沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第17讲 垂直平分线、角平分线及轨迹(解析版)

(ro垂直平分线、角平分线及轨迹

内容分析

利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系

是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系.

知识结构

模块一：线段的垂直平分线

知识精讲

线段的垂直平分线：

(1)线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方

法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添

加线段；

(2)线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法;

(3)利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角

形三个顶点的距离相等.

例题解析

【例1】如图，在AABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交48于点交边AC于点E,4BCE

的周长等于18cm,则AC的长等于.

【答案】10cm.

【解析】因为DE垂直平分所以=由题意知:

BE+EC+BC=18,BC=8,所以BE+EC=10,所以AE+EC=10,

即AC=10.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用.

【例2】已知：AB=AC,DB=DC,£是AD上一点，求证：BE=CE.

【解析】：AB=AC,DB=DC,是线段BC的垂直平分线

又是AD上一点：.BE=CE.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例3】在AABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交BC边于点E,

AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1)求AAEN的周长.(2)求/EAN的度数.(3)判断"EN的形状.

【答案】(1)12；(2)60°；(3)等边三角形.

【解析】(1)因为DE垂直平分AB,垂直平分AC,

所以AE=BE,AN=CN,所以AE+EN+AN=BE+EN+NC

=BC=12,所以八407得周长等于12；

(2)因为A3=AC,3c=12,Nft4c=120°,所以N2=NC=30°

所以/N4C=30°,所以/ANE=60°,同理/AEN=60°,所以/EAN=60°；

(3)由(2)知△AEN为等边三角形.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例4】如图，。是线段AB、AC的垂直平分线的交点，若/BAC=50。，求/BOC的度数.

【答案】100°

Rr

【解析】连接AD

因为ZBDC=ZBAD+ZDBA+ZDAC+ZDCA

=2(ZBAD+NDAO=2NBAC

所以/8OC=150°.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用.

【例5】如图，已知△A2C中，AB=AC,AB的垂直平分线。£交BC于点，且。C=AC,

求AABC各角的度数.

【答案】ZB=ZC=36°,ZBAC=108°.

【解析】因为/4DC=/4BC+NS4D,XDC=AC,

所以/ZMC=/AOC,又因为OE垂直平分AB,

所以NDAC=2/B,所以N3AC=3NB,

所以N2+NBAC+NC=5/3=180°,

所以/B=/C=180+5=36°,ZBAC=108°.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的综合运用.

【例6】在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50。，

AABC的底角ZB的大小为.

【答案】70°或20°.

【解析】(1)当AB的中垂线MN与AC相交时，

"?ZAMD=9Q°,：.ZA=90°-50°=40°,

*.•AB=AC,：.ZB=ZC=(180-40)-2=70°

(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，

ZDAB=90°-50°=40°,\'AB=AC,

：.NB=ZC=-ZDAB=20°.

2

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用.

【例7】如图，在三角形ABC中，A。是/BAC的角平分线，ABIDE,DF±AC,垂足分

别为E、F,求证：是EF的垂直平分线.”

A

【解析】由题意，可知0£二。尸，在△ADE和△AO尸中，E/\

ZAED=ZAFD=90°,AD=AD,DE=DF,

BC

D

所以AADE^AADF,:.AE=AF

：.A.。在EF的垂直平分线上，

所以AD是所的垂直平分线.

【总结】考查垂直平分线和角平分线的综合运用.

【例8】如图，三角形A2C中，ZACB=90°,。是AB边上的点，BD=BC,过点。作AB

的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证:BE垂直平分CD.

【解析】在△BCE和△2DE中，

HZBCE=ZBDE=90°,BD=BC,BE=BE,

所以△BCE附△BOE,

所以CE=DE,

所以2、E在C、D的垂直平分线上，

所以BE垂直平分CD.

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的运用.

