2021年甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

甘肃省武威市2021年中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.3的倒数是（）

A.3B.—3C.—D.----

33

2.2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展拓荒牛,

艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.也+也=3B.475-75=4C.而/=#D.732-78=4

4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个

国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能一半，必将为全球抗疫

作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为（）

A.5xl08B.5xl09C.5xlO10D.50xl08

5.将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）

A.y=5x-2B.y=5x+2c.y=5（x+2）D.y=5（X-2）

6.如图，直线。砌/8R用一ABC的顶点B在上，若NCBF=20°,则（）

A.70°B.60°C.75°D.80°

7.如图，点在。上，AB=CD,ZAOB=42°,则NC£D=()

E

A.48°B.24°C.22°D.21°

8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与

车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有

9人需要步行，问人与车各多少?设共有x人，>辆车，则可列方程组为()

'3(y-2)=x[3(y+2)=x[3(y-2)=x[3(y-2)=x

A.〈B.<C.<D,<

2y-9=x[2y+9=x[2y+9=x[2y+x=9

9.对于任意的有理数。力，如果满足色+2=土也，那么我们称这一对数a乃为“相随数对"，记为(a,。).若

(〃?,〃)是“相随数对”，则痴+2[3〃?+(2〃-1)]=()

A.-2B.-1C.2D.3

10.如图1,在A6C中，A8=8C,8D_LAC于点.动点M从A点出发，沿折线ABf3C方

向运动，运动到点C停止设点”的运动路程为X,一AMD的面积为XV与X的函数图象如图2,则AC的长为()

D.9

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.

11.因式分解：4m-2m2=.

12.关于x的不等式1〉」的解集是

32―

13.已知关于x的方程%2—2%+〃2=0有两个相等的实数根，则加的值是一

14.开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：

体温（℃）36.336.436536.636.736.8

天数（天）233411

这14天中，小芸体温的众数是℃.

15.如图，在矩形ABC。中，£是8c边上一点，44即=9（）°,/£4。=30°,下是4。边中点，EE=4cm,

则班:=cm.

16.若点A（—3,y）,3（T,%）在反比例函数y=的图象上，贝Ui_%（填或或“=”）

x

17.如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为一—dm2.

18.一组按规律排列的代数式：a+2b,a2-2^,^+2b5,a'-2b1，…，则第〃个式子是.

三、解答题：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19.计算：（2021-%）°+d）T-2cos45。.

2

20.先化简，再求值：（2-2旦x）.尤二2——4—.其中x=4.

x-2X2-4X+4

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知

是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个弓I理的作图过程

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作线段AC的垂直平分线DE,分别交AB于点八，AC于点E,连接AD,CD;

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交于点尸（£A两点不重合），连接DF,BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系.

22.如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建

筑.宝塔建造工艺精湛，与蛇帽山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大

明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔8垂直于地面，在地面上选取A8两处分别测得NC4。和NC8D的度数（A,D,B在

同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上46两点的距离为5801,/。。=42。,/。8。=58。.

问题解决：求宝塔CO的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°«0.67,cos42°=0.74,tan42°*0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

23.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的

小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于

0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1

个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结

束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A5,五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结

合统计图，解答下列问题：

等级成绩

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<x<90

E90<x<100

学生成绩频数分布直方图学生成绩扇形统计图

(1)本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中〃?=

(2)补全学生成绩频数分布直方图；

(3)所抽取学生成绩的中位数落在________等级；

(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

25.如图1

小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的

速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2

所示.

小刚家

⑴小刚家与学校的距离为m,小刚骑自行车的速度为m/min；

⑵求小刚从图书馆返回家的过程中，y与％的函数表达式；

⑶小刚出发35分钟时，他离家有多远?

26.如图，A6C内接于(一。,。是。的直径A3的延长线上一点，N£)C8=NQ4C.过圆心。作8C的平行

⑴求证：8是的切线；

(2)若C0=4,CE=6,求-0的半径及tan/OCB的值；

27.问题解决：如图1,在矩形A8CD中，点瓦尸分别在AB,8c边上，DE=AF,DE工AF于点G.

图1

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)延长C8到点4,使得3//=AE,判断形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形A8CD中，点民厂分别在46,8。边上，OE与AE相交于点G,

DE=AF,ZAED=60°,AE^6,BF^2,求DE的长.

