高中数学 3.2 第1课时古典概型(一)检测试题 新人教B版必修3

【成才之路】-学年高中数学3.2第1课时古典概型(一)检测试题新人教B版必修3一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲未被选中的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．1[答案]B[解析]所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P＝eq\f(2,3).∴甲未被选中的概率为eq\f(1,3).2．下列概率模型中，有几个是古典概型()①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投一点P，求P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]A[解析]第1个概率模型不是古典概型．因为从区间[1,10]内任意取出一个数有无数个对象被取，即试验中所有可能出现的基本事件有无限个．第2个概率模型是古典概型．在试验中所有可能出现的结果只有10个，而且每一个数被抽到的可能性相等．第3个概率模型不是古典概型，向正方形内投点，可能结果有无穷多个．第4个概率模型不是古典概型．因为硬币残旧且不均匀，因此两面出现的可能性不相等．3．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐蓬，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐蓬也是等可能的，只要帐蓬如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为eq\f(3,4)C．淋雨机会为eq\f(1,2) D．淋雨机会为eq\f(1,4)[答案]D[解析]由题设知，基本事件空间Ω＝{(下雨，运到)，(下雨，运不到)，(不下雨，运到)，(不下雨，运不到)}，事件“淋雨”中只有一个基本事件(下雨，运不到)，∴概率为eq\f(1,4).4．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种，b>a的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1、2、3册的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]基本事件空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}共6个基本事件．而事件A＝“各册从左到右，或从右到左恰好为第1、2、3册”中含有两个基本事件(1,2,3)和(3,2,1)，各基本事件是等可能的．∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).6．乘客在某电车站等待26路或16路电车，在该站停靠的有16、22、26、31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客期待的电车首先停靠的概率等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]A[解析]每一辆车先到的概率都等于eq\f(1,4)，所以乘客期待的电车首先停靠的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故选A.二、填空题7．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB，AC，Am，BC，Bm，Cm6种结果，其中颜色不同的结果为Am，Bm，Cm3种结果，故所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).8．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由题意知，基本事件空间Ω＝{12,13,14,23,24,34}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{12,14,23,34}，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).三、解答题9．(·江西文，18)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．[解析](1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共1种；数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6种；数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种；数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p1＝eq\f(7,15)；因为去唱歌的概率为p2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).一、选择题1．(·安徽文，5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)[答案]D[解析]由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝eq\f(9,10).2．把3枚硬币一起掷出，出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]该试验的基本事件空间为{(正，正，反)，(正，正，正)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，且每一个基本事件发生的可能性相等．而“两正一反”包含了其中3个基本事件，所以概率为eq\f(3,8)，故选B.3．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是()A．eq\f(3,20) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,10)[答案]D[解析]以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3,5,7；5,7,9；3,7,9，∴P＝eq\f(3,10).4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)[答案]C[解析]骰子朝上的面的点数x、y构成的有序数对(x，y)共有36个，满足log2xy＝1，即2x＝y的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故所求概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).二、填空题5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．[答案]eq\f(4,9)[解析]在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________．[答案]eq\f(2,7)[解析]基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7)，选B.三、解答题7．口袋中有红、白、黑3个颜色各不相同但形状大小一样的小球，现从中有放回的取两次，求下列事件的概率：(1)取出的球全是红球的概率；(2)取出的球中至少有一个是红球的概率；(3)取出的球是同一颜色的概率；(4)取出的球颜色不相同的概率．[解析]设红球编号为1，白球编号为2，黑球编号为3，有放回地连续抽取两次，所有可能的结果如下：第一次抽取第二次抽取1231(1,1)(2,1)(3,1)2(1,2)(2,2)(3,2)3(1,3)(2,3)(3,3)试验的所有结果有9种，并且这9种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．(1)用A表示“取出的球全是红球”，由上表可以看出，A只有(1,1)一种结果，因此P(A)＝eq\f(1,9).(2)用B表示“取出的球至少有一个是红球”，由上表可以看出，只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)五种情况，所以其概率为P(B)＝eq\f(5,9).(3)用C表示“取出的球颜色相同”，由上表可以看出，C有(1,1)，(2,2)，(3,3)三种情况，所以其概率为P(C)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).(4)用D表示“取出的球颜色不同”，由上表可以看出，D有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)故P(D)＝eq\f(2,3).8．两个盒内分别盛着写有0,1,2,3,4,5六个数字的六张卡片，若从每盒中各取一张，求所取两数之和等于6的概率．现有甲、乙两人分别给出一种解法．甲的解法：因为两数之和可有0,1,2，…，10共11种不同的结果，所以所求概率为eq\f(1,11).乙的解法：从每盒中各取一张卡片，共有36种取法，其中和为6的情况共有5种：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，因此所求概率为eq\f(5,36).试问哪一种解法正确，为什么？[解析]乙的解法正确．因为从每个盒中任取一张卡片，都有6种不同的取法，且取到各张卡片的可能性均相等，所以从两盒中各任取一张卡片的不同的可能结果共有36种，其中和数为6的情况正是乙所列5种情况．所以乙的解法正确．而甲的解法中，两数之和可能出现11种不同结果，其可能性并不均等，所以甲的解法是错误的．9．某校举行运动会，高二·一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？[解析]由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为