【例9】如图，在直角三角形ABC中，ZABC=90°,。是AB边上的点，的垂直平分

线所交AC于点E,垂足为R瓦）的延长线与CB的延长线交于点G,求证：点E在

GC的垂直平分线上.

【解析】•••£/为AD的垂直平分线

：.AF=DF,ZAFE=ZDFE=9Q°,

：.AAFE咨ADFE,/.ZAEF=ZDEF.

GBC

ZAFE=ZABC,：.EF//CG.

：.ZAEF=ZC,ZDEF=ZG,：.ZC=ZG,

.♦.△CEG为等腰三角形，

.♦.点E在GC的垂直平分线上.

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例10]如图，在△ABC中，ZA=3O°,DE垂直平分AB,垂直平分AD,GN垂直平

分BD,求证：AF=FG=BG.

【解析】连接DRDG,

垂直平分A。，GN垂直平分

：.AF=DF,DG=BG

又•../A=3O°,：./DFG=/DGF=6Q°

即△。歹G为等边三角形

：.DF=DG=FG

：.AF=FG=BG

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用.

【例11]如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,

ZA=40°,(1)求NM03的大小；

(2)如果将(1)中的度数改为70°,其余条件不变，再求的度数；

(3)若/A=a,你发现了怎样的规律，并证明之；

(4)将(1)中的NA改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改.

【解析】(1)'：AB=AC,：.ZB=(180°-40°)4-2=70°,

XVZMNB=90°,：.ZNMB=18Q°-90°-70°=20°；

(2)ZB=(180°-70°)+2=55°,

ZNMB=180°-90°-55°=35°；

(3)NM08的度数等于NA度数的一半，

证明：\'AB=AC,AZ5=(180°-ZA)4-2

VZBNM=9Q°,

:.NNMB=90°-ZB=90°-(180°-ZA)4-2

=-ZA

2

即/MWB的度数等于/A度数的一半；

(4)不需修改.

仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线

相交所成锐角为顶角的一半.

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用.

模块二：角平分线

知识精讲

2、角平分线：

(1)角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且

在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；

(2)角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；

(3)利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形

三条边的距离相等.

例题解析

【例⑵如图，已知点P到AE、AD.BC的距离相等，则下列说法：①点P在/BAC的

平分线上；②点尸在/C2E的平分线上；③点P在/的平分线上；④点P是

/BAC、/CBE、/BCD的平分线的交点，其中正确的是()

A.①②③④B.①②③

【答案】A

【解析】至!JAE、AD.的距离相等

，①②③④都对

【总结】考查角平分线性质定理的逆运用.

【例13]如图，已知在四边形ABCD中，AB//CD,E为2C中点，连接AE、DE,DE平

分/AOC,求证：AE平分/BAO.

【答案】略

【解析】过E作于点X,反向延长E8交。C的延长线

于点G,过E作所，AD于点P

'：AB//CD,：.EG±DC,

为2C中点，CE=BE

在ACGE与ABHE中,

"：ZGCE=ZB,CE=BE,ZCEG=ZBEH

:ACGE沿ABHE,：.GE=EH

'/DE^^ZADC,:.GE=EF,：.GE=EH

：.EF=EH,又；EFLAD,EHLAB,

是/OAB的平分线.

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例14]如图，已知在四边形A3CD中，对角线3。平分NABC,且NR4D与/BCD互补,

求证：AD=CD.A

【答案】略

【解析】在BC上截取BE=AB,连接DE

；8。平分/ABC,：.NABD=NDBC,又,：BD=BD

:AABD经AEBD,：.ZBAD=ZBED,AD=DE

,：ZBAD与ZBCD互补，；.ZBED与ZBCD互补

又；/BED与/CED互补,：.ZCED=ZBCD

：.DE=CD,：,AD=CD

【总结】考查角平分线性质定理的运用.

