5.3.2函数的极值与最大(小)值（第2课时）课件高二数学人教A版选择性

第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.了解函数的最大值、最小值的含义.2.理解导数与函数最大(小)值的关系.3.会利用导数求函数的最大(小)值.4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.5.掌握利用导数解决最优化问题的方法基础落实·必备知识全过关知识点1

函数在闭区间上的最大(小)值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值和最小值.

不一定在区间端点处取得,且

最大值和最小值都是唯一的连续不断

名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)=在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值.3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值.过关自诊1.极值与最值有何区别和联系?提示

(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.(3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.2.下列结论正确的是(

)A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值D解析

函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.知识点2

函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的

;

2.将函数y=f(x)的各极值与

的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是

,最小的一个是

.

极值

端点处最大值最小值名师点睛如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.过关自诊[北师大版教材例题]求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最值.解

f'(x)=3x2-4x.解方程f'(x)=0,比较这4个数的大小,可知:函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.知识点3

生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点睛用导数解决实际生活问题的基本思路过关自诊1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示

根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高应为(

)B重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一求函数的最大(小)值角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值【例1】

求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];分析

求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-

f(x)-14单调递增极大值-10单调递减-12所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.解

(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:规律方法

求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点:1对函数进行求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内2研究函数的单调性,确定极值和端点函数值3比较极值与端点函数值的大小,确定最值变式训练1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-6(-6,-3)-3(-3,-1)-1f'(x)

-0+

f(x)45单调递减极小值单调递增55所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55.角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值【例2】

求下列函数的最大值与最小值:分析

没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.极小值,在x=3处取得极大值,又当x=1时,f(x)=0;当x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.(2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1.所以函数f(x)在区间(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在区间(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,极小值f(1)=-2e.从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数f(x)无最大值.规律方法

求函数在开区间或无穷区间上最大(小)值的方法求函数在无穷区间或开区间上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大(小)值.A探究点二含参数的最大(小)值问题角度1.求含参数的函数的最大(小)值

解

(1)f(x)的定义域是(0,+∞).①当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<a,令f'(x)<0,解得x>a,故f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减.②当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.综上,当a>0时,f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减;当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.规律方法

求解函数在区间上的最大(小)值,需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.角度2.与函数最大(小)值和参数有关的综合问题【例4】

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在区间(0,2)内的最大值小于零即可求得m的取值范围.解

(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,0<t<2,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)单调递增极大值1-m单调递减∴g(t)在区间(0,2)内有极大值也是最大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在区间(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0,即m>1.∴m的取值范围为(1,+∞).变式探究若将本例(2)的条件改为“存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?解

令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:t(0,1)1(1,2)2g'(t)+0-

g(t)单调递增极大值1-m单调递减-3-m易知g(t)在(0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,故实数m的取值范围为(-3,+∞).规律方法

分离参数求解不等式恒成立问题的步骤

探究点三生活中的优化问题【例5】

某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.分析

(1)根据x=5时,y=11求a的值;(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律方法

利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,其中最大(小)者为f(x)在区间上的最大(小)值.求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.变式训练4[北师大版教材例题]如图①,一边长为48cm的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图②.所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位:cm)的函数.图①

图②(1)随着x的变化,容积V是如何变化的?(2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解

(1)根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0<x<24}.所以V'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).解方程V'(x)=0,得x1=8,x2=24.根据x1,x2列出下表,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点.x(0,8)8(8,24)V'(x)+0-V=V(x)单调递增极大值单调递减根据表可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点,相应的极大值为V=V(8)=(48-16)2×8=8

192(cm3).V=(48-2x)2x的大致图象如图.根据对函数变化规律的讨论可知:当0<x≤8时,函数V=V(x)单调递增;当8≤x<24时,函数V=V(x)单调递减.(2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过V(8),因此,x=8是函数的最大值点.此时V=V(8)=8

192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)上的最大值.即当截去的小正方形的边长为8

cm时,得到的容器容积最大,最大容积为8

192

cm3.探究点四构造函数证明函数不等式当-1<x<0时,f'(x)>0,即f(x)在(-1,0)上单调递增;当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减.于是函数f(x)在(-1,+∞)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,因此,当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右边不等式得证).当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0,规律方法

在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)<f(x)<h(x)型的不等式的证明,应分别证明g(x)<f(x),f(x)<h(x).本节要点归纳1.知识清单:(1)函数最值的定义.(2)求函数最值.(3)函数最值在实际中的应用.(4)构造函数证明函数不等式.2.方法归纳:转化化归、分类讨论.3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练171.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(

)A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19C解析

f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.12345678910111213141516172.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:A.6h B.7h C.8h D.9hC6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当

t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究点四]当0<x<1时,f(x)=,则下列大小关系正确的是(

)A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)D12345678910111213141516175.[探究点一(角度2)]函数f(x)=(x+1)ex的最小值是

.

解析

函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为12345678910111213141516176.[探究点二(角度2)·2023山东东营期末]若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是

.

(-1,2]解析

由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减,12345678910111213141516177.[探究点三]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式;(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?解

(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).1234567891011121314151617(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1

340可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1

340.即该企业的产量为15

t时,可获得最大利润,最大利润为1

340万元.B级关键能力提升练12345678910111213141516178.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(

)A.30元

B.60元 C.28000元

D.23000元D解析

设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8

300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11

700p-166

000,所以L'(p)=-3p2-300p+11

700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23

000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23

000元.12345678910111213141516179.函数f(x)=6-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为(

)A.-46 B.-35 C.6

D.5B(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B.123456789101112131415161710.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(

)A.-13 B.-15 C.10

D.15A解析

对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.123456789101112131415161711.（多选题）若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(

)A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]AD123456789101112131415161712.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是

.

(-4,-2)123456789101112131415161713.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是