抛物线中的常考二级结论与模型【7类题型】（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学抛物线中的常考二级结论与模型近两年新高考中抛物线较多出现在多选题，从备考出发需要加深对抛物线常考二级结论和模型的研究，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤，研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年新高考II卷，第10题抛物线焦点弦的几何性质抛物线解析式，焦点坐标抛物线与圆2022年新高考I卷，第11题直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线是否相切，距离公式与弦长公式2022年新高考II卷，第10题抛物线焦点弦的几何性质综合含参抛物线的运算2021年新高考I卷，第14题已知斜率，求焦点弦长弦长公式2020年新高考，第13题由垂直关系求抛物线的准线方程利用向量数量积处理垂直关系总览总览题型解读【题型1】抛物线焦半径角度型公式的应用 7【题型2】联立韦达化处理（选填常考） 14【题型3】阿基米德三角形模型（双切线模型） 26【题型4】抛物线与圆 36【题型5】过焦点的直线与准线相交 42【题型6】中点弦问题（点差法） 48【题型7】最值与范围 53模块一模块一高考真题再现1．（2023·全国·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.4．（2020·山东·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．【答案】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得

所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：5．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.模块二模块二高考模拟·新题速递【题型1】抛物线焦半径角度型公式的应用如图，过抛物线焦点F的直角与抛物线交于，两点，直线与x轴夹角为θ，本号资#料全部来源于微信公众号：数学第六感则较长的焦半径，较短的焦半径，焦点弦，补充：

【证明】：别过，作x轴的垂线，垂直为H，M，易知AHTP，BMTQ为矩形在△中，由抛物线定义可得：，则，解得；在△中，由抛物线定义可得：，则，解得2024·湖南衡阳·二模已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则．【答案】【分析】根据二级结论，先求得，再求即可.【详解】作抛物线的准线，记准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足分别为，过作轴的垂线，垂足分别为，如下所示：

设，在△中，由抛物线定义可得：，则，解得；在△中，由抛物线定义可得：，则，解得；由题可知：，，解得；则.2024·云南楚雄·模拟预测已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解.【详解】如图，过点作，由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由，，所以,即

（2024·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是.【答案】【详解】如下图示：

【简析】由结论可知，故已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为.【答案】16【简析】设，则则，而，乘“1”即可（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为，设过焦点的直线方程为设直线：，，，联立直线与抛物线方程得消元得，由韦达定理可得，，所以，又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确；由知，解得，所以，故选项C正确；，故选项D正确；故选：BCD.2024届·辽宁大连统考（多选）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（

）A．若，则中点到轴的距离为4B．弦的中点的轨迹为抛物线C．若，则直线的斜率D．的最小值等于9【答案】BCD【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，对于A，依题意，，解得，线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，由消去x得，，则，，，设线段中点坐标为，则，消去可得，因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；本号资料全部来源于微信公#众号#：数学第六感对于C，显然，由，得，，由选项B知，有，又，则，，因此直线的斜率，C正确；对于D，由选项B知，，则，因此，当且仅当，即时取得等号，D正确.本号资料*全部来源于微信公众号：数学第六感故选：BCD(多选)如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（）A. B.四边形的面积为100C. D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义可得判断A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，所以，，故A正确；如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，连接，由抛物线的定义可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故B错误；连接，因为，所以，所以，故，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，本号资料全部来*源于微信公众*号：数学第六感则，，所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，当，即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故D正确.【题型2】联立韦达化处理（选填常考）一、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点则,.二、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感①抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.③若恒过定点.④以为直径的圆必与准线相切.⑤若的中点为，则(梯形中位线)⑥为定值.三、一般弦长设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.（多选）已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（

）A．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为C．设，则的最小值为D．若，则直线AB过定点【答案】ABD【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与的关系及抛物线的定义求的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点【详解】设．对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则，可得，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，所以的最大值为8，故A正确；对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则，由题意可知直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的倾斜角为，故B正确；对于选项C：设，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于选项D：设直线AB的方程，代入抛物线，得，则，可得，因为，所以，因为，解得，满足，则直线AB的方程为，所以直线AB过定点，故D正确．2024·江苏南通·二模设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解，【详解】根据题意可得抛物线的焦点，准线方程为，到准线距离为，到准线距离为，法一：设线+韦达化处理（通法）则有，设直线方程为，联立，可得，则，得，故，设，，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.法二：设点+相似比（计算小），设,，由相似可知，代入消元得，，解得，则，而A,N,M三点共线，故法三：利用对称性+焦比公式如图，延长MF，NF分别交抛物线于P，Q，则MFP三点共线，且NF=PF故，再结合,故∠MFH=60°补充证明设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，延长MF与抛物线交于点P，则P，N关于x轴对称

