2022-2023学年江苏高一年级下册数学同步讲义苏教版2019必修第二册第03讲 互斥事件和独立事件含详解

第15章概率

第03讲互斥事件和独立事件

0目标导航

课程标准重难点

1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，

1.互斥事件，对立事件的概率

能结合实例进行随机事件的并、交运算.

2.事件之间的关系

2.掌握互斥事件、对立事件的概率

3.掌握独立与互斥的区别

3.了解两个随机事件相互独立的含义.

览知识精讲

1.事件的关系与运算

名称条件结论符号表示

若A发生，则8一定事件8包含事件4事件A

包含关系82A(或AQB)

发生包含于事件B)

相等关系若且A2B事件A与事件B相等A=B

事件A与事件B的并事件

并(和)事件A发生或B发生4UB^A+B)

(或和事件)

事件A与事件8的交事件

交(积)事件A发生且B发生APIB(或AB)

(或积事件)

互斥事件AHB为不可能事件事件A与事件B互斥AAB=0

ACB为不可能事件，事件A与事件B互为对立

对立事件408=0,P(AL)B)=1

AU8为必然事件事件

对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立

事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

2.互斥事件的概率

(1)概率的加法公式：如果事件4与事件8互斥，则上(这与曰⑷土£垣「

(2)对立事件的概率：若事件A与事件8互为对立事件，则AUB为必然事件，P(AUB)=1,P(A)=\-P(B).

3.事件的相互独立性

(1)定义：对任意两个事件A与8,如果尸(A8)=尸(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立.

(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与石，7■与8,N与万也都相互独立.

(3)公式的推广

如果事件4,A2,…，4相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即

P(AIA2...A„)=P(AI)P(A2)...P(A„).

(4)两个事件独立与互斥的区别

两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生

的概率没有影响.

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能

够同时发生为前提.

4.相互独立事件与互斥事件的概率计算

概率A,B互斥A,3相互独立

P(AUB)P(A)+P(B)\-P(A)PCB)

P(AB)0P(4)P(B)

P(~A1—[P(A)+P(B)]PCA)PCB)

P{A~BU~AB)P(A)+P(8)P(A)P(N)+PCA)P(B)

［说明］①(AB)+(AB),表示的是AB与AB的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且

B发生，换句话说就是A与8中恰有一个发生.

②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于

求和运算，因此04万)+(了8)可简写为AE+KR

能力拓展

考法01随机事件的关系

1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲

分得红牌”与“乙分得红牌“()

A.是对立事件B.是不可能事件

C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件

2.从1,2,3...........7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是()

A.①B.②④

C.③D.①③

3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是得，

那么概率是7云的事件是()

A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡

【答案】A

【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移

动卡”的对立事件，故选A.

4.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4=｛两次都击中飞机｝,8=｛两次都没击中飞机｝,C=｛恰

有一次击中飞机｝,。=｛至少有一次击中飞机｝,其中彼此互斥的事件是,互为

对立事件的是.

【方法技巧】判断互斥、对立事件的2种方法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互

定义法斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事

件一定是互斥事件

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.

集合法②事件A的对立事件T所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的

结果组成的集合的补集

考法02互斥事件、对立事件概率公式的应用

某商场有奖销售中，购满100元商品得I张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设

特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,

求：

(l)P(A),P(B),P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

【方法技巧】求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

|第一步卜!根据题意将所求事件分解为--些彼此互斥的事件的和：

|第2步田而赢薛旗募嬴画嬴而而旃瀛扇

1二二二二二二二二二二

I第三步H运用互斥事件的概率加法公式计算所求概率

⑵间接法(正难则反)

:判断事件A的概率计算是否适合用间接法，而判断的：

其二斗标准是正向思考时分类较多，而其对立面的分类较少，:

-1;此时应用间接法

0...........................................................................................

屈利用:防制或和诩应事件的概率计算公式计算明川

匕2n的对立事件不的概率

第三步J运用公式PC4)=1-P(彳)求解

【跟踪训练】

1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客

的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间(分钟/

11.522.53

人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

2.A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻

炼时间，数据如下表(单位：小时)：

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(1)试估计C班的学生人数；

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有

学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.

考法03事件独立性的判断

判断卜列各时事:件是不是相4独M事件：

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从

甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生''；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个

球中任意取出1个，取出的还是白球“；

(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.

