－sinβ]＝sinβ.[解析]解法一：左边＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sin〔(α＋β)＋α〕－sinβ]＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＋eq\f(1,2)sinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]＋eq\f(1,2)sinβ＝eq\f(1,2)sin[(α＋β)－α]＋eq\f(1,2)sinβ＝sinβ＝右边．解法二：左边＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(2α＋β＋β,2)sin\f(2α＋β－β,2)))＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ＝右边．一、选择题1．已知sin(α－β)·cosα－cos(α－β)·sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ等于()A．eq\r(1－m2) B．－eq\r(1－m2)C．eq\r(1＋m2) D．－eq\r(m2－1)[答案]B[解析]sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(－β)＝－sinβ，∴sinβ＝－m.又β为第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－m2).2．若sinα＋sinβ＝eq\f(\r(3),3)(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于()A．－eq\f(2π,3) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)[答案]D[解析]∵α、β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，∴cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sineq\f(α＋β,2)·coseq\f(α－β,2)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2sin\f(α＋β,2)·sin\f(β－α,2)))，∴taneq\f(α－β,2)＝eq\r(3)∴eq\f(α－β,2)＝eq\f(π,3)∴α－β＝eq\f(2π,3).3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]C．[－eq\f(1,4)，eq\f(3,4)] D．[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)][答案]C[解析]cosAsinC＝eq\f(1,2)[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))).4．tan70°cos10°(eq\r(3)tan20°－1)等于()A．1 B．－1C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[答案]B[解析]原式＝cot20°cos10°(eq\r(3)tan20°－1)＝cot20°cos10°eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,cos20°)＝cot20°cos10°eq\f(2sin20°－30°,cos20°)＝－eq\f(2sin10°cos10°cot20°,cos20°)＝－1.二、填空题5．sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°·cos80°＝________.[答案]eq\f(1,4)[解析]原式＝eq\f(1－cos40°,2)＋eq\f(1＋cos160°,2)＋eq\f(\r(3),2)sin100°－eq\f(\r(3),2)sin60°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)cos40°－eq\f(1,2)cos20°＋eq\f(\r(3),2)sin100°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)×2cos30°cos10°＋eq\f(\r(3),2)cos10°＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2)cos10°＋eq\f(\r(3),2)cos10°＝eq\f(1,4).6．计算eq\f(1,tan10°)－4cos10°＝________.[答案]eq\r(3)[解析]eq\f(1,tan10°)－4cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,sin10°)＝eq\f(cos10°＋2sin30°－10°,sin10°)＝eq\f(2cos30°sin10°,sin10)＝eq\r(3).三、解答题7．求函数y＝sin4x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．[解析]y＝sin4x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋eq\r(3)sin2x＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)).8．在△ABC中，求证：(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcos(2)sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2).[解析](1)左边＝sin2A＋eq\f(1－cos2B,2)－eq\f(1－cos2C,2)＝sin2A＋eq\f(1,2)(cos2C－cos2B)＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]＝sin(B＋C)2sinBcosC＝2sinAsinBcosC＝右边，∴等式成立．(2)左边＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f(B＋C,2)coseq\f(B＋C,2)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝右边，∴原等式成立．9．讨论函数f(x)＝eq\f(1,2)cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)·cosx·cosα的周期、最值、奇偶性及单调区间．[解析]f(x)＝eq\f(1,2)cos(2x－2α)＋eq\f(1＋cos2α,2)－2cos(x－α)cosx·cosα＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)[cos(2x－2α)＋cos2α]－[2cos(x－α)·cosα]cosx＝eq\f(1,2)＋cosx·cos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]＝eq\f(1,2)－cos2x＝eq\f(1,2)－eq\f(1＋cos2x,2)＝－eq\f(1,2)cos2x.∴函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.f(x)max＝eq\f(1,2)，此时cos2x＝－1，即2x＝2kπ＋π，k∈Z，x＝