切线问题综合【11类题型】（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学切线问题综合近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年甲卷第6题，5分考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参（1）求在某处的切线（2）设切点求过某点的切线以及公切线（3）利用切线的条数求参数范围2024年新高考I卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I卷第7题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】求在曲线上一点的切线【题型2】求过某点的切线【题型3】已知切线斜率求参数【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值【题型5】奇偶函数的切线斜率问题【题型6】切线斜率取值范围问题【题型7】公切线问题【题型8】由切线条数求参数范围【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题【题型11】牛顿迭代法本号资料全部来源于微信公众号：数学第#六感模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】求在曲线上一点的切线函数在点处的切线方程为，抓住关键（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，故切线方程为，故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.【巩固练习1】已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由得，所以直线的斜率，又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为.【巩固练习2】（23-24高三·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解.【详解】由切线方程，得，将代入切线方程，得，所以，则.【题型2】求过某点的切线【方法技巧】设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（

）#本号资料全部来源于微信公众号：数学*第六感A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为，由可得，则过坐标原点的切线的斜率，故，即，解得，故过坐标原点的切线共有1条．（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.【巩固练习1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标.【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以，解得，所以切点为.【巩固练习2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则.【答案】【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解.【详解】因为，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.【巩固练习3】(2019·江苏卷)在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【答案】.【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【巩固练习4】（23-24高三·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值．【详解】两条切线，的倾斜角分别为，，根据题意，，若点是切点时，切线斜率为，若点是切点（点不重合），则，由，解得（舍去），所以直线斜率为，则．【题型3】已知切线斜率求参数已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.【答案】【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.【详解】曲线的导数,∵曲线在处的切线的倾斜角为,∴,∴,∴（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.【详解】设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.【巩固练习1】（23-24高三·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（

）A．e B．2 C． D．【答案】D【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解.【详解】设切点，则，故切点处的切线方程为，故，将代入得，故，解得或，若，则，此时无解，故不符合题意，若，则，故，此时满足题意【巩固练习2】（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【解析】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得，所以，且，则，即．【巩固练习3】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】因为，，则，，可得，，，，因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率，所以，解得，所以.【巩固练习4】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．【答案】3【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值.#本#号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】设直线l与曲线相切于点，本号资*料全#部来源于微信公众号：数学第六感由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得．设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得．【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.（23-24高三·安徽·阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（

）A． B．5 C．6 D．【答案】D【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可．【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，设切点为，因为是单调递增函数，直线的斜率为1，所以，解得，即切点为，所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即为．（23-24高三·广东惠州·阶段练习）已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为．【答案】【分析】求导，设的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由，可得，又点在曲线上，设，则过点和平行的切线的斜率为3，令，则，，点与直线的最小距离为．【巩固练习1】（23-24高三·河南南阳·阶段练习）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析可知，则点P到直线的距离的最小值即为点到直线的距离，运算求解即可.【详解】因为的定义域为，且，令，解得，则，可得点，且点到直线的距离，所以点P到直线的距离的最小值是.【巩固练习2】（23-24高三·河北石家庄·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离.【详解】直线的斜率为，所以，令得，，将代入可得，则在点的切线斜率为，所以切点到直线的距离为：.【巩固练习3】（23-24高三·河南·阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为.【答案】【分析】将函数求导，然后令导数为，即可求得点的坐标，再由点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果.【详解】对函数求导可得，其中直线的斜率为2，则令，即，解得或（舍），当时，，则曲线上一点到直线的距离最小，由点到直线的距离公式可得最小值为.【巩固练习4】（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.【详解】由题意的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值，而点A就是曲线与直线相切的切点，因为曲线上其它点到直线的距离都大于，对求导有，由可得，即，故.