证明：设，，,，故，即P，N关于x轴对称【继续提问】若P，N关于x轴对称，那么M，F，P是否共线？解：设，， 而，故直线AM与直线PF交抛物线于同一点，所以P，F，M三点共线2024·江苏·一模在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为；的值为.【答案】25【分析】设，与抛物线联立，由韦达定理得，，从而得到的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，得到的值.【详解】令，，，线段的中点为联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即，由于在抛物线中，，所以.2024·广东湛江·一模（多选）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（

）A．B．若以线段AB为直径的圆过点F，则C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切【答案】ABC【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D.【详解】设，直线的方程为，，的中点为，由消去并整理得：，得，由题意，，所以，即，所以，则，故A正确；以线段为直径的圆过点，所以，所以，又，所以，，解得满足题意.由，得，所以B正确；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则，又，所以，解得：，所以，故C正确；若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即，又，所以无解，所以D错误.

（2024·黑龙江·二模）已知抛物线，经过焦点斜率为的直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的值为.【答案】【分析】联立直线方程和抛物线方程后求出中垂线方程和，再求出后可求的值.【详解】抛物线的焦点的坐标为，故.设，的中点为，则由可得，，又，所以，又，所以，故的中垂线的方程为：，令，则，故，所以.（多选）如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（

）A．当直线的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2C．存在直线使得 D．若，则直线的倾斜角为【答案】AD【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知，可设，设，与抛物线方程联立得，则，对于A项，当直线的斜率为1时，此时，由抛物线定义可知，故A正确；易知是直角三角形，若，则，又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；由上可知 ，即，故C错误；若，又知，所以，则，即直线的倾斜角为，故D正确.（多选）已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（

）本号资料全部来源于微信公众号：数学第六#感A． B．直线的斜率是C． D．设原点为，则的面积为【答案】AC【分析】由为中点和抛物线的定义可判断选项A；将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理可判断选项B；利用弦长公式可判断选项C和选项D.【详解】

设，，，由向准线作垂线，垂足为，由向准线作垂线，垂足为，连接,，由题知，直线的斜率一定存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为：，联立得，，，，对于A，为中点，∽，，，，，，故A正确；对于B，，，，，，，，，解得，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，故D错误.2024·福建·模拟预测（多选）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（）A． B．∠ADB是锐角C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形【答案】ABD【分析】设出点，，由题意分析可知三角形为正三角形，联立方程组，解出点的坐标，逐项判断即可.【详解】由抛物线，可知，，设点，，则，所以，而，所以，所以，所以三角形为正三角形，所以，又轴，所以，，则，所以，，，所以直线的方程为：，联立方程，可得，所以，则，所以，所以，故A正确；，且，，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；由于以为直径的圆与准线相切，点在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确；，，，所以，，所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误.2024·湖南常德·三模（多选）过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆过坐标原点B．C．若直线的斜率存在，则斜率为D．若，则【答案】ABC【分析】设，，，将抛物线方程与直线方程联立，利用韦达定理求出，进而得到，代入各选项求解即可.【详解】由题意可知直线斜率不为，设，，，联立得，则，，，，因为，所以，以为直径的圆过坐标原点，A说法正确；，B说法正确；因为为线段中点，所以，若直线的斜率存在，则，直线的斜率，C说法正确；若，则，由抛物线的定义可得，D说法错误（多选）已知抛物线：的的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BD【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确.【详解】抛物线，即，对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；本号资料全部来源于微信公众号：数学第六#感对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，则，，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，所以当时，，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，则，即点纵坐标为，所以到轴的距离为，故D正确.已知抛物线.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形面积的最小值为．【答案】32【详解】

依题意知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,与抛物线方程联立,得，消去,整理得,设其两根为,则.由抛物线的定义可知，,同理可得,四边形的面积.当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32.【题型3】阿基米德三角形模型（双切线模型）一、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.本号#资料全部来源于微信公众号：数学第六感【性质5】，设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【简析】因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____【答案】【简析】如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，所以当且仅当时取等（多选题）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（

