存在任意双变量问题等值线高斯函数反函数嵌套函数等九类函数压轴题（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学存在任意双变量问题，等值线，高斯函数，反函数，嵌套函数等九类函数压轴题TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一分段函数问题题型二等值线问题题型三高斯函数（取整函数）题型四函数新定义题型五反函数问题题型六存在任意双变量问题题型七嵌套函数问题题型八构造新函数题型九保值区间与倍缩区间一、等值线问题等值线本是地理学中的名词，

借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)，

若存在互不相等的实数a，b，c，

使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，

则称直线为函数的等高线．

解决等高线问题时，

要注意函数本身的整体性，

遵循分段处理的原则，

首先画出分段函数的图象，

充分利用形的直观性与数的精确性，

挖掘函数的性质，

如对称性、不变性(如定和、定积)等，

从而有效地、快速地解决问题．

这类问题由四种常见题型．1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围二、反函数问题反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。对称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理解线与线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，且互为反函数关于y=x对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。三、存在任意双变量问题（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：=1\*GB3①∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；=2\*GB3②∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.四、

嵌套函数在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑推理。

这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）

题型一分段函数问题一、由分段函数的单调性求参数范围已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，即实数a的取值范围为.（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解.【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调，当时，，图象如图，满足题意；

当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；

当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即.

综上，.（2023上·浙江·高一校联考）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，对称轴为直线.因为在R上单调递增，所以，解得，所以a的取值范围是（2023上·重庆南开中学校考）（多选）若函数在上单调递增，则实数可能的值有（

）A． B． C． D．0【答案】BC【分析】利用分段函数在上的单调性，求出的范围即判断得解.【详解】由函数在上单调递增，得，解得，所以实数的取值范围是，即可能的值有，本号资料全部来源于微信公众号*：数学第*六感二、由分段函数值域求参数范围（2023上·浙江温州·高一校联考）若函数若在既有最大值，又有最小值，则的最大值为．【答案】3【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.【详解】当时，函数在上单调递减，，当时，，函数在上单调递增，函数值从1递增到2，在上单调递减，函数值集合为，当时，由，得，当时，由，得，由在既有最大值，又有最小值，得，因此，所以的最大值为3（2023上·浙江嘉兴·高一校联考）设函数，若存在最小值，则的最大值为.【答案】【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，，又时，，存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为（2023上·湖北黄冈·高一统考）已知若，则的值域为.若的值域是，则实数c的取值范围是.【答案】【分析】（1）当时，，根据分段函数取值，即可求解.（2）若给出值域，要判断实数c的取值范围可先根据两个图像的增减性，找到对应的最大最小值，进而约束c的范围，即可求解.【详解】解：若，则当时，，当时，综上，的值域是由己知，的值域是当时，，得，所以，得，当时，，，且有，易知，所以综上，实数c的取值范围是题型二等值线问题（2023·衡阳市耒阳二中期末）（多选）已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.【详解】函数的图象图所示：设，因为，所以，当时，，时，，所以，即.（2023·永州一中高一期末）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，得，问题转化为，有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.【详解】，令，得，函数有4个不同的零点，即有4个不同的根；根据题意，作出的图像，如图明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，，因为，故，令，得或，故，又因为，则，整理得故的取值范围为.（2023··高一重庆南开中学期末）（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为【答案】BC【分析】画出函数图像，方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解.【详解】有四个零点，所以有四个根，所以和函数图像有四个交点，且交点横坐标为，所以因为为正数，而，所以选项A错误；根据题意可得，，，根据对称性有所以，故选项B正确；，，故选项C正确；，当且仅当时成立，所以等号取不到，故选项D错误已知，若满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出函数图像，，设，得到，利用均值不等式计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示，设，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，故（2023上·江苏苏州·高一统考）已知若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.【详解】画出的图象，如下，设，则，令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得，且，其中，因为，所以，故，又，故，.（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是；的值为.【答案】【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；是方程的两根，则可求得，即，，是方程的两个根，化简结合韦达定理得，进而可求的值.【详解】由，即由结合图象可知的取值范围是，是方程的两根，即，故，即，由题意得，是方程的两个根，即方程的两个根，所以，则已知函数若存在，使得，则的取值范围是________．【答案】【解答】用韦达定理表示两根之积设，易知，是方程的根，所以是方程的根，所以已知函数，则.若存在,使得则.【答案】（1）；（2）6【解析】图像如下，设，显然，则已知函数，若方程有四个不同的实根满足则的取值范围是（）A．(0，3) B．（0，4] C．（3，4] D．(1，3)答案A解析作出函数的图象如图：根据条件，结合图形可知，且，其中则，中其中，因为在上单调递增，故已知函数,若方程有4个不同的实根，且,则.【答案】9【解析】显然，∴已知函数.，若关于x的方程有四个不同的且有则的取值范围是_______【答案】【解析】图像如下，显然，，则∵，∴题型三高斯函数（取整函数）（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（

