专题26 二次函数与角问题-备战2022年中考数学母题题源解密（解析版）

专题26二次函数函数与角问题考向二次函数函数中的角度问题【母题来源】2021年中考四川省德阳卷【母题题文】如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得到方程组：0=1−b+∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，设直线AC'的解析式为y＝mx+n，由题意得：0=−解得：m=1∴直线AC'的解析式为y＝x+1，将直线和抛物线的解析式联立得：y=解得x1=−∴P（4，5）；（3）存在点M，过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP=(4+1同理可求得AC=(2+1)2∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，∴tan∠APC=AC∵∠MBN＝∠APC，∴tan∠MBN＝tan∠APC，∴MNBN设点M（m，m2﹣2m﹣3），则|m解得m=−25当m=−25时，m2∴M（−25，当m=−85，m2∴M（−85，∴存在符合条件的点M，M的坐标为（−25，−5125），（【试题解析】（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线于点P，根据对称性可知P为所求的点；（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），利用∠MBN＝∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．【命题意图】二次函数的应用；推理能力．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】角的数量关系问题（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．1．（2021•广西贵港模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线的对称轴上，且DA＝DC．（1）点A的坐标为（﹣1，0），用含m的式子表示点D的坐标为（m−12，m（2）若△ACD与△BCO的面积之比为5：9，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若动点P在该抛物线上，且当∠PBC＝∠DAB时，求点P的坐标．解：（1）∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x+1）（x﹣m），得A（﹣1，0），连接DB，∵直线l是抛物线的对称轴，∴DA＝DB，∵DA＝DC，∴DB＝DC，又OB＝OC，∴直线OD是BC的垂直平分线，又△BCO是等腰直角三角形，故D(故答案为：（﹣1，0），D(（2）如图，∵A（﹣1，0），B（m，0），C（0，m），D(∴DA2=DC∴DA2+DC2＝AC2，则△ACD是等腰直角三角形，∴S△又△BCO是等腰直角三角形，且OB＝OC＝m，∴S△∵S△ACD：S△BCO＝5：9，∴12∵m＞1，∴m＝3，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）如图，在（2）的条件下，∵m＝3，∴B（3，0），C（0，3），又A（﹣1，0）．①当点P在第一象限内抛物线上时，作PE⊥x轴，垂足为E，设P（x，﹣x2+2x+3），则PE＝﹣x2+2x+3，BE＝3﹣x，∵∠PBC＝∠DAB，而∠CBO＝∠CAD＝45°，∴∠PBE＝∠CAO，∴Rt△PBE∽Rt△CAO，∴PEBE则−x此时，点P的坐标为（2，3）；②当点P在第二象限内抛物线上时，记PB与AC的交点为F，∵∠PBC＝∠DAB，且∠PBA＝45°﹣∠PBC，∠CAB＝45°+∠DAB，∴∠PBA+∠CAB＝90°，则∠AFB＝90°，即PB⊥AC，垂足为F，∵A（1，0），C（0，3），∴直线AC的表达式为y＝3x+3，∵B（3，0），PB⊥AC，∴直线PB的表达式为y=−由y=−13x∴此时，点P的坐标为(−综上，符合条件的点P的坐标为（2，3）和(−2.（2021•甘肃兰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于AB两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交y轴于点C，∴点C（0，6），∴OC＝6，∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝6，OB＝2，∴点A（﹣6，0），点B（2，0），将点A，点B坐标代入解析式，可得：0=4a解得：a=∴抛物线的表达式为：y=−12（2）如图，过点P作PH⊥CO于H，∵OA＝OC＝6，∴∠OCA＝45°∵PH⊥OC，∴∠ACO＝∠CPH＝45°，∴PH＝CH，∵点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，∴CP＝2t，OQ＝t，∴PH＝CH=2∴S△PCQ=12×CQ×PH=22（﹣t2+6t）∴当t＝3时，S△CPQ的最大值为92∴PH＝CH＝32，∴OH＝6﹣32，∴点P的坐标为（﹣32，6﹣32）；（3）如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCH＝30°，∴tan∠OCH=OHCO=33∴直线CM的解析式为：y=3联立方程组可得：y=解得：x=0y=0故点M（﹣4﹣23，﹣43）；当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G，∵∠ACM'＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCG＝60°，∴tan∠OCG=OGOC=∴点H（﹣63，0），∴直线CM'的解析式为：y=3联立方程组可得：y=解得：x=0y=0故点M（﹣4−233综上所述：点M的坐标为（﹣4﹣23，﹣43）或（﹣4−2333．（2021•广东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN'．