高中数学《系统抽样》导学案

2.1.2系统抽样

卜课前自主预习

1.系统抽样的概念

先将总体中的个体逐一编号，画然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取,

先从第一个间隔中画一随机地抽取一个号码，然后画一逐个抽取的号码依次增加

间隔数，即得到所求样本.

2.系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，步骤为：

R自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)总体个数较多时可以用系统抽样法.()

(2)整个系统抽样过程中，每个个体被抽到的机会可能不相等.()

(3)用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，要平均

分成〃段，每段各有十N个号码.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做

(1)在一次抽样活动中，采取系统抽样的方法，若第一组抽取的是2号，第二

组抽取的是12号，则第三组抽取的是()

A.21号B.22号C.23号D.24号

答案B

解析:.第一组抽取的是2号，第二组抽取的是12号，...组距为10,故第

三组抽取的是2+10X2=22号，故选B.

(2)(教材改编P59T3)校团委会把全校同学中学号末位是0的同学召集起来，

开座谈会，这是运用了抽样.

答案系统

解析结合抽样的特征可知，该抽样为系统抽样.

(3)某校高中三年级有1242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1：

40的比例抽取一个样本，那么随机剔除名学生.

答案2

解析为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于

窃124的2余数是2,所以要随机剔除2名学生.

卜课堂互动探究

探究1对系统抽样概念的理解

例1(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金

额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将

65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样

本的方法是()

A.抽签法B.随机数法

C.系统抽样法D.以上都不对

(2)为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量

为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔左=.

［答案］(1)C⑵40

［解析］(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组

抽出了15号，以后各组抽15+50〃(“©N*)号，符合系统抽样的特点.

(2)根据样本容量为30,将1200名学生分为30段，每段人数即间隔左=器

=40.

拓展提升

应用系统抽样的前提条件

(1)个体较多且均衡的总体.

(2)当总体容量较大，样本容量也较大时，适宜用系统抽样.

【跟踪训练1】某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐

满了听众，会后留下座位号为20的所有听众进行座谈，这是运用了()

A.抽签法B.随机数表法

C.系统抽样法D.放回抽样法

答案C

解析此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座位号为20

的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20+46”，符合系统抽样特点.

探究2系统抽样的应用

例2为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考

试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.请用系统抽样写出抽取

过程.

［解］(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3,…，15000.

(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1：100,所以我们将总体平均分

为150个部分，其中每一部分包含100个个体.

(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.

(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356,…，14956,这样就得到

一个容量为150的样本.

拓展提升

当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔左=£;当用系统抽样抽取样本

时，通常是将起始数s加上间隔左得到第2个个体编号(s+左)，再加左得到第3

个个体编号(s+24)，依次进行下去，直到获取整个样本.

【跟踪训练21某电视机厂每天生产1000台电视机，要求质检员每天抽

取30台检查其质量状况，请你设计一个抽取方案.

解我们可采用系统抽样，方案如下：

第一步，由于1000=33X30+10,所以先用简单随机抽样的方法从总体中

抽取10台电视机，不进行检验.

第二步，将剩下的电视机进行编号，编号分别为0,1,2,…，989,并将其按

编号的先后顺序分为30组，每组33台电视机.

第三步，从第1组(编号为0,1,2,3,…，32)的电视机中按照简单随机抽样的

方法抽取1台电视机，记其编号为左

第四步，按顺序抽取编号分别为左+33,左+66,左+99,…，左+29X33的电

视机，这样总共抽取了30台电视机，对这30台电视机进行质量状况检查.

探究3系统抽样的设计

例3某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1：

5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程.

［解］(1)先把这253名学生编号000,001,…，252；

(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；

(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3,…，250；

(4)分段.取分段间隔左=5,将总体均分成50段，每段含5名学生；

(5)从第一段即1〜5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如/；

(6)从后面各段中依次取出/+5,Z+10,/+15,…，/+245这49个号.这样

就按1：5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.

拓展提升

(1)当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个

体.但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机

会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.

(2)剔除个体后需对样本重新编号.

(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号

便随之确定了.

【跟踪训练3］为了解参加某种知识竞赛的1010名学生的成绩，从中抽

取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程.

解适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

(1)随机地将这1010名学生编号为1,2,3,…，1010.

(2)用随机数表法任取出10个号，从总体中剔除与这10个号对应的学生.

(3)把余下的1000名学生重新编号1,2,3,…，1000.

(4)分段.取分段间隔左=20,将总体均分成50段.每段含20名学生.

(5)以第一段即1〜20号中随机抽取一个号作为起始号，如s.

(6)从后面各段中依次取出s+20,5+40,s+60,…，s+980这49个号.

这样就抽取了一个样本容量为50的样本.