）A．点在抛物线的准线上 B．C． D．若，则的值为【答案】ACD【详解】由题意知，故l：，与抛物线联立，可得，则，设，，则．对于A，由抛物线可得，所以直线的斜率，则直线的方程为，同理可得直线的方程为，联立解得．又，故点P在抛物线的准线上，故A正确；对于B，，故，故B错误；对于C，直线l的方程为，则，直线的方程为，可得所以，故则FQ⊥BQ，故C正确；对于D，由，直线l的方程为，与抛物线联立可得，解得，则，则，得，故D正确．2024届嘉兴市统考已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率．本*号资料全部来源于微信公众号：数*学第六感【答案】2【简析】因为AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在准线上，且PM⊥准线，PF⊥⊥AB故（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（

）A．B．若，则点处的切线方程为C．存在点，使得D．面积的最小值为4【答案】ABD【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确.【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得，再设，则，所以A正确；对于B中，由抛物线.可得，则，则过点的切线斜率为，且，即，则切线方程为：，即，若时，则过点的切线方程为：，所以B正确；对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，即，所以C错误；对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为，联立直线的方程可得，所以，，，则，当时，有最小值为，所以D正确.（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4【答案】ABD【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.

故选项C不正确.对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．以为直径的圆过点【答案】ACD【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线.若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，设、，由可知为的中点，所以，且，，由可得，所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，联立可得，所以，，对函数求导可得，所以，切线的方程为，即，同理可知，切线的方程为，联立可得，即点，易知抛物线的焦点为，所以，，A对；因为直线过点，所以，，B错；因为，，所以，，所以，故C正确；因为，且为的中点，所以，，因此，以为直径的圆过点，故D正确. （多选）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（

）A．抛物线的方程是 B．C．当时， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出抛物线的方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线、的斜率之和，可判断D选项.【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，因为点在抛物线的准线上，则，可得，所以抛物线的方程为，A对；对于B选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，，则，所以，B对；对于C选项，因为，即，则，因为，可得，则，则，此时，，C错；对于D选项，，同理可得，所以，所以，D对.2024届·广东省四校第一次联考过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.【答案】.【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆点与圆相切时斜率取到最值【常规法详解】设，不妨设，由，可得，可得，则，可得切线的方程为因为点在直线上，可得，同理可得：，所以直线的方程为，可得直线过定点，又因为在直线上的射影为，可得且，所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，当与相切时，由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得切线方程为，则，解得或，所以实数的范围为.故答案为：.

（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点【答案】BD【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，则，整理得，同理得，所以，为方程的解，，所以，则，故B正确；由B选项得，所以，故C错；由B选项得，又，联立得，同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．

【题型4】抛物线与圆设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（

）A．B．准线方程为C．以线段为直径的圆与的准线相切本号资料*全部来源于微信*公众号：数学第六感D．直线的斜率之积为定值【答案】ACD【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确.【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A正确；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，可得，则，所以D正确.故选：ACD.

（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（

）A．B．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.【详解】

由题，焦点，设直线,联立，，，同理可得，，，故A选项正确；，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；记中点，则点M到y轴的距离为，由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；，记中点，则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（

）A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切B．直线过焦点时，的最小值为6本号资料全部来#源于微信公众号：数学#第六感C．若坐标原点为，且，则直线过定点D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上【答案】ABD【分析】对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设方程为，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C：设方程为，设，，联立方程，根据垂直关系可得，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线在点处的切线方程为，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断.【详解】对于选项A：如图1，设中点为，分别过点向准线作垂线，垂足为，

则由抛物线的定义可得，，.因为中点为，所以有，所以以为直径的圆与的准线相切，故A正确；对于选项B：由抛物线，可得，由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，联立直线与抛物线的方程，消去x可得，则恒成立。可得，，则，所以当且仅当时，取到最小值6，故B正确；对于选项D：先证抛物线在点处的切线方程为，联立方程，消去x得，可知方程组只有一个解，即直线与抛物线相切，可知抛物线在点处的切线方程分别为，，联立方程，解得，即点，结合选项B可得：，所以点在抛物线的准线上，故D正确；对于选项C：由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，，则，，若，则，解得或（舍去），联立直线与抛物线的方程，消去x可得，则，解得，此时，符合题意，所以，则直线过定点，故C错（2024·福建漳州·模拟预测）（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为.B．周长的最小值为.C．当最大时，直线的方程为.D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.【答案】BD【分析】A选项：通过抛物线方程计算可得；B选项：运用抛物线定义，将转换为到准线的距离即可求出周长最小值；C选项：将最大问题，转换为的最大值问题，再讨论；D选项：结合A选项得到的结论，判断四边形的面积最小时点坐标.【详解】对于A选项，设，则，当且仅当时取等号，此时或，所以，，故A选项错误；对于B选项，抛物线的准线方程为，如图1，过作准线的垂线，垂足记为，则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，此时，又，所以周长的最小值为，故B选项正确；对于C选项，如图2，当与圆相切时，且时，取最大．连接，，由于，，，所以，可得直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C选项错误；对于D选项，如图3，连接，，由A选项知，，且当或时，，此时四边形的面积最小，的横坐标是1，所以D选项正确，故选：BD．