【例15]已知：如图，PA,PC分别是A4BC外角/MAC和/NCA平分线，它们交于P,

于。，PFLBN于F,求证：为的平分线.少

A

P

【答案】见解析

【解析】过P作PELAC于点£

平分NA/AC,PDLBM,PELAC

：.DP=EP,同理PE=PF

：.PD=PF,y.'：PD±BM,PFLBN

:.P在NMBN的角平分线上

:.BP平分/MBN

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例16]（1）如图1AABC中，/4BC和/ACB的角平分线相交于点P,则有：

NBPC=________ZA；

（2）如图2：AABC中，NABC的外角角平分线和NACB的外角角平分线相交于点尸，

则有：ZBPC=________ZA；

（3）如图3：AABC中，/ABC和/ACB的外角角平分线相交于点P,则有:

【答案】略.图2

【解析】(1)NBPC=180-(ZPBC+NPCB)=180-1(ZABC+ZACB)

=180-1(180-ZA)=90+1zA；

(2)NBPC=180-(ZCBP+ZBCP)=180-1(ZCBM+NBCN)

=180。-；(360。一ZABC一ZACB)=180。一g[360。一(180。-ZA)]=90。一gZA

(3)ZPBC=-AABC,ZPCB=ZACB+ZACP=ZACB+-(ZA+ZABQ,

22

，ZPBC+ZPCB=ZACB+ZABC+-ZA

2

NBPC=180-(NPBC+NPCB)=180(ZABC+ZACB+|zA)

==180-1(180-ZA+1zA)=|zA.

【总结】本题主要考查三角形的内角和与外角性质的综合运用，注意对结论的熟记.

【例17]如图，在直角△ABC中，ZC=90°,直角中，ZBAP=9Q0,

已知BP交AC于点。，E为AC上一点，＞AE=OC,

求证：PE±AO.

【答案】略

【解析】•/ZBB\+ZABP=ZCOB+ZCBO=90°,

又/CBO=/ABP

：.ZBPA=ZCOB

又,：/COB=/POA

：.ZBPA=ZPOA,：.AP=AO

过点0作O8_LA2于H,则OH=OC

,/OC=AE,：.OH=AE

"?ZPAE+ZCAB=ZHOA+ZCAB,

：.ZPAE=ZHOA

：.AAPE^AOAH,

PE±AO

【总结】考查角平分线性质定理的运用.

【例18]如图，在平行四边形ABCD中，E、歹分别是AD、上的点，1.BE=DF,BE

与。尸交于点G,

求证：GC平分/BGD

【解析】分别过作连接、

CCNLBE,CH1DF,CECFBC

/.-DFxCH^-BExCN,

,:BE=DF,：,CN=CH,

又,：CNLBE,CH±DF,

：.GC平分/BGD（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）

【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用.

【例19］如图，在直角AABC中，AD是斜边上的高，平分/ABC,交AC于点P、

于点E,EG〃8C交AC于点G,求证：AF=CG.%

［答案］见解析V

【解析】过下作侬L8C于点X,连接即，^N

VZABF+ZAFB=90°,ZBED+ZEBD=90°,/ABF=斑痣＜---------L」Jr匕i

：.ZAFB=ZBED

XVZBED=ZAEF,ZAFB=ZAEF,：.AE=AF.

/平分/ABC,AF1,BA,FHLBC：.AF=FH

又-：AE//FH,...四边形AEHF为菱形,

：.AF=EH,EH//CG

又,：EG//HC,；.EHCG为平行四边形

：.EH=CG,：.AF=CG.

【总结】考查角平分线性质定理、菱形及平行四边形的判定及性质.

【例20］如图，以A4BC两边48、AC为边,向外作等边AABD和等边AACE,连接BE、

CD交于尸点,C。交A3于点G,BE交AC于点H,求证：AF平分/DFE.

【解析】"：AD=AB,AC=AE,ZDAC=ZBAE

.,.△ACD^AAEB

：.BE=CD

过点A作AM_L£»C,AN1BE,

B

则LoCxAMBE

22

：.AM=AN

"AMLDC,AN±BE,

所以AF平分N£»FE.