）本号资料全部来*源于微信公众号：数学第六感A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】构造函数与，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数，，则，所以函数为定义域上的为偶函数，作出函数与的图象，如图所示，当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.故选：D.世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为．【答案】【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案.【详解】根据题意，设，则，当时，，所以，即，所以，此时的取值为1；当时，，所以，即，所以，此时的取值为；综上，的值域为（2023上·江苏苏州·高一统考）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，若集合，则A中元素的个数是．【答案】5【详解】，因为，，，则或或或或，故A中元素的个数为5.定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（

）A．的最小值为0，最大值为1B．在为增函数C．是奇函数D．满足【答案】D【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可.【详解】对于D，因为，使得，此时，，这表明了，故D正确；对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考）（多选）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（

）A． B．当时，C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数､奇函数【答案】ABC【分析】将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.【详解】对于A项，，则A正确；对于B项，当时，，得出，则B正确；对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C正确；对于D项，，，函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考）（多选）以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（

）A．，B．不等式的解集为C．当，的最小值为D．方程的解集为【答案】AB【分析】设的整数部分为，小数部分为，则，则得到A正确，解不等式得到，计算B正确，均值不等式等号条件不成立，C错误，举反例得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则，的整数部分为，，故，正确；对选项B：，则，故，正确；对选项C：，当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感对选项D：取，则，代入验证成立，错误（2023上·广东深圳·高一校考）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（

）A．在上是增函数 B．是奇函数C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确（2023上·广东广州·高一执信中学校考）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（

）本号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感A．是奇函数 B．在上是减函数C．是偶函数 D．的值域是【答案】AD【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．【详解】对于选项A：因为函数，，本号资料全#部来源于微信公众号：#数学第六感可得，所以函数为奇函数，故A正确；对于选项B：因为、在R上是增函数，所以在R上是增函数，故B错误；对于选项C：因为，则，，即，所以函数不是偶函数，故C错误；对于选项D：因为，则，可得，所以的值域为，故D正确（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）（多选）用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（

）A．B．为奇函数C．，都有D．与图象所有交点的横坐标之和为【答案】ACD【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.【详解】A：，对；B：，错；C：，则，对于，都有，故，对；D：令，又，所以，可得，当时，满足，即2为图象交点的横坐标；本号*资料全部来源于微信公众号：数学第#六感当时，，则，即为图象交点的横坐标；当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；当时，，则，即为图象交点的横坐标；综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.（2023上·重庆八中高一期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为.【答案】【详解】依题意，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，函数的值域为.故答案为：题型四函数新定义（2023上·广东深圳·高一校考）对任意，给定，，记函数，则的最小值是.【答案】4【分析】根据定义及一次函数、二次函数的单调性计算最小值即可.【详解】由定义可知当时，解之得，此时，当时，则，解之得或，此时，综上，易知在上单调递减，最小值为4，在取得；在上单调递增，在上单调递减，所以，综上的最小值是4（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.【详解】依题意，先作两个函数的草图，

因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，

令，得，故，代入直线，得，故（2023上·湖北黄冈·高一统考）（多选）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，秋利克雷函数就以其名命名，其解析式为，则关于秋利克雷函数.下列结论正确的是（

