椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题（点差法）由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化（手电筒模型）由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷（理），第10题椭圆第三定义（点差法）斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点总览总览题型解读【题型1】点差法（弦中点模型） 3【题型2】点差法（第三定义） 7【题型3】双曲线焦点三角形内切圆 11【题型4】焦点弦长与焦半径公式 14【题型5】焦点弦被焦点分为定比 17【题型6】焦点三角形+几何性质求离心率 18【题型7】利用对称性 20【题型8】渐近线的垂线模型 21本号资料全部来源于微信公众*号：数学第六感【题型9】双焦点三角形倒边模型 23【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程（2次余弦） 24【题型11】取值范围问题 25【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题 26模块一模块一高考真题再现2023·新高考1卷T16已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．2022·新高考2卷16题已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．2022年新高考I卷第16题已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．2022年全国甲卷（理）T10——第三定义椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2023全国乙卷·理11·文12设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6模块二模块二高考模拟·新题速递【题型1】点差法（弦中点模型）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理）本号资料*全部来源*于微信公众号：数学第六感 椭圆垂径定理（中点弦模型）：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】（1）椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；（2）在双曲线中是否有类似的性质？（1）设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 两式相减得：，整理得∴（2）∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得本号*资料全部来源于微信公众号：数学#第六感 ① ②两式相减得：，整理得可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：本号资料全部来#源于微信公众号：#数学第六感2024·江西鹰潭·一模已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2024·湖南邵阳·二模已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2024·宁波十校·3月适应性考试已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为.2024·福建龙岩·一模斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为.本号资料*全部来源于微信公众号：数学第六感2024·浙江温州·一模斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为.2024·吉林白山·一模不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2024·浙江省强基联盟联考（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．是定值C．是定值 D．【题型2】点差法（第三定义）第三定义 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：构造中位线设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得，∴同理可得，当焦点在y轴上时，椭圆有：；双曲线有：已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．2024·浙江绍兴·二模已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.2024届·河南天一大联考（六）·T14已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为、，点在上运动（与、枃不重合），直线交直线于点，若恒成立，则的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．2024届·湖北省腾云联盟高三联考已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为由双曲线定义，可知：又因为，所以，所以。即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知，，设，则有故，即，所以P，F2重合．2024·重庆南开中学·月考七如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（

）A． B． C． D．湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．2024届·云南昆明一中校考已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（

）

A．切点与右焦点重合 B．C． D．2023·广东广州·一模双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．【题型4】焦点弦长与焦半径公式椭圆焦半径与焦点弦夹角公式焦半径长公式：（长），（短），【特别的】焦半径倒数和为定值：本号资料全部来源于微#信公众号：数学第#六感证明：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理，在中，由余弦定理得，将代入化简得：则双曲线焦半径与焦点弦夹角公式已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α【答案】情况1：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理可得：，则.情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β【答案】情况2：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理可得：，则.2024·云南楚雄·一模过双曲线（，）的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左，右两支分別交于点，．若，则双曲线的离心率为．2024··重庆康德第一次联考已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为．2023届·青岛三模T8——2个二级结论已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________．过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为．当的倾斜角为时，四边形的面积为．【答案】2023浙江绍兴二模T16已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.2023届·湖南雅礼中学高三月考过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.2023·浙江嘉兴二模——焦点半径倒数和为定值已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.【题型5】焦点弦被焦点分为定比焦点弦被焦点分成定比：若，则 （注：抛物线默认e=1）简证：交叉相乘得：即已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为．（2024·广东深圳·宝安区统考）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是.2024届·长郡中学月考（三）T15已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为．2024届·浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率．【题型6】焦点三角形+几何性质求离心率求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．（2024·四川泸州·二模）已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（

）A． B． C． D．3（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆C：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．（23-24高三下·河南·阶段练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．（2024·湖南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．3 C．4 D．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为．（2024·山东临沂·一模）已知是双曲线的左､右焦点，点在上.，则的离心率为.（2024·辽宁鞍山·二模）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．已知双曲线的左焦点为，过的直线与圆相切，切点为，交双曲线的右支于点，且，则的离心率为．2024届·湖南省长沙市第一中学高三下学期月考（七）已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【题型7】利用对称性补成平行四边形本#号资料全部来源于微信公众号：数学第六感椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．2024·辽宁·一模已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．2024·广东湛江·一模——2条焦点弦平行已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为．2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【题型8】渐近线的垂线模型一、焦点到渐近线的距离为b1．设双曲线方程（焦点在x轴）、设（右）焦点，求出双曲线的渐近线方程，求焦点到（过一三象限的）渐近线的距离2．将渐近线的方程化为一般式，利用点到直线距离公式求距离，结合双曲线中a、b、c的关系求出结果3．根据双曲线的对称性（x、y轴对称，原点中心对称）可知，无论焦点在x轴还是y轴，无论是左焦点还是右焦点，无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）【证明】

设双曲线的方程为：则双曲线的渐近线方程为：设右焦点为（c，0），渐近线的一般式为：根据点到直线的距离公式得：故焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）二、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．（2024·河南·统考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为．（2024·全国·模拟预测）设为双曲线的右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为．（多选）已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为【题型9】双焦点三角形倒边模型2024·重庆巴蜀中学·适应性月考(七)已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（六）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．2024·陕西·模拟预测如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2024·云南昆明·一模已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程（2次余弦）2024·广东深圳·一模已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．2024·湖南常德·三模已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.重庆市第八中学等多校2024届高三下学期3月适应性月考卷（六）如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为.【题型11】取值范围问题解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意