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】由题设，当时，，故时，，所以，而，故切线方程为，即．故答案为：（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感【详解】当时，，函数是偶函数，本号资*料全部来源于微*信公众号：数学第六感当时，，，当时，，，即曲线在处切线的斜率为-5.而，所以曲线在处的切线方程为：.所求即为.（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的的性质求.【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.又在处的切线方程为：，所以.所以.【巩固练习1】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程.【详解】当时，，，是奇函数,，，，,切点为，切线方程为．切线方程为．【巩固练习2】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由奇函数的导数为偶函数可知为偶函数，结合导数的几何意义即可求解.【详解】因为在点处的切线方程为，.又两边求导得：，即为偶函数，【巩固练习3】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.【巩固练习4】（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2.【巩固练习5】（23-24高三·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.【详解】由函数，可得，所以且，因为函数与偶函数在交点处的切线相同，所以函数与相切于，且，又因为为偶函数，所以，且，所以函数在处的切线方程为，即．【题型6】切线斜率取值范围问题利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，则，又，所以（2021·河南洛阳·二模）已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是.【答案】【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围，根据斜率与倾斜角的关系可求的取值范围.【详解】∵，∴，∴，∵，∴过点的切线的倾斜角的取值范围是，故答案为：.【巩固练习1】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，函数，可得，因为，所以，即切线的斜率，设切线的倾斜角为，则又因为，所以或，即切线的倾斜角的范围为.【巩固练习2】（22-23高三·江苏镇江·阶段练习）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导，求出导函数的值域，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，所以点处切线的斜率的取值范围为，即，又，所以角的范围是.【题型7】公切线问题公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．本号资#*料全部来源于微信公众号：数学第六感公切线问题主要有以下3类题型（1）求2个函数的公切线解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解（2）2个函数存在公切线，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题（3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题(浙江绍兴二模T15)与曲线和都相切的直线方程为__________.【答案】【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，所以，解得，所以该直线的方程为（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围.【详解】两个函数求导分别为，设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以，设，，，令，所以，所以在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增，所以，.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.【详解】设曲线切点为，的切点为，则曲线在点处的切线方程为，即，同理，在点处的切线方程为，根据与有两条公切线，则，所以，化简可得具有两个交点，转化为有两个解，构造函数，则，当，，单调递增；当，，单调递减，故在时有极大值即为最大值，故，当时，，当时，，故的取值范围为【巩固练习1】（23-24高三·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.【详解】设切点分别为，且导数为，所以切斜方程为既为，也为，所以，且，所以，所以或，所以公切线的斜率为或.【巩固练习2】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.【答案】2【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.本号资料全部来源于微信公众#号：数学第六感【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.【巩固练习3】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感【答案】2【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果.【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：，解之得：，故：，与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：.本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感【巩固练习4】已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．本号资料全部来源于微信#公众号：数学第六感【答案】【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为.【巩固练习5】（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1【答案】A【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出.【详解】依题意得，设直线的方程为，即，由直线和圆相切可得，，解得，当时，和相切，，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得.即时，；当时，和相切，，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得.本号资料全部来源于微信公众号：#数学第六感即时，.综上所述，或.【巩固练习6】(长沙雅礼中学月考（六）)已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________【答案】

【解析】设直线与函数的切点为，由，所以，解得，所以切点为，所以，解得，即切线方程为，设直线与函数的切点为，则，解得，即，设切线方程为，且与的切点为，与的切点为则，，整理可得，，所以，整理可得，设，则，设，则，所以在为增函数，又因为，所以在上，即，所以单调递减；在上，即，所以单调递增，所以，即，解得.【题型8】由切线条数求参数范围设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是.本号资料全部来源于#微信公众号：数学第六感【答案】【分析】设切点为：，根据切线过点，得到，令，再根据过点仅可作曲线的两条切线，由与的图象有两个交点求解.【详解】设切点为：，，所以切线方程为，又因为切线过点，所以，即，令，则，令，得或，当或时，，当时，，，当时，则，且；当时，则，所以的图象如图所示：因为过点仅可作曲线的两条切线，所以与的图象有两个交点，则或.（2024届广东省六校高三第一次联考T8）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是________【答案】【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.【详解】设过点的直线为，，设切点为，则，得有三个解，令，，当，得或，，得，所以在，单调递增，单调递减，又，，有三个解，得，即.【巩固练习1】（23-24高三·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围．【详解】设切点为，∴切线的斜率，∴切线方程是，∵切线过点A（a，0），∴，即，∵过点A（a，0）可以作两条切线，∴方程有两个不同的根，∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．【巩固练习2】(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到切线方程，依题意关于的方程有两个不同的解、，利用韦达定理计算可得.【详解】因为，所以，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，依题意关于的方程有两个不同的解、，即关于的方程有两个不同的解、【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案.【详解】点不在函数的图象上，则，即，设过点的直线与的图象相切于，则切线的斜率，整理可得，则问题可转化为只有一个零点，且，令，可得或，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，即当时，有极大值，当时，有极小值，要使仅有一个零点，或【巩固练习3】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（