【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用.

【例21]如图，在AABC中，NCAB和/ABC的平分线A。、BE交于点P,连接CP.

(1)求证：CP平分/ACB；

(2)如图1,当AABC为等边三角形时，求证：EP=DP；

(3)如图2,当△ABC不是等边三角形，但/ACB=60°,(2)中的结论是否还成

立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【解析】(1)过点P分别作于点M,PNLAC/\

于点N,PHLBC于点”//4A\D

A

图1

'.'AD.BE分别为/CAB与/ABC的角平分线

：.PM=MN,PM=PH,：.PN=PH,

；.CP平分NAC3

(2)；ABC为等边三角形：.PD±BC,PELAC,

:.△CPE"4CPD,

：.EP=DP

(3)成立.假设/C4B</CBA

作PHJ_AC于"，PM_LCB于M,PQJ_AB于Q,

则点X在线段CE上，点M在线段2。上

ZCAB和ZACB的平分线AD,BE交于点P,

：.PH=PQ=PM

,rZACB+ZCAB+ABC=1800,ZACB=60°

：.ZCAB+ZABC=nO°

VAD>BE分别平分/CAB、ZABC

：.ZPAB+ZPBA=60°

'：ZCEP=ZCAP+ZB\B+ZPBA=ZCAP+600

ZADB=ZCAP+ZACD=ZCAP+60°

ZCEP=ZADB

在APHE和△PMD中，

■:/HEP=/MDP,ZEHP=ZDMP=90°,PH=PM

4PHE必PMD

：.PE=PD

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

模块三：综合

例题解析

【例22]已知，如图AP、BP分别平分/DAB、ZCBA,PE、尸产分别垂直A。、BC,垂

足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.

P

【解析】过尸作PH±AB于点H,

贝!]PE=PH,PH=PF

：.PE=PF

'JPELAD,PF±BC

点尸在EF的垂直平分线上

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用.

【例23]已知：如图，△ABC中，ZBAC=64°,ZB=38°,AD平分/BAC,M是8c延

长线上的一点，过点加作及牛，&。，垂足为点H,交AB、AC于点RE.求的度

数.

【答案】20。.

【解析】'：ZBAD=-ZBAC=32°,

2

：.ZADM=ZBAD+ZB=32°+38°=70°,

'：MH±AD,/.ZMHD=9Q°

：.ZM=180°-90°-70°=20°

【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用.

【例24】已知：如图，。是△ABC的边AC上的一点，过。作DELAB,DFLBC,垂足

为E、F,再过点D作。G〃AB,交BC于点G,且DE=DE

求证：（1）DG=BG；（2）BD垂直平分£足

【解析】（1）连接2。

"DELAB,DFLBCS.DE=DF

：.ZABD=ZDBC

又,：DG〃AB,：.ZABD=ZBDG

：.ZBDG=ZDBC,：.DG=BG

（2）由（1）ZABD=ZDBC,可知NEDB=NFDB.

在△BOE与△BD尸中，

ZABD=ZDBC,BD=BD,ZEDB=ZFDB

：.4BDE咨ABDF

：.BE=BF,DE=DF

，8。垂直平分ER

【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用.

【例25]如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，ZOBC.

N0C2的平分线相交于点G,判断OG与3c的位置关系，并证明你的判断.

【答案】见解析

【解析】连接04

垂直平分AB,?.OA=OB

同理OA=OC,OB=OC,：.ZOBC=ZOCB

平分/OBC,CG平分/OCB

ZGBC=-ZOBC,ZGCB=-ZOCB

22

ZGBC=ZGCB,；.BG=CG

又：OG=OG,.♦.△BOG丝ZXCOG

ZBOG=ZCOG,：.OGLBC

【总结】考查角平分线与垂直平分线性质定理的运用.

