第66讲、抛物线及其性质（学生版）

第66讲抛物线及其性质知识梳理知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径【解题方法总结】1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上必考题型全归纳题型一：抛物线的定义与方程例1．（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2024·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（

）A．6 B． C． D．例3．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（

）A． B． C． D．变式1．（2024·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．变式2．（2024·全国·高三校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．变式3．（2024·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线上，O为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．变式4．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为（

）A． B．C． D．【解题方法总结】求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出P的方程（3）解方程求出P，即得标准方程题型二：抛物线的轨迹方程例4．（2024·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．例6．（2024·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为．变式7．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）点，点是轴上的动点，线段的中点在轴上，且垂直，则点的轨迹方程为．变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是．变式9．（2024·河南·校联考模拟预测）一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为．变式10．（2024·上海·高三专题练习）已知点，直线：，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为、，若动点满足，则的轨迹方程为.变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线，则曲线的轨迹方程为【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题例7．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为.例8．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为.例9．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）函数的最大值为．变式12．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为.变式13．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为..变式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线交抛物线于两点，点的坐标为.设线段的中点为则的最小值为.变式16．（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为.变式17．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是．变式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是.变式19．（2024·江西·校联考模拟预测）已知是拋物线上两点，且，为焦点，则最大值为.变式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为．变式21．（2024·河南·校联考模拟预测）的最小值为．变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知点是坐标平面内一定点，若抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，则的最小值是.变式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是.【解题方法总结】抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题例10．（2024·四川乐山·统考三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（

）A．6 B．8 C．12 D．16例11．（2024·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（

）A． B． C． D．例12．（2024·北京·101中学校考模拟预测）已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（

）A． B． C． D．变式24．（2024·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（

）A．3 B． C． D．变式25．（2024·贵州·高三统考开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．变式27．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（

）A． B． C． D．变式28．（2024·安徽淮南·统考二模）抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（

）A．1 B．2 C． D．3【解题方法总结】解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．题型五：焦半径问题例13．（2024·江西·高三统考开学考试）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则.例14．（2024·福建福州·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为曲线上一点，若，则点的坐标为．例15．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则．变式29．（2024·全国·模拟预测）若过点向抛物线作两条切线，切点分别为A，B，F为抛物线的焦点，则．变式30．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点A作的垂线，垂足为，设，若与相交于点的面积为，则抛物线的方程为.变式31．（2024·全国·高三专题练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线与圆于四点，则.变式32．（2024·全国·高三专题练习）抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为．变式33．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）抛物线:的焦点为,设过点的直线交抛物线与两点，且,则.变式34．（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.变式35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知抛物线E：的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若P，B，F三点共线，则C．若，则 D．对于任意直线m，都有变式36．（多选题）（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是（

）A．抛物线C的准线方程为 B．C．时， D．变式37．（多选题）（2024·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线AB过焦点F时，最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D．变式38．（多选题）（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知点是抛物线上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则（

）A．焦点F的坐标为（4，0） B．C． D．变式39．（多选题）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，为坐标原点.直线与该抛物线交于、两点.则以下描述正确的是（

）A．线段的长为4 B．的面积为C． D．抛物线在、两点处的切线交于点变式40．（多选题）（2024·山东德州·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（

）A．若，则 B．C． D．面积的最小值为16变式41．（2024·河南·校联考模拟预测）已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（

）A． B．C． D．变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（

）A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2变式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线与抛物线相切于点，是的焦点，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2变式44．（2024·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式45．（2024·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（

）A．4 B． C． D．2变式46．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（

）A．16 B．26 C．14 D．24【解题方法总结】（1）．（2）．（3）． 题型六：抛物线的性质例16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴例17．（多选题）（2024·山东日照·高三校联考期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为例18．（多选题）（2024·浙江金华·模拟预测）已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（

）A．线段BC的中点坐标为B．直线BC的方程为C．D．变式47．（多选题）（2024·辽宁大连·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为，为上的一个动点，则（

）A．的焦点坐标为B．若，则周长的最小值