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=；/+历:+。与坐标轴交于4(0,—2),3(4,0)两点，直线

8C:y=-2x+8交y轴于点C.点。为直线A8下方抛物线上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,DG分

别交直线BC,AB于点瓦产.

(1)求抛物线y=g/+bx+c的表达式；

(2)当GE=；,连接8D,求双年的面积；

(3)①”是,'轴上一点，当四边形6E/V是矩形时，求点//的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足P4=PC+2,求△尸周长的最小值.

甘肃省武威市2021年中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.3的倒数是（）

A.3B.—3C.—D.----

33

【答案】C

【详解】根据倒数的定义可知.

解：3的倒数是।.

3

主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，o没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

2.2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展拓荒牛，

艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）

事・中⑥

【答案】B

【分析】结合轴对称图形的定义即可求解.

【详解】解：A：不符合轴对称图形的定义，不合题意；

B：符合轴对称图形的定义，符合题意；

C：不符合轴对称图形的定义，不合题意；

D：不符合轴对称图形的定义，不合题意；

故答案是：B.

【点睛】本题考察轴对称图形的定义，难度不大，属于基础题.解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即当一个平

面图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形.

3.下列运算正确的是（）

A.百+百=3B.475-75=4C.73x72=76D.病+次=4

【答案】C

【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案.

【详解】6+百=2百，故A错；

4小-也=3非、故B错；

s/3X-\/2=y/b.C正确；

住+遮=2,故。错.

故选：C.

【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键.

4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个

国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫

作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为（）

A.5xl08B.5xl09C.5x10'°D.50xl08

【答案】B

【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解.

【详解】解：50亿即5000000000,故用科学计数法表示为5x10。，

故答案是：B.

【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学计数法的表示方法，科学

计数法的表示形式为4X10",其中1W同＜10,〃为整数.此外熟记常用的数量单位，如万即是10%亿即是1（）8等

5.将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）

A.y=5x-2B.y-5x+2C.y=5（x+2）D.y=5（x-2）

【答案】A

【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可.

【详解】解：直线y=5x向下平移2个单位后所得直线的解析式为y=5x-2

故选:A

【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项.函数

左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移

后的函数解析式是关键.

6.如图，直线DO/BEHf.ABC的顶点B在8尸上，若NCBF=20°,则Z4DE=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

【答案】A

【分析】先求出NC8E的余角/ABF,利用平行线性质可求/AQE.

【详解】解：•••/?/_ABC,NCBF=20。

NA8C=90°,ZABF=90°-ZCBF=90°-20°=70°,

DE//BF,

；.NADE=NABF=70°.

故选择A.

【点睛】本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键.

7.如图，点A,B,C,Z),E在。上，AB=CD,ZA0B=42°,则NCED=()

B

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【分析】先证明AB=CD,再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案.

【详解】解：点A,B,C,D,E在一。上，AB=CD,ZAOB=42°,

:.AB=CD,

ZCED」ZAOB=Lx42。

21°,

22

故选：D.

【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧

的概念与性质是解题的关键.

8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与

车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有

9人需要步行，问人与车各多少?设共有x人，辆车，则可列方程组为（)

3(y-2)=x3(y+2)=x3(y-2)=x3(y-2)=x

A.《B.C.D.〈

2y-9=x2y+9=x2y+9=x2y+x=9

【答案】C

分析】设共有x人,y辆车，由每3人坐一辆车,有2辆空车，可得3（y一2）=x,由每2人坐一辆车，有9人需

要步行，可得：2y+9=x,从而可得答案.

【详解】解：设共有x人，）'辆车，则

'3（y-2）=x

2y+9=x

故选：C.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键.

9.对于任意的有理数。力，如果满足3+2=色也，那么我们称这一对数a2为“相随数对"，记为（a,。）.若

（/〃,〃）是“相随数对"，则3m+2[3加+（2〃―1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】先根据新定义，可得9〃汁4〃=0,将整式3加+2[3加+（2〃―1）]去括号合并同类项化简得9加+4n—2,然

后整体代入计算即可.

【详解】解：•••（〃?,〃）是“相随数对‘，

mnm十n

.*•—I—=-----,

232+3

整理得9m+4n=0t

3m+2[3m+（2/i—1）]--3m+6m+4n—2-9m+4n—2——2.

故选择A.

【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间

关系，整式加减计算求值是解题关键.