【例26]已知，ACLBC,AD平分NA4C,DELAB,判断下面四个结论中哪些成立，

(1)AD平分/CUE；(2)ZBAC=ZBDE；(3)DE平分NADB；(4)BD+AOAB

哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并

证明.

【解析】(1)'：ZEAD=ZCAD,ZAED=ZC,AD=AD

：.△ADE/△ADC,成立；

(2)VZB+ZBAC=9Q°,ZB+ZBDE=90°,

：.ZBAC=ZBDE,成立；

(3)不成立.添加NB=30°

VZB=30°,ZBAC=60°,AZBAD=300△ABD为等腰三角形

又；DE_LAB,平分/ADB,

（4）AB=AE+EB，由（1）知AE=AC,又<BD>BE（斜边大于直角边）

.,.BD+AOAB,成立.

【总结】考查角平分线性质定理的运用.

【例27]如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、尸为AD上两点，且NABE=/EBF=

ZFBC,联结CV并延长交4B于点G.

求证：（1）ZXGB尸为等腰三角形；（2）GE//BF.

【解析】（1）：AABC为等腰三角形且4。为高

:.Z.FBC=Z.FCB

■:ZGBF=ZGBE+ZEBF,ZGFB=ZFBC+ZFCB

ZABE=ZEBF=ZFBC,ZGBF=ZGFB

...△GBP为等腰三角形；

（2）如图，过点£作£尸，3尸于点P、£。，8尸于点。、ERLAB于点R.

•；FB=FC,FDLBC,ZBFD^ZCFD

'：NBFD=NEFQ,Z.CFD=ZEFG,NEFQ=NEFG

・•・EP=EQ

•；BE平分NGBF,EQLBF,ER±AB,

：.EQ=ER,：.EP=ER,：.ZAGF=2ZEGA

■:ZAGF=ZGFB+ZGBF=2ZGBF

：.ZGBF=ZEGA

：.GE//BF.

【总结】考查角平分线性质定理的运用及等腰三角形的性质.

模块四：轨迹

知识精讲

点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合.

三个基本轨迹：

(1)和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

(2)在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分

线；

(3)到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆.

例题解析

【例28](1)经过点A、B的圆的圆心的轨迹是；

(2)到直线m距离等于a的点的轨迹是；

(3)以线段为腰，点8为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹

是.

【答案】略.

【解析】(1)线段的垂直平分线；

(2)平行于直线m且到直线机的距离为a的两条直线；

(3)以8为圆心，AB长为半径的圆，去除AB所在直线与圆的交点.

【总结】本题主要考查最常见的三种轨迹.

【例29】以下说法中错误的是()

A.到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆

B.如果尸是/AOB内一点，点M、N分别在。4、上，于点Af,PN±OB

于点N,且尸M=PN,那么射线0P是NAOB的平分线

C.底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线

D.经过P、。两点的圆的圆心的轨迹是的垂直平分线

【答案】C

【解析】底边的中点除外.

【总结】考查点的轨迹的运用.

【例30】在△ABC内找一点尸，使它到AABC的三个顶点的距离都相等.

A

【答案】略.

【解析】作任意两条边的垂直平分线，这两条直线的交点即为点尸.

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用.

B

【例31］作图：

(1)已知线段a、b,求做直角△ABC,使得NC=90°,AB=b,BC=a；

(2)已知NA08,点尸及线段a,求作点。，使得点。到。4、02的距离相等，且

PQ=a.

【答案】略.

步

（2）点。到角两边的距离相等，则点。在角平分线上，PQ=a,则以尸为圆心，。为半径

画圆，与角平分线的交点即为点Q.

【总结】本题主要考查尺规作图的运用.

随堂检测

【习题1】以下说法错误的是（）.

A.如果那么点尸在线段AB的垂直平分线上

B.如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么点尸到线段AB两端距离相等

C.如果点P在/AOB的内部且到OA.。8距离相等，那么射线OP是/AOB的角

平分线

D.如果OP是/AOB的平分线，那么点P到04、OB上两点M.N的距离相等，即

PM=PN

【答案】D

【解析】PM、PN必须垂直/A08的两条边.