【方法技巧】

两个事件是否相互独立的判断

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

(2)定义法：如果事件4,8同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A,8

为相互独立事件.

【跟踪训练】

从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到

J”.判断下列每对事件是否相互独立？为什么？

(1)A与2；(2)C与A.

考法04求相互独立事件的概率

甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别始I且

各自能否被选中互不影响.

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求3人中至少有1人被选中的概率.

【方法技巧】

1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积.

2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而

且它们同时发生.

【变式训练】

1.［变设问I在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率.

2.［变条件，变设问偌本例条件“3人能被选中的概率分别为东3,变为“甲、乙两人只有一人被选中的概

II31

率为诟，两人都被选中的概率为百，丙被选中的概率为求恰好有2人被选中的概率.

考法05相互独立事件概率的实际应用

133

三个元件r,A正常工作的概率分别为‘本本将它们中的某两个元件并联后再和第三

个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.

【方法技巧】

求较为复杂事件的概率的方法

(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式;

（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件

的概率.

【跟踪训练】

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某

选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别转4，;3，刍2且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手

被淘汰的概率.

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.若随机事件A8满足P（AB）=1>P（A）=74，P⑻=1；,则事件A与8的关系是（）

634

A.互斥B.相互独立C.互为对立D.互斥且独立

|7

2.从高二文科1班的学生中任意选出两人，两人都是男生的概率为g,两人都是女生的概率为不，则选出

的两人性别不同的概率为（）

A.1B,1C.1D.A

531515

3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为80%,则甲、乙下成平局的概率（）

A.50%B.30%

C.10%D.60%

4.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件”至少两次出现正面”的对立事件是（）

A.只有2次出现正面B.至少2次出现正面

C.有2次或者3次出现反面D.有2次或者3次出现正面

5.抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（）

A.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9”

B.事件“点数之和为偶数”与事件”点数之和为奇数”

C.事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”

D.事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8”

6.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对

立的是（）

A.至少有1个白球，至多有1个白球

B.至少有1个白球，至少有1个红球

C.至少有1个白球，没有白球

D.至少有1个白球，红球、黑球各1个

二、多选题

7.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

3

A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为？，则比赛5场，甲胜3场

B.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数“，则A与8

互为对立事件

C.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是4

D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

8.对于事件A,B,下列命题正确的是（）

A.如果A,B互斥,那么了与万也互斥B.如果A,8对立，那么又与否也对立

C.如果A,B独立，那么,与后也独立D.如果A,5不独立，那么了与否也不独立

三、填空题

9.已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8,若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命

中的概率是.

10.某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00—13:00,13:00〜14:00,

14:00〜15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5,0.4,0.6,则该旅行团出游当天在12:00〜15:00时间

段内降雨的概率为.（用数字作答）

四、解答题

11.为了庆祝中国共产党百年华诞，某学校党支部举行了党史学习教育知识竞赛，其中甲、乙两个小组各

选拔7名党员参赛，参赛党员的成绩用茎叶图表示如下：

甲小组乙小组

7736

75387y

4x19247

⑴已知甲小组的干邙数是87,乙小组的中但数是88,求x,y的值;

(2)若从甲、乙两个小组成绩在90分以上的党员中抽取2人参加市级比赛，求这2人来自不同的小组的概率.

12.袋子中有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球.

(1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，经过2次摸球，若摸到的这2个球中有白球，求第2

次摸出的是白球的概率；

(2)每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并加上3个同色球，再从袋子中第二次摸出一球，

求第2次摸出的是白球的概率.

题组B能力提升练

一、单选题

1.口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形

状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②“，事件5为“取到的小球是黑

球”，则下列说法正确的是()

A.A与B互斥B.A与B对立C.2(A+B)*D.P(AB)号

2.假定生男孩和女孩是等可能的，现考虑有2个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是()

A.事件“该家庭2个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭2个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件；

B.事件“该家庭2个小孩全是女孩”和事件”该家庭2个小孩全是男孩”是对立事件；

C.该家庭2个小孩中只有1个女孩的概率为5

D.该家庭2个小孩中有2个男孩的概率为‘；

3.我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,。三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因

中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中A4,AO为A型血，BB,BO

为8型血，A8为AB型血，00为。型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等

可能的出现44,AB,AO,BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为A8型，不考虑基因突

变，则小明是4型血的概率为()