10.如图1,在..ABC中，48=8。,3。_14。于点。（4）＞3£））.动点"从人点出发，沿折线f方

向运动，运动到点C停止设点M的运动路程为X,^AMD的面积为与X的函数图象如图2,则AC的长为（）

【答案】B

【分析】从图象可知，AB=BC=岳,点M运动到点8位置时，♦41Q的面积达到最大值y=3,结合等腰三

角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得AC的长.

【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程x=AB+6C=2jW，点M运动到点8的位置时，的

面积y达到最大值3,即♦A3。的面积为3.

AB=BC,BDLAC,

AB=BC=岳,AC=2AD,-AD?BD=3.

2

AD2+BD2=AB2=（V13）2==

AD2+23\DE8DaW2=+=，即：（A£）+8。丫=25,

AD2-lAIXBDi-BD2=，即：（A。-BD）』

AD>BD.

AD+BD=5,AD—BD=1.

两式相加，得，2AD=6.

：.AC=2AD=6.

故选：B

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获

取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.

11.因式分解：4m-2m2=.

【答案】2加（2—加）

【分析】先确定42小的公因式为2%，再利用提公因式分解因式即可得到答案.

【详解】解：4m—2/n2=2m（2—m）.

故答案为：2m（2-m）

【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键.

12.关于X的不等式!尤-I〉」的解集是

32―

【答案】X、Q

【分析】先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“1”，即可得到不等式的解集.

【详解】解：-x-l>-

32

去分母得：2x-6>3,

移项得：2x>9,

9

x一

2

9

故答案为：

2

【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解题的关键.

13.已知关于X的方程*2—2x+M=0有两个相等的实数根，则加的值是一..

【答案】1

【详解】试卷分析：・•・关于X的一元二次方程£+2%+帆=0有两个相等的实数根，二A=0,，4-4m=0,.•.m=l,

故答案为1.

考点：根的判别式.

14.开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：

体温（℃）36.336.436.536.636.736.8

天数（天）233411

这14天中，小芸体温的众数是℃.

【答案】36.6

【分析】根据众数的定义就可解决问题.

【详解】根据表格数据可知众数是36.6C,

故答案为:36.6.

【点睛】本题主要考查了众数的求解，正确理解众数的意义是解决本题的关键.

15.如图，在矩形ABCD中，E是8c边上一点，44瓦）=9（）°,/£4。=30°,下是4。边的中点，EF=4cm,

贝cm.

【答案】6

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解AO,再利用锐角三角函数依次求解即可得

到答案.

【详解】解：ZAED=90°,F是边的中点，EF=4cm,

:.AD=2EF=S,

ZDA£=30。，

AE=cos30°xAD=8x4=4百，

2

矩形ABC。，

:.AD//BC,ZABE=90°,

ZAEB=ZDAE=30°,

BE=A£.cos30。=4百xI-=6.

2

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三

角函数的应用是解题的关键.

16.若点4（一3,%）,3（7,%）在反比例函数3；=生日的图象上，贝IJ%—%（填或或“=”）

X

【答案】<

【分析】先确定y=0*的图像在一，三象限，且在每一象限内，y随X的增大而减小，再利用反比例函数的性

x

质可得答案.

【详解】解：«2+1>0,

y=竺出的图像在一，三象限，且在每一象限内，y随X的增大而减小，

x

■.-3>-4,

M<%，

故答案为：<

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键.

17.如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°

的扇形，则此扇形的面积为dm2

【答案】2〃

【分析】如图，连接A8,证明A8为圆的直径，再利用勾股定理求解AC,再利用扇形面积公式计算即可得到答案.

【详解】解：如图，连接A8,

ZACB^90°,

为圆的直径，AB=4,

：.AC2+BC2=AB2,AC=BC,

:.AC=BC=26,

90。万x(2拒『

/.S----------------------2万・

360°

故答案为：2乃.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

18.一组按规律排列的代数式：a+2b,a2-2h\ai+2b5,aA-2b1，…，则第〃个式子是

【答案】4+(-1)向

【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中〃的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍

减1,而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号.

【详解】解：•.・当n为奇数时，（―1）’向=1；

当，?为偶数时，（-1）e=-1,

・••第n个式子是：a"+（—，）*"h2n-'.

故答案为：a"+（-1），，+，?h2n-'

【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19.计算：(2021-m°+d)T-2cos45。.

2

【答案】3-V2

【分析】先进行零指数哥和负整数指数鬲，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可.

【详解】解：（2021—万）°+（工尸-2cos450,

2

=l+2-2x—,

2

3-V2.