）本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．【答案】C【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得.令，则.当时，单调递减，当时，单调递增，所以，且当时，，当时，，又直线与曲线的图象有两个交点，所以的取值范围为.【巩固练习4】已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，得出单调性，即可求出点的轨迹长度.【详解】由题意，设点，过点的直线与曲线相切于点，∴，的方程为，∴，化简得，设，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，，∴满足条件的恰有三个，∴，即，∴点的轨迹长度为8.【巩固练习5】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.【巩固练习6】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，在点处的切线方程为：；切线过点，，过点可以作曲线的两条切线，令，则与有两个不同交点，，当时，，在上单调递增，不合题意；本*号资料全部来源于微信公众号：#数学第六感当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增，，，即，又，.【巩固练习7】（2024高三·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【详解】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.【详解】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.【详解】由函数，可得，因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，可得为偶函数，所以，解得.（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则，切线方程为.【答案】【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.【详解】设公共点为，则，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，则，则，所以切线方程为，即.故答案为：；【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.【详解】由题意知，因为切线与直线垂直，所以曲线在点处的切线斜率都是，即关于的方程有两个不相等的正实数根，化简得，有两个不相等的正实数根，则，解得.【巩固练习2】（23-24高三·辽宁·阶段练习）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，问题转化为有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果.【详解】因为，则，令，整理得，设，则，时，；时，；可知在上单调递减，在上单调递增，则，当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，由题意可知：有两个不同的解，即与的图像有两个不同的交点，则，解得，令，则，可知，即切点坐标为，则切线方程为，代入点可得：，解得，且，所以实数的取值范围是.【巩固练习3】（2024·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．【答案】【分析】利用给定条件得到，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.【详解】易知，设，则，设切线斜率为，则，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为．【巩固练习4】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为.【答案】(答案不唯一)【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解.【详解】，由题意可知，，即，所以，得，，，或，得，，，所以，，,所以的一个取值为.【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】设切点坐标为．由已知，得，则，解得．又切点在切线与曲线上，所以，所以．令，则．令，解得．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以，即，所以，则的最小值为－1．【巩固练习1】（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，∴．又∵切点在直线上，∴，解得．∴．令，则，，令，解得：；令，解得：；可得在上单调递增，在上单调递减，时，，时，，当趋近负无穷时，趋近，；，故的取值范围为．【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解.【详解】解：设直线与曲线切于点，则，所以切线方程为，所以，，所以，设，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.【巩固练习3】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为．【答案】【解析】设切点为，，所以切线的斜率，则切线方程为，即，故，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即的最小值为.【巩固练习3】对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为.*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【答案】【解析】由得，设切点坐标为，则，消去可得，所以，令，则，当1时，单调递增；当时，令，则，所以在区间上单调递减，因为，所以当时，，即单调递增.因为当趋近于0时，趋近于负无穷大，当从1左边趋近于1时，趋近于正无穷大，当从1右边趋近于1时，趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于0，作出的大致图象，所以若对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为.【题型11】牛顿迭代法数形结合处