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用.

【习题2】如图在AABC中，ZB=115°,AC的垂直平分线与AB交于点D,且/AC。：Z

BCD=5：3,则

AC

【答案】50°.

【解析】设NACD=5x,ZBCD=3x,贝！JNBAC=5%.

­/ZA+ZBAC=180°-l15°=65°,

/.5x+5x+3%=65°,.\x=5°，

:.ZBCD=15°,ZBDC=18O°-l15°-15°=50°.

【总结】本题主要考查垂直平分线性质定理的运用.

【习题3】如图所示，AB//CD,。为/A、/C的平分线的交点，OELAC于£,且。£=2,

则AB与CD之间的距离等于______.AF_________B

【答案］4.E/^O

［解析］过。作OP±于产，OM±CD于"，］/\

CM°

；AO、CO分别平分NR4C与ZACD,：.OF=OM=OE=2,：.AB与CD之间的距离为4.

【总结】考查角平分线性质定理的运用.

【习题4】作图：

(1)到点A的距离等于a的点的轨迹；

(2)到两条相交直线AB、C。距离相等的点的轨迹.

【答案】略.

【解析】

(1)以A为圆心a为半径的圆；

(2)/AOC和/AOO的角平分线所在的直线.

【总结】本题主要考查尺规作图.

【习题5】如图，A4BC中，AB=AC=Scm,ZA=50°,线段AB的垂直平分线分别交AB于点

D,交AC于点E,BC=3cm,求：

D

F.

(I)/EBC的度数；

(2)ABEC的周长.

【答案】(1)15°；(2)11cm.

【解析】(1)ZABC=(180°-50°)4-2=65°,又。E垂直平分AB

ZABE=ZA=50°,

Z.ZEBC=ZABC-ZABE=65°-50°=15°；

(2)C.=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+3=Ucm.

ZARDCFCr

【总结】本题主要考查垂直平分线性质定理的运用.

【习题6】如图，AE是AABC的角平分线，AE的垂直平分线与BC的延长线相交于点尸,

若/CAF=50。，求的度数.

【答案】50°.

【解析】：人石平分NBAC,尸尸垂直平分AE,

/.ZBAE=ZCAE,ZEAF=ZAEF

XVZAEF=ZB+ZBAE,ZEAF=ZCAF+ZCAE

：.ZB=ZCAF=50°

【总结】考查线段垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用.

F

【习题7】如图，AABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,。为AABC外一点，且

OE_LAC交CA的延长线于E,求证：DE=AE+BC.

【解析】连接CD,

\'AC=BC,AD=BD

...CD是AB的垂直平分线

NACB=90°

，ZACD=-ZACB=45°

2

'：DE±AC

：.ZCDE=ZACD=45Q,:.CE=DE

：.DE=AE+AC=AE+BC

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用.

【习题8】如图，正方形ABCD中，E是边A3上的任意一点，尸是边BC延长线上的一点,

EF交CD于点G,AE=CF,

(1)求证：点。在线段跖的垂直平分线上；

(2)如果跖交正方形的对角线BD于点P,BP=BE,求证：EP=FG.

【解析】(1)连接即和DF

•.•四边形ABCD是正方形，

：.AD=DC,ZA=ZDCF=90°

在△AED和△OC尸中，

AD=CD,ZA=ZDCF=90°,AE=CF

：.△AED之△DCF,：.ED=DF,

点D在线段EF的垂直平分线上

(2)为等腰三角形ZDEP=ZDFG,'：BP=BE:./BEF=/BPE

'：/BPE=NDPG：.NBEF=/BPE：.ZBEP和/CGF为同位角

：.ZBEP=ZCGF：.ZCGF=ZDGEZBEP=ZDGE

：.ZEPD=ZDGF：.ZEDP=ZGDF：.ZBEP=ZDGE

：.AEDP沿AFDG：.EP=FG

【总结】考查线段垂直平分线性质定理逆定理及其全等三角形性质的综合运用.