【点睛】本题主要考查零指数骞和负整数指数备，特殊角三角函数值，掌握零指数毒和负整数指数器的运算法则,

特殊角锐角三角函数值是解题的关键.

2x尤？—4.

20.先化简，再求值：（2—,其中x=4.

x-2X2-4X+4

42

【答案】

x+2'3

【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可.

2r-4二)x上一2匕

【详解】解：原式=(--

x-2X—2(x+2)(%—2)

-4x-2

------x------

x-2x+2

4

x+2

42

当x=4时，原式=------=.

4+23

【点睛】本题考察分式的化简求值，难度不大，属于基础题型.解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解.

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知

是弦A8上一点，请你根据以下步骤完成这个弓I理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作线段AC的垂直平分线DE,分别交AB于点D,AC于点E,连接4）,8；

②以点。为圆心，长为半径作弧，交于点尸（EA两点不重合），连接DF,BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BC=BF

【分析】（1）①分别AC为圆心，大于工AC为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线OE即可得到答

2

案，②按照语句依次作图即可；

（2）由作图可得：D4=0C=r>£再证明=NDBfZDFB=ZDCB,再证明四一。尸8,从而

可得结论.

【详解】解：（1）作出线段AC的垂直平分线OE,连接4）,。;

以。为圆心，长为半径作弧，交于点/，连接DF,BD,BF,如图示：

（2）结论：BC=BF.理由如下：

由作图可得：£>E是AC的垂直平分线，DA=DF,

：.DA=DC=DF,

：.ADAC=ZDCA,AD=FD,

ZDBC=ZDBF,

四边形ASFD是圆的内接四边形，

ZDAB+ZDFB=\SQ0,

ZDCA+ZDCB=\SO0,

：.NDFB=NDCB,

DB=DB,

:「DCB—DFB,

：.BC=BF.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆

内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键.

22.如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建

筑.宝塔建造工艺精湛，与蛇崛山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大

明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔C£）垂直于地面，在地面上选取人5两处分别测得/040和/。8。的度数（A2B在

同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上48两点的距离为58111,/。1。=42。,/。8。=58°.

问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°«0.67,cos42°=0.74,tan42°»0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

Illic

【答案】33.4m

【分析】设C0=xm,再利用锐角三角函数用含x的代数式表示A。,8。,再列方程，解方程可得答案.

【详解】解：QCP1AB,设C0=MI,

CDXX

在用以。。中，AD=

tanZCADtan42°-0.9

CDXX

在Rf/XCBD中,BD=

'tanZCBD~tan58°-1.6

AD+BD=AB,

xx

-------1-------=58,

0.91.6

,-.125x=4176,

解得，x彩33.4.

答：宝塔的高度约为33.4m.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题

的关键.

23.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的

小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于

0.75左右.

(1)请你估计箱子里白色小球的个数；

(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰

好不同的概率(用画树状图或列表的方法).

【答案】(1)1个；⑵-

O

【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75,再利用概率公式列方程，解方程可得答案；

（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可

得到答案.

【详解】解：（1）：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，

,估计摸到红球的概率为0.75,

设白球有x个，依题意得一3一=0.75

3+x

解得，x=\

经检验：x=l是原方程的解，且符合题意，

所以箱子里可能有1个白球；

（2）列表如下：

红।红2红3白

红1（红।,红।）（红1,红2）（红1,红）（红1，白）

红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，红）（红2，白）

红3（红3，红1）（红3，红2）（红3,红3）（红3，白）

ri（白，红1）（白，红2）（白，红）（白，白）

或画树状图如下：

开始

第一次

第二次

••♦一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：

（红一白）、（红2,白）、（红3,白）、（白，红I）、（白，红2）、（白，红3）共6种.

两次摸出的小球恰好颜色不同的概率色=2.

168

【点睛】

本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情

况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键.

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结

束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结

合统计图，解答下列问题：

等级成绩

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<JC<90

E90<x<100

学生成绩频数分布直方图学生成绩扇形统计图

（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中加=

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；

（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

【答案】⑴200,16；（2）见解析；（3）C；（4）940人

【分析】(1)B等级人数40人+B等级的百分比为20%,利用抽查人数-其它各组人数即可；

(2)C等级200x25%=50人，%=16即可补全频率分布直方图：

(3)根据中位数定义即可求即；

(4)成绩80分以上的在。、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可.