A.—B.—C.-D.工

16842

4.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋此赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为，•的方框表示第i场比赛，

方框中是进行该场此赛的两名棋手，第，・场比赛的胜者称为“胜者广，负者称为“负者”，第6场为决赛，获

胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为:

而乙，丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为（）

5.甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各

自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色,

则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（）

"7„7、1

A.—B.—C.—D.—

30156020

6.袋中有红、黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，

记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件8表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球

颜色不全相同”，则（）

A.事件A与事件8互斥B.事件B与事件C不对立

C.P（可=WD.P（AuC）=]

二、多选题

7.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机

取出一球放入乙罐，分别以事件A，4和4表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取

出一球，以事件8表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）

A.事件8与事件A相互独立B.A，4,A3是两两互斥的事件

C.尸⑹4）=（D.*

8.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A="两个球颜色相同"，8="第

1次取出的是红球”，C="第2次取出的是红球”，"两个球颜色不同则下列说法正确的是（）

A.A与8相互独立B.A与。互为对立C.8与C互斥D.B与。相互独立

三、填空题

9.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为?，

乙每轮猜对的概率为I.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮

活动中猜对3个成语的概率为.

10.在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，

直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于.

四、解答题

11.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛

的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；

当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、

乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为g.

⑴求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求甲最终获胜的概率.

12.科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为忖。，”0,”。，根据1940

年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为忖0占99.759%,曾0占0.037%占0.204%.现

有3个.0,2个“0,〃个"O,若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是"O的概率为|.

⑴求”；

(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率.

题组C培优拔尖练

一、单选题

1.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是?，,，则()

34

75

A.两人都成功破译的概率为近B.两人都成功破译的概率为五

C.密码被成功破译的概率为得D.密码被成功破译的概率为3

2.2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取

得重大进步.现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验

任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则

432

撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为二，每

543

个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（）

*9,19八29-59

A.—B.—C.—D.—

10203060

3.如图，某系统由A,B,C,。四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A,B,C,D

正常工作的概率都为P（O<P<1）,则该系统正常工作的概率为（）

A.[l-(l-p)p[pB.

D.[l-(l-p)2

二、多选题

4.已知一个盒子中装有10个乒乓球，其中有7个新球，3个旧球（使用过的球都称旧球）.在第一次比赛

时任意抽取出2个使用，比赛后放回原盒；在第二次比赛时同样任意取出2个球使用.记4为第一次取出的

2个球中恰有i个新球（i=0,1,2）,8为第二次取出的球均为新球.则下列结论中正确的有（）

A.事件A，4两两互斥B.P（BIA）=1

196

c.-D.事件B与事件A相互独立

0/5

5.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事件M为“第

一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）

A.事件M发生的概率为gB.事件M与事件N互斥

C.事件M与事件N相互独立D.事件M+N发生的概率为:

三、填空题

6.已知随机事件48发生的概率满足P（Au8）=0.9,小华猜测事件Nc豆会发生，小明猜测事件Nc7不

会发生；则以下判断中正确的是.（请填写序号）

①小华一定猜错；

②小华和小明猜对的可能性一样大;

③小明猜对的可能性更大；

④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大.

第15章概率

第03讲互斥事件和独立事件

0目标导航

课程标准重难点

1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，

1.互斥事件，对立事件的概率

能结合实例进行随机事件的并、交运算.

2.事件之间的关系

2.掌握互斥事件、对立事件的概率

3.掌握独立与互斥的区别

3.了解两个随机事件相互独立的含义.

四太知识精讲

1.事件的关系与运算

名称条件结论符号表示

若A发生，则B一定事件8包含事件A(事件A

包含关系BQA（或AQB）

发生包含于事件8)

相等关系若且事件A与事件B相等A=B

事件A与事件B的并事件

并(和)事件A发生或B发生408（或4+8）

(或和事件)

事件A与事件B的交事件

交(积)事件A发生且B发生ACIB（或AB）

(或积事件)

互斥事件ACB为不可能事件事件A与事件B互斥

ACIB为不可能事件，事件4与事件8互为对立

对立事件AAB=0,P（AUB）=1

AU8为必然事件事件

对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立

事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

2.互斥事件的概率

(1)概率的加法公式：如果事件A与事件3互斥，则上互曰⑷土上0一

(2)对立事件的概率：若事件A与事件8互为对立事件，则为必然事件，P(AUB)=1,P(A)=1—P(B).