【习题9】如图，/BAC和/CBE的平分线相交于点P,联结CP,分别过点B、C作PC、

尸8的垂线交AC、AB的延长线于E,F,G,"为垂足，求证：BF=CE.

【解析】过点尸作PM±AF于点M,PNLAE于点N,

尸。，2。于点Q,

平分NBAC,PMLAF,PNLAE,

：.PM=PN

平分/CBF,PMLAF,PQ±BC,PM=PQ

：.PN=PQ,\'PQ1BC,PN±AE,CP平分ZECB,；.ZECG=ZBCG

-,CG±BE:.NCGE=NCGB=90,.-.ACGE^ACGB:.CE=CB

同理2斤=。3：.BF=CE

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用，注意对条件的分析.

【习题10]已知：如图，正方形ABCZ）中，E、尸分别是A。、DC上的点，NEBF=45,

BG±EF,求证：BA=BG.

［解析】延长DC至M使得CM=AE,连接BM

"：AE=CM,AB=BC,ZEAB=ZMCB

：.4EAB必MCB

：.BE=BM,ZABE=ZCBM

：.ZFBM=ZCBM+ZFBC=ZABE+ZFBC

=90°-ZEBF=90°-45°=45°=ZEBF

又,；BF为公共边,:.ZXEBF咨AMBF

M

而BG与BC为全等三角形对应边上的高

：.BG=BC=BA.

【总结】本题主要考查正方形背景下三角形的旋转.

【习题11】如图，在平行四边形ABCD中，E、尸分别是A。、上的点，BE与DF交于

点G,GC平分NBGD.

求证：BE=DF.

【解析】分别过C作CN，BE,CHLDF,

连接CE、CF

；GC平分NBGD,CN±BE,CHLDF,

・・・CN=CH

二S平行四28=%.c，^-•DF.CH=^.BE.CN

:.BE=DF

【总结】考查角平分线性质定理的运用及等面积变形的综合运用.

课后作业

【作业1】已知点/是△A2C三内角平分线的交点，则点/()

A.到△ABC三边距离相等；B.到△ABC三个顶点距离相等;

C.是△ABC三边上的高的交点；D.是△ABC三边中线的交点.

【答案】A

【解析】由角平分线的性质定理即可得出A正确

【总结】考查角平分线性质定理的运用.

【作业2](1)到x轴的距离为到y轴距离的两倍的点的轨迹是

(2)底边AB为5厘米的等腰三角形的顶点的轨迹.

【解析】(1)直线y=±2尤，除原点外；

(2)线段48的垂直平分线，除AB中点外.

【总结】本题主要考查常见的轨迹的运用.

【作业3】AABC的垂直平分线交AC于D如果AC=5cm,BC=4cm,那么ADBC

的周长是.

【答案】9cm.

【解析】=DB+DC+CB=AD+DC+CB=AC+CB=5+4=9cm.

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用.

【作业4】如图，已知AABC中，ZABC=90°,平分NA4C,3E_L4C于点E,

DFLAC于点REF=1,则点尸到BC的距离为.

【答案】L

【解析】平分NBAC,DB±AB,DF±AC

：.DB=DF(角平分线上的点到角两边的距离)

：.AD垂直平分BF

'：BE±AC,Z.ZDAF=ZEBF,ZBAD=ZFBC

又ZDAF=ZBAD,：.ZEBF=ZFBC

:FE=1,：.点、F到BC的距离是1

【总结】考查角平分线及垂直平分线性质定理的运用

【作业5】作图：

(1)以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹；

(2)到直线/的距离等于2c7〃的点的轨迹.

B-----------------------C_______________

(1)(2)

【答案】略

【解析】(1)线段2c的垂直平分线，除BC的中点；

(2)两条平行于直线/且到/的距离为2