【详解】解：(1)3等级人数40人，由扇形图可知8等级的百分比为20%,

，本次调查一共随机抽取了40-20%=200名学生的成绩，C等级20()x25%=50人

,”=200-40-50-70-24=16

故答案：200,16；

(2)C等级200x25%=50人，〃?=16,

补全频率分布直方图如图所示：

学生成绩频数分布直方图

(3)频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100,101两位

置上成绩的平均数，16+40=56<100,16+40+50=106〉101,

.•.中位数在C等级内；

故答案为：C

(4)成绩80分以上的在。、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94+200xl00%=47%,

全校共有2000名学生，成绩优秀学生有2000x47%=940(人).

答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人.

【点睛】本题考查频率分布直方图和扇形图获取信息，样本容量，补画频率分布直方图，中位数，用样本的百分比

含量估计总体中的数目等知识，熟练掌握上述知识是关键.

25.如图1

小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的

速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2

所示.

(1)小刚家与学校的距离为m,小刚骑自行车的速度为m/min；

(2)求小刚从图书馆返回家的过程中，＞与x的函数表达式；

(3)小刚出发35分钟时，他离家有多远？

【答案】⑴3000,200;(2)y=-200x+9000(20WxW45);(3)2000m

【分析】(1)从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为3000m,小刚骑自行车匀速行驶10

分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可；

(2)求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；

(3)小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当x=35时，函数值即可.

【详解】解：(1)小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，

.••小刚家与学校的距离为3000m,

小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m,

行驶的路程为5000-3000=2000m,

骑自行车的速度为2000+10=200m/min,

故答案为：3000,200；

(2)小刚从图书馆返回家的时间：5000-200=25(min).

总时间：25+20=45（min）.

设返回时y与x的函数表达式为、=入+),

‘20%+8=5000

把(20,5000),(45,0)代入得:<

45Z+人=0

k=-200

解得,

)=9000

.,.y=—200x+9000（20<x<45）.

（3）小刚出发35分钟，即当x=35时，

y=-200x35+9000=2000,

答：此时他离家2000m.

【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的

具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时

解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键.

26.如图，A6C内接于是;O的直径AB的延长线上一点，NOCB=NQ4C.过圆心。作8C的平行

线交OC的延长线于点E.

（1）求证：CO是。的切线；

（2）若8=4,CE=6,求。的半径及tanZOCB的值；

【答案】（1）见解析；（2）半径为3,tanNOC8=2

【分析】（1）证明OC是10的半径，即证明NOCD=90。，结合直径所对圆周角是90°、等腰△OAC和已知

NQ4C=NOC4即可求解；

PC

（2）由（1）中结论和BC〃OE可知，tanZOCB=tanZEOC=—,再由CO、CE和平行线分线段成比例，

OC

即可找到以入OB、BC、OE的关系，最后利用向△OCD三边的勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：如图，Q4=OC,

:.ZOAC^ZOCA,

NDCB=NOAC,

ZOCA=ZDCB,

QAB是。的直径，

ZAC5=90°,

.,.NOC4+NOCB=90。，

:.ZDCB+NOCB=90°,即NOCD=90。，

.-.OC1DC,

又oc是。的半径，

.♦.co是oo的切线.

(2)-BC//OE,

BDCDBD42

----,即an---=-=一,

OBCEOB63

设BD=2x,则OB=OC—3x,OD-OB+BD-5x,

OCA.DC,

OC2+CD2=OD2

.•.(3x)2+42=(5x)2,解得％=1,

r.OC=3x=3.即。。的半径为3,

BC//OE,

..ZOCB^ZEOC,

EC6

在RtOCE中，tanNEOC=----=—=2,

OC3

tanZ.OCB=tanZ.EOC=2.

【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的

关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想.

27.问题解决：如图1,在矩形ABC。中，点E,尸分别在边上，=OELAE于点G

图2

（1）求证：四边形A3CO是正方形；

（2）延长C8到点，，使得3/7=AE,判断A4所的形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形ABCD中，点瓦尸分别在4氏8。边上，与A尸相交于点G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求的长.

【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8

【分析】问题解决：⑴证明矩形A8C。是正方形，则只需证明一组邻边相等即可.结合。E_LAE和ND4E=90°

可知ZBAF=NA£）G,再利用矩形的边角性质即可证明一A3尸金-,即AB=AT>,即可求解；

（2）由（1）中结论可知AE=B/，再结合已知=即可证明f\ARH竺MCAF.,从而求得八4/7/等

腰三角形；

类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB到点H,使得B”=AE=6