<------------------------------------------1逑堂提外।-------------------------

1.系统抽样的特征

(1)当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样.

(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，

因此，系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为左=［加.

(3)在第一部分的抽样采用简单随机抽样.

(4)每个个体被抽到的可能性相等.

2.系统抽样与简单随机抽样的关系及优缺点

(1)系统抽样与简单随机抽样的关系：

①系统抽样在将总体中的个体均分后的第一段进行抽样时，采用的是简单

随机抽样.

②两种抽样，每个个体被抽到的可能性都是一样的.

(2)系统抽样与简单随机抽样的优缺点：

①当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节

约成本.

②系统抽样比简单随机抽样应用范围更广.

③系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所

得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期

性，可能造成系统抽样的代表性很差.

卜随堂达标自测

1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为

40的样本，则分段的间隔为()

A.50B.40C.25D.20

答案C

解析根据系统抽样的特点，可知分段间隔为曙=25.

2.某校高一(1)班共有40人，学号依次为1,2,3,…，40,现用系统抽样的

方法抽取一个容量为5的样本，若学号为2,10,18,34的同学在样本中，则还有一

个同学的学号应为()

A.27B.26C.25D.24

答案B

解析根据系统抽样的定义可知，抽取样本的号码具备等距离性...IO—2

=8,.*.18+8=26,即另外一个同学的学号为26.故选B.

3.要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从

1〜160编号.按编号顺序平均分成20组（1〜8号，9〜16号，…，153〜160号），

若第16组应抽出的号码为125,则第一组中按抽签方法确定的号码是（）

A.7B.5C.4D.3

答案B

解析因为是系统抽样，设第一组确定的号码为k,则第16组确定的号码

为人+15X8=125,所以第一组确定的号码是125—15X8=5.

4.某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用

系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是.

答案靠

20

解析采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k=5,但每名员工被剔

除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这

52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为吃=5.

5.某学校三年级共有36个班，每班50人,学号为1〜50,有一次学校对

学生进行问卷调查，了解学生对教学工作的意见，需选取36名学生，怎样的抽

样方法较为合理？

解采用系统抽样较合理.设每班一组，共36组，编号为1〜36组，先在

第一组用简单随机抽样抽出一名学生，再将其他各组与此学生学号相同的学生全

部抽出.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已

确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样的方法抽取,

每组容量为（）

A.10B.100C.1000D.10000

答案C

解析由系统抽样的特点知每组抽取一个，故每组容量为端1000,选

c.

2.某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册

图书，检查其质量状况，我们采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（）

A.8B.9C.9.5D.10

答案B

解析：362不能够被40整除，

，先剔除2个，剩余360个.

7360-40=9,，抽样的间隔为9,故选B.

3.有20个同学，编号为1〜20,现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用

系统抽样方法确定所抽的编号为（）

A.5,10,15,20B.2,6,10,14

C.2,4,6,8D.5,8,11,14

答案A

解析将20个同学分成4个组，每组5个号，间距为5.

4.总体容量为524,若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是

（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析因为5学24=131,所以当间隔为4时，不需要剔除个体.

5.用系统抽样的方法从个体为1003的总体中，抽取一个容量为50的样本，

则在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是（）

11501

A-1000B-1003C-1003D20

答案C

解析根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为玄，虽

然抽样过程中剔除3个个体，但在剔除个体时采用的是简单随机抽样，每个个体

被抽到的可能性相等，所以每个个体入样的可能性是滥.

二、填空题

6.从编号为0,1,2,…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量

是9的样本.若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为

答案86

解析样本间隔为90+9=10,设第一个编号为x,

因为编号为36的产品在样本中，所以36=3X10+x.则第一个编号为6,则

最大的编号为6+8X10=86.

7.某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量

为n,则不需要剔除个体，若样本容量为n+1,则需剔除2个个体，则n=

（只填序号）.

答案4或6或9

解析由题意知〃为72的约数，n+1为70的约数，其中72的约数有

1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,其中加1后能整除70的有1,4,6,9,其中n=l不符

合题意，故冏=4或6或9.

8.一个总体中的80个个体的编号为0,1,2,…，79,并依次将其分为8个

组，组号为0,1,…，7,用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先

在第0组随机抽取一个号码，记为3依次错位地得到后面各组的号码，即在第

女组中抽取个位数字为，+左（当z+RlO时）或，+左一10（当叶左三10时）的号码.当

7=6时，所抽到的8个号码是.

答案6,17,28,39,40,51,62,73

解析由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6+1=7,故应选17；

在第2组抽取的号码的个位数字是6+2=8,故应选28；依此类推，应选

39,40,51,62,73.

三、解答题

9.某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取4