①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式．（3）如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：B（4，0），C（0，﹣2），∴c=−2∴抛物线的解析式为y=1（2）①如图1，由题意得：CN′＝CN＝t，∠N′CM＝∠NCM，∵CN∥AB，∴∠OBC＝∠NCM，∴∠OBC＝∠BCN′，∴BN′＝CN′＝t，∴ON′＝4﹣t，在Rt△OCN′中，由勾股定理得，OC2+N′O2＝N′C2，∴22+（4﹣t）2＝t2，∴t=5②当0＜t≤5S＝S△CNM=12CN•MN∵MN＝CN•tan∠BCN＝t•tan∠OBC＝t•OCOB∴S=1当52由①知：CD＝BD=52，OD=3∴EN′＝DN′•tan∠BDN′＝（t−5在Rt△OCD中，tan∠ODC=OCOD=23∴S△DEN′=12DN'⋅EN'=12（t∴S=14t2−23•（t−综上所述：S=y（3）如图3，当∠DCM＝2∠ABC时，作CF∥AB，作BE⊥CF交CD于E交CF于F，∴∠CFB＝∠CFE＝90°，∵∠FCB＝∠ABC，∴∠FCE＝∠FCB＝∠ABC，∵CF＝CF，∴△CFB≌△CFE（ASA），∴EF＝BF＝2，∴E（4，﹣4），∵C（0，2），∴直线CE的解析式是：y=−由y=x1=0y∴D点的横坐标是2，如图4，当∠CDM＝2∠ABC时，作BG∥DM交CD于G，作GH⊥AB于H，∴∠GBH+∠HGB＝90°，∠OBC+∠GBH＝90°，∴∠HGB＝∠OBC，由（2）知：tan2∠ABC=4∴tan∠CGB=43，∴BG＝BC•tan∠CGB∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝25，∴BG=3∴BH＝BG•sin∠HGB＝BG•sin∠OBC=3GH＝BG•cos∠HGB=3∴OH＝OB+BH＝4+32=∴CG的解析式是：y=−由12x1＝0（舍去），x2=29∴点D的横坐标为2911，综上所述，点D的横坐标为2或294．（2021•内蒙古鄂尔多斯一模）如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直线y＝2x﹣6，当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴点B坐标（3，0），设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：①如图，当AB为边时，设点M（0，m），已知点A（1，﹣4），点B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m=−即点M的坐标（0，−7延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．由△BOM∽△BHA，可得OM'∴OM'2=34②如图，当AB为对角线时，取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，点P坐标（xA+x由①可得线段AB=20=25，∴⊙P半径在Rt△PM1G中，PM1=5，PG＝2，M1G=根据垂径定理可得，M2G＝1，∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，−72）或（0，（3）存在点Q的横坐标为﹣2或43理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y=−将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直线为y=−设点C点坐标（n，−1在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝25，sin45°=BDAB，解得BD∴BD=(解得n1＝0，n2＝4，∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，−4=q+∴直线AD的表达式为y=1同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，13x−133=（x﹣1）2同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴点Q的横坐标为﹣2或435．（2021•四川模拟）如图，一次函数y=−12（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知点D（﹣1，n）在抛物线上，作射线BD，Q为线段AB上一点，过点Q作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点N，过点Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接AP，若E为抛物线上一点，且满足∠APE＝2∠CAO，求点E的坐标．解：（1）当y＝0时，−1∴x＝﹣4，∴B（﹣4，0），当x＝0时，y＝﹣2，∴A（0，﹣2），∴设抛物线的解析式是y＝a（x+4）•（x﹣1），∴a•4×（﹣1）＝﹣2，∴a=1∴y=12（x+4）•（x﹣1）（2）如图1，延长PQ交OB于H，延长NQ交OB于K，作DE⊥OB于E，由题意得，n=1∴D（﹣1，﹣3），∴DE＝BE＝3，∴∠DBE＝45°，∴△KNB和△KHQ是等腰直角三角形，设Q（m，−1∴QM＝﹣m，HK＝QH=1BH＝m+4，QK=2•HK=2•（BK＝BH+HK=3∴NK=22•BK=2∴QN＝NK﹣QK=22•（32m+6）−=2∴QM•QN＝﹣m•2•（1=−24（m+2）∴当m＝﹣2时，QM•QN最大，∴当m＝﹣2时，y=1∴P（﹣2，﹣3）；（3）如图2，作PI⊥OA于I，在射线AI上截取IJ＝IA，作∠APK＝∠APJ交y轴于K，∴PA＝PJ，∴∠APJ＝2∠API，∵P（﹣2，﹣3），A（0，﹣2），C（1，0），∴AI＝OC＝1，PI＝OA＝2，∴Rt△API≌Rt△CAO（SAS），∴∠API＝∠CAO，∴∠APJ＝2∠CAO，∵P（﹣2，﹣3），