专题28 函数与面积问题-备战2022年中考数学母题题源解密（解析版）

专题28函数与面积问题考向1二次函数与面积问题【母题来源】2021年中考四川省内江卷【母题题文】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【答案】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a=−∴抛物线的解析式为y=−14（x+2）（x﹣6）=∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则−2k+m=0解得，k=1∴直线l的解析式为y=1（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，−14m2+m+3），则K（m，∵S△PAD=12•（xD﹣x∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PK=−14m2+m+3−12m﹣1=−14m∵−1∴m＝1时，PK的值最大，最大值为94，此时△PAD的面积的最大值为274，P（1，（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y=−13∴Q（0，133作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，133【试题解析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，−14m2+m+3），则K（m，12m+1）．因为S△PAD=12（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．【命题意图】二次函数图象及其性质；推理能力．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】解决函数与面积问题的常用方法有1．割补法：当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：S△ABC＝S△ABD＋S△BCDS四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACDS四边形ABCD＝S四边形ADCE＋S△BCES△ABC＝S梯形AEFC－S△AEB－S△CBFS四边形ABCD＝S△ABD＋S梯形BDNM－S△BCM－S△DCN一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减；（3）列出关于所设参数的方程求解；（4）检验是否每个坐标都符合题意．2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：直线m∥直线n，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE，一般步骤：设出直线表达式，两条平行的直线k值相等；通过已知点的坐标，求出直线表达式；求出题中要求的点；检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法：三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线，然后利用铅锤法，如图：一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x轴y轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；（3）根据题意列方程求解；（4）检验是否符合题意．4．等比转换法：若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的比，一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比；（3）列方程，求出参数；（4）检验是否符合题意．1．（2021•湖北襄樊模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．（1）求m，n的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC向上平移m个单位长度，始终保持点A的对应点P在第二象限抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，若直线AB与△PMN的边有两个交点，求m的取值范围；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A、B在直线y＝x+3上，∴m+3＝0，2+3＝n，∴m＝﹣3，n＝5，∴A（﹣3，0），B（2，5），又∵A、B在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，∴9a−3∴y＝x2+2x﹣3；（2）设P（t，t2+2t﹣3），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴M（t+3，t2+2t﹣6），当M移动到AB上时，则PQ＝6，令P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，t+3），∴t2+2t﹣6＝t+3+3，∴t1＝﹣4，t2＝3（舍去），当t＝﹣4时，t2+2t﹣3＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝5，∴P（﹣4，5），∵A（﹣3，0），∴m＝5，∴0＜m＜5；（2）分两种情况：①当点Q在直线AB的下方时，作CQ∥AB，交抛物线于点Q，∵AB的解析式是：y＝x+3，∴可设直线CQ的解析式为y＝x+m，将C（0，﹣3）代入，得m＝﹣3，∴直线CQ的解析式为y＝x﹣3，∵y∴x=−1∴点Q（﹣1，﹣4），②如图，当点Q在直线AB的上方时，可得：∠BAC＝90°，∴AB上的高等于AC时，△ABQ的面积等于△ABC的面积，延长CA至D，使AD＝AC，作DE⊥OA于E，作DV∥AB，∵∠DEA＝∠AOC＝90°，∠DAE＝OAC，∴△ADE≌△ACO（AAS），∴AE＝OA＝3，DE＝OC＝3，∴D（﹣6，3），∴DV的解析式是：y＝x+9，由y=x+9y=∴Q（﹣4，5）或（3，12），综上所述，满足题意的点Q的坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．2．（2021•河南南阳一模）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P是抛物线上的动点（不与点D重合），直线PD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，则直线PD的解析式可用含m的式子表示为y＝mx﹣2m﹣3；（3）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将D（2，﹣3）代入上式得﹣3＝a（2+1）（2﹣3），解得a＝1，故抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点P的横坐标为m，且点P是抛物线上的动点，∴P（m，m2﹣2m﹣3），设直线PD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入P点和D点的坐标得m2解得k=∴直线PD的解析式为：y＝mx﹣2m﹣3；（3）设直线OD的解析式为y＝sx，代入D点坐标得﹣3＝2s，解得s=−∴直线OD的解析式为y=−由y=得2x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝2，x2=−设P（m，m2﹣2m﹣3），由于点P在直线OD的下方，∴−3由（2）知直线PD的解析式为y＝mx﹣2m﹣3，如下图，∴OE＝3+2m，∴S△POD=12OE（xD﹣xP）=12（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+12∴当m=14时，S△POD取最大值为3．（2021•江苏常州武进区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的表达式．（2）若点P是线段BM下方的抛物线上一点，求△MBP面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）直线AB上是否存在点E，使得点E关于直线MB的对称点F满足S△ABF＝S△ABM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y＝x2+bx+c，得到c=3解得b=−4（2）如图1中，过点P作PJ∥y轴J交BM于点J．∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点M（2，﹣1），∵B（0，3），∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+3，设P（m，m2﹣4m+3），则J（m，﹣2m+3），∴PJ＝﹣2m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+2m，∴S△PBM=12×2×（﹣m2∵﹣1＜0，∴m＝1时，△PBM的面积最大，最大值为1，此时P（1，0）；（3）存在．如图2中，①点E的对称点为F，EF与BM交于点G，连接FM、BF、EM．∵S△ABF＝S△ABM，∴MF∥AB，∴∠FMB＝∠EBM，∵∠MBE＝∠MBF，∴∠MBF＝∠BMF，∴FB＝FM，∵BE＝BF，ME＝MF，∴BE＝EM，设E（m，﹣m+3），则有，m2+（﹣m）2＝（2﹣m）2+（﹣1+m﹣3）2，解得，m=53，∴E（53②设E关于点B的对称点E′，E′关于AM的对称点F′，根据对称性可知，△OAF′与△AOF的面积相等，此时E′（−53，综上所述满足条件的点E坐标（53，43）或（−54．（2021•湖北黄石模拟）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当∠CDO＝∠ACO时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积相等时，求P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），∴−1+b+∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将抛物线解析式化为顶点式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）设抛物线对称轴交x轴于点H，由题知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，OA＝1，OC=1如图1，当点D位于点A的右侧时，∵∠CDO＝∠ACO，∠COD＝∠AOC，∴△COD∽△AOC，∴COAO即171∴点D的坐标为（17，0），当D'在点A左侧时，∵∠CDO＝∠ACO，∠CD'O＝∠ACO，∴∠CD'O＝∠CDO，∴CD＝CD'，∵CH⊥DD'，∴DO＝17，∴点D和点D'关于直线x＝﹣1对称，∴点D'的坐标为（﹣19，0），∴满足条件的D点坐标为（17，0）或（﹣19，0）；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），直线PA的