）A．函数是奇函数 B．，C．函数是偶函数 D．的值域为【答案】BCD【分析】根据奇偶性定义、函数解析式和值域定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若是有理数，则是有理数，此时；若是无理数，则是无理数，此时；是偶函数，A错误；对于B，当时，，，则；当时，，，则；，，B正确；对于C，由A知：，，为偶函数，C正确；对于D，当为有理数时，；当为无理数时，，的值域为，D正确.（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考）（多选）对于定义在D函数若满足：①对任意的，；②对任意的，存在，使得；则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（

）本号资*料*全部来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对于A，直接代入验证①，任意的R，存在R，使得②成立；对于B，分段代入验证①，任意的，存在使得②成立；对于C，直接代入验证①，对任意的，存在使得②成立；对于D，定义域是，不满足①，本号资料全部来源于微信公众号：数*学第六感【详解】对于A，，所以，满足①；对任意的R，存在R，使得，满足②，故A正确；对于B，当时，，，，当时，同理可得，即满足①；对任意的，存在，，满足②，故B正确；对于C，，所以，满足①；对任意的，存在，使得，满足②，故C正确；对于D，定义域是，对于任意的x，当时，没有对应的使得成立，不满足①，故D错误（2023上·广东深圳·高一校考）（多选）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（

）本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．【答案】BD【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；对于B，定义域为R，又，故为奇函数，又在R上单调递减，满足要求，B正确；对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；对于D：，，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.（2023上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考）（多选）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（

）A．对任意，都有B．对任意，都存在，C．若，，则有D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形【答案】BC【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”.已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围.【详解】设，则定义域为R，且，故为偶函数，定义域为R，且，故为奇函数，所以为偶函数，且在上单调递增，故在R上单调递增，若，则画出的图象如下：即在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以有，满足3增函数，若，画出的图象如下：则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以只需任取，使得，由对称性可知，存在，使得，且，故满足，故满足3增函数，若时，画出的图象如下：则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，故只需满足任取，使得，由对称性可知：存在，使得，所以要满足，结合，解得：，综上：实数的取值范围是.题型五反函数问题(多选)已知函数的零点为,函数的零点为b,则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】在同一坐标系中做出，，的图像，则由反函数对称性可知A,B关于直线y=x对称，而A,B两点又在上，所以A,B关于点对称，则，，AB正确因为a>0,b>0,且a≠b，所以，D正确；，C错误.【法二】——同构式（指数式化为对数式）由题可知，，而，构造方程，则，b是方程的根而函数是单调增函数，所以，代入可得；，则AB正确因为a>0,b>0,且a≠b，所以，则B错误,D正确若实数a满足ex＋x－4＝0，实数b满足lnx＋x－4＝0，则a＋b＝______.【答案】4【解析】在同一坐标系中做出，，的图像，同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y＝x对称,可知x＝a是函数y＝ex和y＝－x＋4交点的橫坐标，同理x＝b是函数y＝lnx与y＝－x＋4交点的横坐标，且y＝－x＋3与y＝x垂直则，所以x＝a,x＝b关于x＝2对称，所以a＋b＝4辽宁高考单选倒1若满足，满足,则______.【答案】【解析】，令因为EQ2\S\UP6(x)与EQlog\S\DO(2)x关于y＝x对称，所以关于y＝x－1对称，从而它们与的交点也关于y＝x－1对称，易求出与y＝x－1的交点为，所以（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.【详解】，画出函数和的图像，如图所示：不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，故且，解得.题型六存在任意双变量问题（2023·常州市第一中期末）已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围为．【答案】【分析】根据题意，分别求两个函数的值域，再转化为子集问题，即可求解.【详解】若对任意的，总存在，使成立，本#号资料全部来源*于微信公众号：数学第六感只需在区间函数的值域为函数的值域的子集，因为函数，所以函数在上单调递减，所以函数的值域为．对函数，．①当时，为常数，不符合题意，舍去；②当时，的值域为，此时只需，解得；③当时，的值域为，不符合题意，舍去．综上，m的取值范围为（2023上·江苏苏州·高一统考）已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围．【答案】【分析】根据题意，由条件可得的值域是的值域子集，分别求得函数的值域，列出不等式，即可得到结果.【详解】由条件可得，的值域是的值域的子集，其中，，则，，令，且，则，则，当，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，，当时，，所以，由的值域是的值域子集，可得，解得，所以实数的取值范围为.（2023上·广东深圳·高一校考）已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由任给，存在．使得，可知，在上的值域为在上的值域的子集.根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，本号资料全部来源于微信公众号：数学第六*感且，，所以，；当时，.，且，则.因为，且，所以，，，所以，，，所以，在上单调递增.又，所以，.综上所述，当时，.当时，单调递增，所以.所以有，解得；当时，不满足；当时，单调递减，所以.所以有，解得.综上所述，或（2023上·浙江·高一校联考）已知定义在上的单调函数满足．若对，（），使得成立，则的最小值为.【答案】4【分析】由题意得，为常数，则，从而，可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可.【详解】∵，且在上单调，∴，为常数，∴，∴，∴，∴在上单调递增．∵对，（），使得成立，∴，又当时，，当时，，则，∴，∴，又，∴（2023·永州一中高一期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围.【详解】对任意的，总存在，使得成立，；，在上单调递减，单调递增，在上单调递减，；当时，，则，满足题意；当时，在上单调递减，，，解得：；当时，在上单调递增，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为已知函数若对于任意的)为长度的线段都可以围成三角形，则实数k的取值范围为_________.【答案】【解析】关键点：①在上恒成立；②在上恒成立由①有在上恒成立，显然单调递减，则；则对称轴，所以，由②得.综上，题型七嵌套函数问题（2023上·浙江·高一校联考）已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】为二次函数，当，方程两解，问题等价于方程在区间上有两个不同实根，结合二次函数的图像与性质列不等式求解.【详解】考虑方程，由的图象得：