3.事件的相互独立性

(1)定义：对任意两个事件A与8,如果P(AB)=P(A)尸(8)成立，则称事件A与事件B相互独立.

(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.

(3)公式的推广

如果事件4,A2,…，4相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即

P(AIA2...A„)=P(AI)P(A2)...P(A„).

(4)两个事件独立与互斥的区别

两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生

的概率没有影响.

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能

够同时发生为前提.

4.相互独立事件与互斥事件的概率计算

概率A,B互斥A,3相互独立

P(AUB)P(A)+P(B)\-P(A)PCB)

P(AB)0P(4)P(B)

P(~A1—[P(A)+P(B)]PCA)PCB)

P{A~BU~AB)P(A)+P(8)P(A)P(N)+PCA)P(B)

［说明］①(AB)+(AB),表示的是AB与AB的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且

B发生，换句话说就是A与8中恰有一个发生.

②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于

求和运算，因此04万)+(了8)可简写为AE+KR

能力拓展

考法01随机事件的关系

1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲

分得红牌”与“乙分得红牌“()

A.是对立事件B.是不可能事件

C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件

【答案】C

【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上,

这两个事件为互斥不对立事件，故选C.

2.从1,2,3,…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数;

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是（）

A.①B.②④

C.③D.①③

【答案】C

【解析】“至少有一个是奇数”即"两个都是奇数或一奇一偶“，而从1,2,3..........7这7个数中任取两个数，

根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”

与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.

3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是得，

那么概率是六的事件是（）

A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡

【答案】A

【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡''两个事件，它是“2张全是移

动卡”的对立事件，故选A.

4.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4=｛两次都击中飞机｝,8=｛两次都没击中飞机｝,C=｛恰

有一次击中飞机｝,0=｛至少有一次击中飞机｝,其中彼此互斥的事件是，互为

对立事件的是.

【答案】4与B,A与C,8与C,2与。B与D

【解析】设/为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为4rl8=0,ADC=0,8CIC=0,BCID=0,故

A与8,A与C,B与C,3与O为互斥事件.而8no=0,BUD=/,故8与。互为对立事件.

【方法技巧】

判断互斥、对立事件的2种方法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互

定义法斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事

件一定是互斥事件

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.

集合法②事件A的对立事件T所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的

结果组成的集合的补集

考法02互斥事件、对立事件概率公式的应用

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000

张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二

等奖的事件分别为A，B,C,求：

(l)P(A),P(B),P(Q；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

【解析】(1)易知P(A)=］热，尸(8)=击，尸(O=5.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖'’这个事件为M,则用=4口8口仁

因为A,B,C两两互斥，

所以P(M)=P(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(O

1+10+5061

=~1000~~=1ooo-

故1张奖券的中奖概率为端正

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

所以PW=\-P(AUB)=1_(焉+志)=黑,

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为瑞.

【方法技巧】

求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

I第一步，［根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和］

忸上丽Z正南而至g协赢।肩国赢面丽薪血屏

A二二二二二二二二二二二二

|第三步H运用互斥并件的概率加法公式计算所求概率

⑵间接法(正难则反)

i到面前M而藏率讦豌否适否用而接荏;而乳惭的I

另二部标准是正向思考时分类较多，而其对立面的分类较少，：

：此时应用间接法

0..................

应二01利而新承而疝扬丽丽济南H射就百扇而只

I用一歹尸的对立事件一的概率•

0-

忸三步卜：运用公式P(.A)=1-P(彳)求解

【跟踪训练】

I.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客

的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间(分钟/

11.522.53

人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,)=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间

组成一个总体，所收集的10()位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1x15+1.5x30+2常+2.5x20+3xI0=

1.9(分钟).

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，4,4分别表示事件“该顾客一次购物的结算

时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟"，将频率视为概率得。(4)=需=[,P(4)=卷=

七则P(A)=I—P(A\)-P(A2)=1—：一1=木故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为焉.

2.A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻

炼时间，数据如下表(单位：小时)：

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(1)试估计C班的学生人数；

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有

学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.

【解析】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k=襦=?故C班有学生

=40人.

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5x8=40种情况，而且这些情况是等可能的.

当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，

甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；

当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，