【题型5】过焦点的直线与准线相交一、结合锐角三角函数与相似二、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即看到准线想到焦点，看到焦点想到准线（2024·海南·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（

）本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题意画出图形，通过做辅助线，结合特殊角解直角三角形以及抛物线的定义即可求解.【详解】如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，分别过点作，垂足分别为，设交轴于点，准线与轴交于点.由题知的倾斜角为，所以，从而，则，又.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过焦点F作斜率为的直线分别交抛物线C和准线l于点P，Q，若点P在第一象限，则.【答案】4【分析】过作与准线垂直，垂足为，设准线与轴交点为，根据抛物线的定义，结合三角形的性质求解即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，设准线与轴交点为，设，则.由直线PQ斜率为，则直线PQ倾斜角为，有，又由三角形的性质可得，，即，所以，，即.

（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数.【答案】【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可.【详解】由题设知：共线，且，如下图，作，垂足分别为，则，所以，又，则，所以，即，故.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为．【答案】【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.【详解】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，本号资料全*部来源于微信公众号：数学第六感在直角三角形中，因为，，所以，从而得，本号资料全部*来源于微*信公众号：数学第六感设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.【答案】3【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，则.根据抛物线定义知，，设，因为，所以，∴.设，所以，所以已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则【答案】4【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比例线段，从而可得，即，从而可得．【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，所以，又由定义知，所以.

已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则．【答案】4【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，因为，所以，所以，解得.

（2023·广东茂名·三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.【答案】【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，在中，，所以，所以，故在中，，所以，则.又轴，，所以，又抛物线，则，所以，（不联立亦可）本号*资料全部来源于微信公众号：数*学第六感所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，本号资料全部来源于微信公众号：数学第#六感与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则，．

【答案】【解析】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，由得，设准线交轴于点，则，且，且，所以，所以．【题型6】中点弦问题（点差法）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则证明：设,,代入抛物线方程得，，将两式相减，可得，整理可得已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为.【答案】【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.【详解】设，，由题意，因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，，整理得，，即直线的斜率，直线的中点为，，，所以直线的方程为，化简得.故答案为：.

已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，，得到，，结合“点差法”求得，得到直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得，进而求得抛物线的准线方程．【详解】设，，弦所在直线方程为，则，，也点A，B在抛物线上，可得，两式相减可得，所以，即，所以弦所在直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以抛物线的准线方程为．故选：B．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【答案】【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求.【详解】设，因为，所以，所以，又因为，所以，因为都在第一象限，所以，又因为且，所以，所以，所以抛物线方程为直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.【详解】设，因为中点的横坐标为，则，可得，又由，两式相减得到，可得，可得，解得或，联立方程组，整理得，由，解得，所以.2024届·长沙市第一中学高三下学期月考（七）过抛物线的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，，点D为垂足．若F是AC的中点，且，则（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】根据题中的几何关系分别求出抛物线与直线的方程，进而联立两个方程，得到关于的一元二次方程，结合可得出答案.【详解】如图，设准线l与x轴交于点M．由抛物线的定义知．因为F是线段AC的中点，所以，所以，得，故抛物线E的方程为.由，得，（接下来也可以用焦点弦公式）所以直线AF的斜率，又，所以直线AF的方程为.联立，消去y并整理，得，设，，则，所以.（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．是定值C．是定值 D．【答案】ABD【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得，，，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得，结合直线方程可判定D选项.【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为，即A正确；设A、B的中点为D，则，易得①，又②，且③，④，将③④代入②可得：，代入①可得，故B正确，C错误；所以A、B的中点坐标为，则直线的方程为：，令得：，而位于抛物线内部，即，可得，则．即D正确.【题型7】最值与范围一、圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、与抛物线焦半径有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决（2024·河北邯郸·三模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16本号资料全部来源于微信公众号：#数学第六感【答案】A【分析】过及作准线的垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.【详解】由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13.（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物