当时，方程无解；当或时，方程一解；当，方程两解．故方程有4个不相同的实数根，等价于方程在区间上有两个不同实根，则，解得：，所以实数a的取值范围为（2023上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是．【答案】8【详解】函数的图象,如图所示,

关于的不等式，当时,,由于关于的不等式恰有1个整数解,因此其整数解为3,又,所以,则,所以实数的最大值为8（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，所以为定值，设，可得，又由，可得，解得或（舍去），所以，则方程，即，即，则关于的方程恰有两个实数根，即，即函数和有两个交点，设，则，即且，可得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，且，当时，，要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，即实数的取值范围为（2023上·重庆南开中学高一校考）已知函数，若，则实数的取值范围为．【答案】【分析】令，分段解不等式得的取值范围，再分段解关于的不等式即得.【详解】函数，令，由，得或，解得或，即，因此，即，于是或，解得或，所以实数的取值范围为（2023上·高一重庆南开中学）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析给定分段函数的性质，变形方程并结合图形求出的范围即可.【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，方程，化为，解得或，如图，观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，显然方程只有一个解，要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，因此直线与函数的图象有3个公共点，则，所以实数的取值范围为（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，若函数有8个不同零点，则实数m的取值范围为.【答案】【分析】利用换元法令及并画出的函数图像，求得有四个不同的解时的取值范围，再利用二次函数的性质即可求得实数m的取值范围.【详解】令，作出函数的图象，可知当时，有四个不同的解.因为有8个不同的零点，所以在内有两个不等实根.设，则根据二次函数的图象与性质，等价于:，解得.故答案为：题型八构造新函数（2023上·山东·高一统考）（多选）已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（

）A． B． C．0 D．【答案】ABC【思路点拨】根据函数单调性的定义，整理不等式，构造函数，根据一次函数与二次函数的性质，可得答案.【详解】不妨令，因为，所以，即，令，则，因为，所以在上单调递减，当时，符合题意；当时，则，解得：，综上所述：实数的取值范围是，显然.（2023上·雅礼中学高一校考）已知是定义在R上的奇函数，若对任意，均有．且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数单调性的定义以及函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式.【详解】因为，所以，所以，设函数，则函数在单调递增，且，当时，不等式等价于，即，即，解得，又因为是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，不等式无解，因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，且在单调递减，当时，不等式等